（计算问题专项讲义）专题9 定义新运算-小升初数学模块化思维提升（通用版）

专题9-定义新运算 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 2、解决问题。 （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 【典例一】小明编制了一个计算程序，当输入任一个数时，显示屏的结果总等于所输入数的平方与1之和，若输入0，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【典例二】对于、定义新运算：★。比如5★。如果4★，那么　　。 【典例三】仔细观察，再计算。 规定：△，△， 求△△3的值。（写出计算过程） 一．选择题（共8小题） 1．规定※，则5※，同理可得：3※　　 A．24 B．30 C．26 D．40 2．如果表示数的整数部分，如，则当时，等于　　 A．37 B．38 C．39 D．40 3．假设，，那么的值是　　 A．19 B．7 C．9 D．15 4．“、、、”是数学计算时使用的符号，5000多年前的古埃及《莱因特纸草书》就记载有加号和减号。小明也创造了一个运算符号“▲”，并规定：10▲，则2023▲　　 A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．一种数学游戏，规则是这样的：。例如。已知，则的值是　　 A．1.25 B．2 C．3.25 D．5 6．已知△，则△△△等于　　 A．24 B．10 C．95 D．119 7．定义一种运算：，例如，则　　 A．10 B． C． D．12 8．现规定“”是一种新的运算，。那么的值为　　 A．17 B．5 C．210 D．18 二．填空题（共8小题） 9．规定，△，如果△△，那么　　。 10．我们学过、、、这四种运算．现在规定“”是一种新的运算．表示．如：．那么　 　． 11．1！，2！，3！，4！，那么　　。 12．设“△”是一种新运算规则，2△，5△，，按此规则计算：7△　 　． 13．如果规定“〇”，那么7〇　　。 14．为了确保通信安全，信息需要加密传输。现规定加密规则：明文（m，n）加密成密文后是（3m+1，mn）。按照这样的加密规则，明文（2，5）加密后是（ 　 　，　 　），密文（10，21）的明文是（ 　 　，　 　）。 15．对于数、定义新运算：，那么，则　　。 16．规定运算△的结果按照下述方式产生：在的倍数中找出大于且最小的一个，计算这个倍数与的差，如7△，9△。那么25△　　。 三．解答题（共7小题） 17．定义一种新运算；，其中和为任意两个不为0的数，为常数，比如：。 （1）如果，与的值相等吗？请说明理由。 （2）当取什么值时，对于任何不同的和，都有与相等，即新运算“”符合交换律？ 18．和都是正整数，设※表示从起个连续正整数的和。例如2※，5※。 （1）求6※　　。 （2）用的代数式表示3※。 （3）若※，求。 19．表示一种新运算，规定，若，求的值。 20．对两个自然数和，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为☆，即☆，。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆，求的值。 21．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正因数叫作的真因数。如的正因数有1、2、4、8，其中1、2、4是8的真因数。把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”。如：8的“完美指标”是，请试着计算9、16的“完美指标”。 22．定义新运算：若△，当△时，△的值是多少？ 23．如果用表示一种运算符号，如果，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9-定义新运算 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 2、解决问题。 （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 【典例一】小明编制了一个计算程序，当输入任一个数时，显示屏的结果总等于所输入数的平方与1之和，若输入0，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】当输入0时，显示屏的结果是，再输入1时，显示屏的结果是，由此做出选择． 【解答】解：当输入0时，显示屏的结果是，再输入1时，显示屏的结果是， 故选：． 【点评】关键是根据“当输入任一个数时，显示屏的结果总等于所输入数的平方与1之和”这个新的运算方法解决问题． 【典例二】对于、定义新运算：★。比如5★。如果4★，那么　　。 【分析】根据新的运算法则“★”，求出4★中的值即可。 【解答】解：4★ 故答案为：1。 【点评】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【典例三】仔细观察，再计算。 规定：△，△， 求△△3的值。（写出计算过程） 【分析】根据规定：△，△，可得，△，△，然后再进一步计算即可。 【解答】解：△△3 【点评】根据题意，找准规定的新定义的运算，然后按照这种运算进行解答即可。 一．选择题（共8小题） 1．规定※，则5※，同理可得：3※　　 A．24 B．30 C．26 D．40 【分析】把，，代入※，然后按照先算小括号里面的，再算括号外的顺序进行计算即可． 【解答】解：3※8 故选：． 【点评】解决本题关键是理解新运算表示的含义，把新运算转化成四则运算，从而解决问题． 2．如果表示数的整数部分，如，则当时，等于　　 A．37 B．38 C．39 D．40 【分析】根据题意，表示数的整数部分，根据这一新规定的运算进一步解答即可． 【解答】解：根据题意可得： ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】根据题意，由给出的新运算的规定进一步解答即可． 3．假设，，那么的值是　　 A．19 B．7 C．9 D．15 【分析】根据题意知道※表示的3倍减去的2倍，由此用此方法先计算4※1的值，再把※※写成方程的形式，解方程求出的值，进而求出※4的值． 【解答】解：4※， ※※， ※， ， ， ， ， ※※， ， ； 故选：． 【点评】本题主要考查了新定义运算，根据这一条件得出的值是解答本题的关键． 4．“、、、”是数学计算时使用的符号，5000多年前的古埃及《莱因特纸草书》就记载有加号和减号。小明也创造了一个运算符号“▲”，并规定：10▲，则2023▲　　 A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】10▲，可知2023▲，计算出算式的结果即可解答。 【解答】解：2023▲2025 答：2023▲。 故选：。 【点评】掌握定义新运算的方法是解题的关键。 5．一种数学游戏，规则是这样的：。例如。已知，则的值是　　 A．1.25 B．2 C．3.25 D．5 【分析】根据规则可知，，列方程：，解方程，即可求出的值。 【解答】根据规则可知，，列方程：，解方程，即可求出的值。 故选：。 【点评】解答本题的关键是根据规则列出方程，再根据等式的性质1、2解方程。 6．已知△，则△△△等于　　 A．24 B．10 C．95 D．119 【分析】根据题意，△表示这两个数的乘积再加上这两个数的和，按照定义，先把算式展开，再进行计算，计算时先算括号里的，再算括号外面的。 【解答】解：△△△ △ △19 故选：。 【点评】定义新运算的题目，关键是理解题目定义的新运算的含义，然后依葫芦画瓢求解。 7．定义一种运算：，例如，则　　 A．10 B． C． D．12 【分析】由题意可得，，，把这两个数代入计算即可。 【解答】解： 故选：。 【点评】此题考查定义新运算的知识。 8．现规定“”是一种新的运算，。那么的值为　　 A．17 B．5 C．210 D．18 【分析】】根据新的运算法则，先求出，再计算下一步即可。 【解答】解： 答：的值为17。 故选：。 【点评】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 二．填空题（共8小题） 9．规定，△，如果△△，那么　14.4　。 【分析】根据所给出的式子知道，新的运算方法是△等于乘5与乘4的差，由此用此方法把△△写成方程的形式，解方程求出值。 【解答】解：△△ △ △ 故答案为：14.4。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，利用新的运算方法将要求的式子写成方程的形式。 10．我们学过、、、这四种运算．现在规定“”是一种新的运算．表示．如：．那么　12　． 【分析】由题中条件“表示．如：”，可依此类推出，算出结果即可． 【解答】解：； 故答案为12． 【点评】此题是考查学生依此类推的能力，要注意找出规律，根据规律列式． 11．1！，2！，3！，4！，那么　2023　。 【分析】根据2023！！代入式子，再约分计算即可。 【解答】解： 故答案为：2023。 【点评】解答本题关键是明确新的运算方法和规律。 12．设“△”是一种新运算规则，2△，5△，，按此规则计算：7△　45　． 【分析】根据题意可知，这种新的运算是从前面的数开始进行连续的自然数相加，后面的数是连续相加的个数，然后再进一步计算即可． 【解答】解：根据题意可得： 7△5， ， ． 故答案为：45． 【点评】根据规定，找准规定的定义的运算，然后按照这种运算进行解答即可． 13．如果规定“〇”，那么7〇　39　。 【分析】根据所给出是等式，知道〇等于7与的积减去5与的积，用此方法计算7〇2的结果是多少。由此解答即可。 【解答】解：7〇2 故答案为：39。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 14．为了确保通信安全，信息需要加密传输。现规定加密规则：明文（m，n）加密成密文后是（3m+1，mn）。按照这样的加密规则，明文（2，5）加密后是（ 　7　，　10　），密文（10，21）的明文是（ 　3　，　7　）。 【分析】求明文（2，5）加密后的密文，把m＝2，n＝5代入3m+1和mn计算即可；求密文（10，21）的明文是多少，可得3m+1＝10，求出m的值，再把m的值代入mn＝21，求出n的值。 【解答】解：把m＝2，n＝5代入3m+1和mn可得： 3×2+1 ＝6+1 ＝7 2×5＝10 所以，明文（2，5）加密后是（7，10）。 密文（10，21）的明文是多少，可得： 3m+1＝10 3m+1﹣1＝10﹣1 3m＝9 3m÷3＝9÷3 m＝3 把m＝3代入mn＝21可得： 3n＝21 3n÷3＝21÷3 n＝7 所以，密文（10，21）的明文是（3，7）。 故答案为：7，10；3，7。 【点评】解答本题的关键是知道新运算的算理及计算方法。 15．对于数、定义新运算：，那么，则　5　。 【分析】根据规定的运算规则，先算小括号里面的，再把小括号里的结果代入算式，解方程即可。 【解答】解： 答：。 故答案为：5。 【点评】解决本题的关键是根据新运算方法，先算出小括号里的值。 16．规定运算△的结果按照下述方式产生：在的倍数中找出大于且最小的一个，计算这个倍数与的差，如7△，9△。那么25△　2　。 【分析】先从25的倍数中找出比2023大且最小的一个，然后计算这个倍数与2023的差。 【解答】解：25△2023 【点评】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 三．解答题（共7小题） 17．定义一种新运算；，其中和为任意两个不为0的数，为常数，比如：。 （1）如果，与的值相等吗？请说明理由。 （2）当取什么值时，对于任何不同的和，都有与相等，即新运算“”符合交换律？ 【分析】（1）先根据，求出的值，然后分别求与的值，进行比较，即可得出结论。 （2）根据计算法则，计算当时，求的值即可。 【解答】解：（1） 答：与的值不相等。 （2） 答：时，任何不同的和，都有与相等。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 18．和都是正整数，设※表示从起个连续正整数的和。例如2※，5※。 （1）求6※　63　。 （2）用的代数式表示3※。 （3）若※，求。 【分析】（1）把从6开始的7个数相加即可。 （2）把从3开始的个数相加，求和即可。 （3）用含有的式子表示出从开始的5个数相加的和是2015，解含有的方程即可。 【解答】解：（1）6※7 答：6※。 （2）3※ （3） 故答案为：63。 【点评】本题主要考查定义新运算，关键根据新的运算法则计算。 19．表示一种新运算，规定，若，求的值。 【分析】根据新运算，把换算成，然后再求出的值即可。 【解答】解：因为，， 所以： 则 【点评】解答此题的关键是，根据所给出新的运算方法把字母换算成数值，再求出的值即可。 20．对两个自然数和，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为☆，即☆，。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆，求的值。 【分析】（1）求出12和21的最小公倍数和最大公约数，再用最小公倍数减去最大公约数即可解答； （2）由于运算没有直接表达式，解这个方程我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与的最小公倍数不小于，不大于，由此即可得数答案。 【解答】解：（1） 所以12和21的最小公倍数是，最大公约是3。 则12☆ （2）因为6与的最小公倍数不小于，不大于：，而28和33之间，只有30是6的倍数，可见6和的最小公倍数是30， 因此，它们的最大公约数是，由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积这两个数的积”得到： 答：的值是15。 【点评】解答本题的关键是：根据定义新运算，得出新的运算定义，再利用新的运算定义和运算方法，解答即可。第二题可以先确定范围，然后求出的值。 21．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正因数叫作的真因数。如的正因数有1、2、4、8，其中1、2、4是8的真因数。把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”。如：8的“完美指标”是，请试着计算9、16的“完美指标”。 【分析】根据定义的新的运算意义，分别找出9和16的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，列式即可解答。 【解答】解：（1）9的正因数有：1，3、9，其中1是3的真因数。 9的完美指标： 16的正因数有：1，2，4，8、16，其中1，2，4、8是16的真因数。 16的完美指标： 答：9的完美指标是，16的完美指标是。 【点评】解答此题的关键是根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题。 22．定义新运算：若△，当△时，△的值是多少？ 【分析】根据△，求出△10，再根据△，解方程求出的值，再根据新定义求△的值即可。 【解答】解：因为△， 所以△ 又因为△，可得： △△ 答：△的值是11。 【点评】解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，先求出的值。 23．如果用表示一种运算符号，如果，且，求的值． 【分析】根据新运算，再根据解方程的方法进一步解答即可． 【解答】解： 因为 所以 ． 【点评】本题考查了定义新运算，关键是根据规定弄清新的运算，然后再进一步解答即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$