第22章 二次函数阶段性复习课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第22章 二次函数阶段性复习 1.理解二次函数的概念;掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律； 2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3.会用待定系数法求二次函数的解析式； 4. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值 知识与技能 过程与方法 经历利用二次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展形象思维能力． 经历二次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作意识和能力． 情感态度价值观 复习目标 二次函数思维导图 一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数. 考点一：二次函数的概念 中考考点梳理 1. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A. y=x3+2x2+3 B. C. y=x2+x D. y=mx2+x+1 2. 若函数y=（m-1）x2+3x+1是二次函数，则有（ 　） A. m≠0 B. m≠1 C. x≠0 D. x≠1 C B 针对练习 3.如果函数 是二次函数，则m的值为______,这个函数解析式为_________________ 1 y=2x2 分析： ① m2+ 1=2 ② m + 1≠0 考点二：二次函数的形式 1、一般式： 2、顶点式： 3、交点式： y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 中考考点梳理 考点三：二次函数的图像及画法 1、图像： 2、画法： 是轴对称图形，叫做“抛物线” （1）五点法 （2）注意对称性，列表时先把 坐标列入。若自变量有范围，还要把 坐标列入 顶点 端点 中考考点梳理 考点四：二次函数的图像性质 1、开口方向： 2、开口大小： 3、顶点： 4、对称轴： a>0,开口向上，a<0,开口向下 |a|相等，图像形状相同，开口大小一样;|a|越大，开口越小 (h,k) 或者 或者 直线x=h 中考考点梳理 考点四：二次函数的图像性质 5、最值： （1）当自变量x没有取值范围时，函数的最值就是顶点的纵坐标 （2）若自变量x有取值范围时，如何确定最值？ 1 若顶点横坐标在范围内，当a>0时，顶点的纵坐标就是最小值；函数的最大值则根据函数的增减性来确定。当a<0时，方法一样 2 若顶点横坐标不在范围内， 函数的最大值或者最小值都需要根据函数的增减性来确定。 中考考点梳理 考点四：二次函数的图像性质 6、增减关系：（对称轴左右相反） a<0时，x< 时，y随x的增大而增大；x＞ 时，y随x的增大而减小 a>0时，x> 时，y随x的增大而增大；x< 时，y随x的增大而减小 （1） （2）看点到对称轴的距离 开口向上时，到对称轴的距离越大，y值越大 开口向下时，到对称轴的距离越大，y值越小。 中考考点梳理 1、二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(　　) A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4) 所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A. 解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求. 针对练习 分析：点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断 y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可. 针对练习 设：设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线对称轴为直线x=1, 所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称. 则y3=y2. 又a>0,所以当x<1时,y随x的增大而减小. 则y1>y3.故y1>y2. 答案:(1)A　(2)> 2、已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2), 试 较y1和y2的大小:y1_______y2.(填“>”“<”或“=”) 1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值. 考点五：二次函数关系式的确定 2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式 3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式. 中考考点梳理 解：设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3， 把(2,1)代入,得 a(2-1)2+3=1. 解得a=-2. 所以抛物线的解析式为y=-2(x-1)2+3. 1. 抛物线的顶点坐标为（1，3），且过点（2，1），求抛物线对应的二次函数表达式. 针对练习 解：设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)， 把C(0,-3)代入,得a·3· (-1)=-3. 解得a=1. 所以抛物线解析式为y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3. 2. 已知二次函数图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),求此二次函数的解析式. 针对练习 中考链接： (2020山东临沂中考)已知抛物线y=ax2+2ax-3+2a2(a≠0) (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； (1)x=-1 (2) 针对练习 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图像 （请选择合适的方式求解析式） ① 顶点为(-2, 3)且过(-1, 5), 求抛物线的解析式； ② 经过(1, 0)、(3, 0)和(0, 9), 求抛物线的解析式； ③ 经过(1, 0)、(0, -3)且对称轴是直线x =2, 求抛物线的解析式. ④ 经过(1, 3)、(2, 9)和(0, 1), 求抛物线的解析式 顶点式 交点式 顶点式 一般式 针对练习 条件 表达式 步骤 已知图象上一般三点的坐标或给定x与y的一般三对对应值. 通常选择一般式:y=ax2+bx+c 1.设 2.代 3.解 4.写 已知图象的顶点坐标;对称轴和最值时. 通常选择顶点式:y=a(x-h)2+k 已知图象与x轴的交点坐标 通常选择交点式:y=a(x-x1)(x-x2) 练习心得 考点六：二次函数与方程不等式的联系 1、一元二次方程 (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点横坐标就是当函数y=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的解。 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像上纵坐标为K的点的横坐标就是求方程ax2+bx+c=k的解。 （2）二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点的情况与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有密切关系： 两个交点 一个交点 没有交点 △＞0 △=0 △＜0 中考考点梳理 2、一元二次不等式（高大低小） (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图像上y>0时，x的取值范围。就是求一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集。如何解决这个问题？先令y=0，求出方程ax2+bx+c=0的解。再借助二次函数图像利用二次函数的增减关系求出不等式的范围。 0 x y 1 -3 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像如图所示根据图像直接回答问题： (1)方程ax2+bx+c=0的解为x1= x2= 3 (2)方程ax2+bx+c=3的解为x1= x2= 4 （3）方程ax2+bx+c=4的解为x1= x2= (4）方程ax2+bx+c=k有两个不相等的的实数解，则k的范围是 (6)方程ax2+bx+c=k没有实数解，则k的范围是 1 -3 0 -1 -2 -1 k＜4 k＞4 中考考点梳理 (5)方程ax2+bx+c=k有两个相等实数解，则k的范围是 k=4 (7)不等式ax2+bx+c>0的解集 (8)不等式ax2+bx+c<3的解集 (9)不等式ax2+bx+ c>mx+n的解集为 0 x y 1 -3 3 y=mx+n -3＜x＜1 x＜-2或x＞0 -3＜x＜0 如何解一元二次不等式？ 1、借助于一元二次方程 2、借助于二次函数图像 如何求不等式-10x2-200x+4000>12000的解集？ 中考考点梳理 考点七：二次函数中a、b、c即有关代数式符号的确定 （1）字母a、b、c的符号确定 a：看开口方向——开口向上a>0;向下a<0 b：看对称轴的符号——（左同右异） c: 看与y轴的交点——交y轴正半轴c>0,负半轴c<0 (2)代数式b2-4ac的符号确定 看图像与x轴的交点个数 两个交点，b2-4ac>0 一个交点，b2-4ac=0 没有交点，b2-4ac<0 (3)代数式2a+b,2a-b的符号确定 2a-b看对称轴 与-1的关系 2a+b看对称轴 与1的关系 中考考点梳理 （4）含有字母a、b、c的代数式符号确定 a+b+c a-b+c 4a+2b+c 9a-3b+c （1，a+b+c） （-1，a-b+c） （2，4a+2b+c） (-3,9a+3b+c) 这类代数式(含有abc且c的系数为1)都是某一个点的纵坐标，由b的系数推算出点的横坐标，再在图像上去找这个点的位置看它的纵坐标的符号 想一想：若c的系数不是1比如（a+2b+4c）怎么办？ （5）只含有字母a、c或者b、c的代数式符号确定 如：3a-c,3a+2c、5b-2c等 这类代数式要看作在第四类代数式的基础上消掉了b或者a,因此要借助第四类代数式的判断方法并借助于对称轴方程，找到a、b的关系代入 中考考点梳理 【例4】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论: ①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0; ④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大. 其中正确的结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为对称轴为直线x=2,所以- =2,所以4a+b=0,所以①正确; 因为当x=-3时,9a-3b+c<0,所以9a+c<3b,所以②错误; 易知a<0,b>0,c>0,又因为4a+b=0, 所以8a+7b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c>0,所以③正确; 因为当x>2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误. 所以正确的有2个.故选B. 答案:B 命题点4　利用二次函数图象判断a,b,c的符号 中考考点梳理 变式训练： 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0; ③8a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由图象知,抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①正确;与y轴交于负半轴,则c<0,开口向上,则a>0,对称轴x=- =1,b=-2a<0,则abc>0,故②正确;当x=-2时,y>0,此时y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,故③正确;x=1是抛物线的对称轴,由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间,则当x=3时,y<0,即y=9a+3b+c<0,④正确,即正确结论有4个. 答案:D 中考考点梳理 1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是(　　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(　　) A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.c<0 C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0 练习升华 A A D 4.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为(　　) A.y=-(x-1)2-3 B.y=-(x+1)2-3 C.y=-(x-1)2+3 D.y=-(x+1)2+3 5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=　　　　　.  6.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=　　　　;当1<x<2时,y随x的增大而　　　　(填写“增大”或“减小”).  7、已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是(　　) A.有最小值-5,最大值0 B.有最小值-3,最大值6 C.有最小值0,最大值6 D.有最小值2,最大值6 练习升华 D -1 -1 增大 B 4. 二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是（　　　） A 5. 抛物线y=x2-4x-3的顶点坐标为（　　） A. （2，-7） B. （2，7） C. （-2，-7） D. （-2，7） A 中考考点梳理 6. 函数y=ax2（a≠0）和y= - ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（　　） D 7.(2020浙江温州中考)若A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)为二次函数y=-3x2-12x+m的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为___________ y3<y1<y2 练习升华 8.(2021福建厦门思明月考改编)在同一直角坐标系内，将函数y=x2+2x-3的图像先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图像的顶点坐标是( ) A.(-3,-5) B.(1,-4) C.(1,-5) D.(-3,-4) 1.先将二次函数转化成顶点式 2.左加右减，上加下减 C 练习升华 $$