（计算问题专项讲义）专题6 循环小数及其分类-小升初数学模块化思维提升（通用版）

专题6-循环小数及其分类 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数． 2、循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数． 纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… 混循环小数指不是从小数第一位循环的小数． 3、纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9；9的个数与循环节的位数相同．能约分的要约分． 4、一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差．分母的头几位数是9，末几位是0；9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同． 【典例一】关于0.2405，下列说法正确的是　　 A．它的循环节是45 B．它是一个有限小数 C．它的循环节是405 D．它保留3位小数是0.204 【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论。 【解答】解：关于0.2405，、它的循环节是45，说法错误，因为这个小数是有限小数； 、它是一个有限小数，说法正确； 、它的循环节是405，说法错误，因为这个小数是有限小数； 、它保留3位小数是0.240，所以本选项说法错误。 故选：。 【点评】此题考查了小数的读写、意义及循环小数及求一个小数近似数的方法，应注意平时基础知识的积累。 【典例二】毛泽东的诗词中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。其中“一丈”等于我们现在的米，用简便方法可以记为 　　米，那么20丈约等于 　　米。（请保留两位小数） 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 已知一丈是现在的米，用乘法计算求出20丈约等于现在的米数，注意得数根据“四舍五入”法保留两位小数。 【解答】解： 20丈米米 故答案为：，6.67。 【点评】本题主要考查了学生对循环小数的掌握以及用四舍五入法求近似数的方法。 【典例三】用0，1，2各一次可以组成多少个不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以随意添加，但必须是循环小数），这些小数的总和是多少？ 【分析】0，1，2各一次可以组成循环小数：、、、、、、、、、、、然后相加即可． 【解答】解：0，1，2各一次可以组成循环小数： 、、、、、、、、、、、， ，，， ，； ，， 答：这些小数的总和是． 【点评】此题考查了循环小数及其分类，明确0，1，2各一次可以组成循环小数有哪些，是解答此题的关键． 一．选择题（共8小题） 1．的商是　　 A．无限不循环小数 B．有限小数 C．循环小数 【分析】先计算出的商然后再进行判断． 【解答】解： 所以，的商是循环小数； 故选：． 【点评】根据小数的分类，小数可分为有限小数和无限小数；有限小数的小数部分的位数是有限的，无限的小数的小数部分的位数是无限的，且循环小数的位数也是无限的，所以循环小数也是无限小数；据此判断即可． 2．在小数0.323232，，，0，，0.555中，无限循环小数有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】循环小数是一个位数无限，从小数点后面某一位起重复出现一位或几位数字的小数；无限小数是位数无限的小数，包括无限循环小数和无线不循环小数． 【解答】解：无限循环小数有：，，共2个． 故选：． 【点评】此题考查了小数的分类，知道循环小数的无限循环小数． 3．下面说法中正确的是　　 A．因为12含有质因数3，所以不能化成有限小数 B．任何一个三角形至少有两个锐角 C．六（1）班同学的平均身高是1.45米，六（2）班同学的平均身高是1.42米，芳芳在六（1）班，红红在六（2）班，芳芳一定比红红高 D．圆的面积与它的半径成正比例 【分析】根据所学的对应的知识点，逐项进行分析，即可判断选择． 【解答】解：、，所以原题说法错误； 、任何一个三角形至少有两个锐角，说法正确； 、由于平均数表示一组数据的平均值，六（1）班同学的平均身高是1.45米，六（2）班同学的平均身高是1.42米，芳芳在六（1）班，身高可能低于1.45米，红红在六（2）班，身高可能高于1.42米，所以不能判定芳芳一定比红红高；所以原题说法错误； 、圆的面积它的半径它的半径，因为它的半径是变量，所以它的半径）就不一定，是乘积不一定，所以圆的面积与它的半径不成比例；所以原题说法错误； 故选：． 【点评】此题考查了分数化有限小数、三角形的内角和、平均数和辨识成正比例的量，掌握相关知识点是关键． 4．下面四个式子中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】因为，是循环小数，可以简记为：，据此选择即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】明确循环小数的意义及循环小数的简记方法，是解答此题的关键． 5．这个数的循环节是　　 A．024 B．240 C．2401 D．02401 【分析】根据循环节的含义解答，即：在循环小数中，小数部分的一个数字或几个数字从某一位开始周期性或有规律的出现，那么这个数字或者几个数字就叫作循环小数的循环节． 【解答】解：这个数的循环节是2401； 故选：． 【点评】解答此题的关键是确定循环节的含义，然后再进行选择即可． 6．用循环小数表示的商是　　 A． B． C． 【分析】求商，根据“被除数除数商”进行解答即可． 【解答】解：； 故选：． 【点评】此题应根据被除数、除数和商三者之间的关系进行解答． 7．下面的四个数中，　　是循环小数． A．8.777777 B．12.535353 C．707070.0 D． 【分析】根据循环小数的概念来判断：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数． 【解答】解：根据循环小数的概念可知：在8.777777，12.535353，707070.0，这几个小数中， 只有是循环小数； 故选：． 【点评】解决此题主要依据循环小数的概念和特点进行解决． 8．可以简写成　　 A．． B． C． D． 【分析】根据循环节的意义，在循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节；通过观察发现，这个小数从小数点后面第一位开始出现循环的数字，因此是一个循环小数；在简写这个小数时，找出循环节，在上面打上小圆点即可． 【解答】解：可以简写成； 故选：． 【点评】此题考查循环小数的简记法和循环节的辨识． 二．填空题（共8小题） 9．和都是　循环　小数，分别记作　 　和　 　． 【分析】根据循环小数意义解答：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数，简记法：在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点． 【解答】解：和都是 循环小数，分别记作和 故答案为：循环，，． 【点评】本题主要考查循环小数的意义及简记法． 10．用循环小数的简便写法表示的商是　　，保留两位小数约是　 　，精确到十分位是　 　． 【分析】因为，要求保留两位小数，就要看千分位上的数字，精确到十分位，看百分位上的数，然后根据四舍五入的原则分别取近似值即可． 【解答】解：用循环小数的简便写法表示的商是，保留两位小数约是 0.27，精确到十分位是 0.3； 故答案为：，0.27，0.3． 【点评】此题考查了学生用循环小数表示商的方法，以及对四舍五入方法的掌握情况． 11．的循环节是　713　，把它保留三位小数约是　 　，保留一位小数约是　 　． 【分析】根据循环节的意义，在循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节．它的循环节是713；再利用“四舍五入法”求出近似数即可． 【解答】解：的循环节是 713，把它保留三位小数约是 1.714，保留一位小数约是 1.7； 故答案为：713，1.714，1.7． 【点评】此题主要考查循环节的概念及意义，和利用“四舍五入法”求出近似数的方法． 12．在4.52，0，，1.67，，0.78中　4.52、1.67、0.78　是有限小数，　 　是无限小数，　 　是循环小数． 【分析】解答此题，要知道循环小数是一个位数无限，从小数点后面某一位起重复出现一位或几位数字的小数；无限小数是位数无限的小数，包括无限循环小数和无限不循环小数；有限小数是位数有限的小数． 【解答】解：在4.52，0，，1.67，，0.78中 4.52、1.67、0.78是有限小数，、是无限小数，是循环小数． 故答案为：4.52、1.67、0.78；、；． 【点评】此题考查了循环小数、无限小数和有限小数的意义以及它们的分类． 13．一个循环小数0．、都是非0自然数），这个数小数部分前10位上的数字和是40，这个循环小数最大是　　，最小是　 　． 【分析】这个数小数部分前10位上的数字和是40，即，则，所以这个循环小数最大是，最小是；据此解答． 【解答】解：由题意可知： ， ， 所以这个循环小数最大是，最小是； 故答案为：，． 【点评】解答此题的关键是：先根据题意，求出的和，然后根据要使循环小数最大，十分位应最大，为7，百分位为1；反之，要使循环小数最大，十分位应最小，为1，百分位为7． 14．循环小数用简便方法记作　　，它的小数部分第19位上的数字是　 　． 【分析】（1）循环小数的简便记法：在循环节的首位和末位数字上点上个小圆点即可； （2）找出循环节（循环节是循环小数的小数部分依次不断的出现的数字），用19除以循环节，余数是几就是循环节的第几个数字． 【解答】解：（1）循环小数用简便方法记作， （2）的循环节是12345，是5个数，，所以小数部分第19位上的数字是循环节的第4个数4； 故答案为：，4． 【点评】本题主要考查循环小数的简便记法和求循环节后某个数位上的数是多少． 15．　　． 【分析】根据小数加法的计算法则计算即可． 【解答】解： 故答案为：． 【点评】此题考查了小数加法的计算方法以及循环小数的简记法． 16．完成填空 写作　　； 写作　 　； 7.02828的循环节是　 　； 9.03126126的循环节是　 　． 【分析】从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点．循环节是指循环小数的小数部分依次不断重复出现的一个或几个数字，根据循环节的意义进行判断即可． 【解答】解：写作； 写作； 7.02828的循环节是28； 9.03126126的循环节是126． 故答案为：，，28，126． 【点评】本题重点考查了循环小数的记法及循环节的意义． 三．解答题（共6小题） 17．小马虎一不留神将四个循环小数中表示循环节的点都写丢了，结果出现了下面这个错误的不等式．请你帮他补上表示循环节的点，使得不等式成立．． 【分析】此题根据小数大小比较的方法，不难推出．因为这四个小数数字一样，最大的小数应是在循环节后出现最大的数字3，其次是2，然后是03，最后是003． 【解答】解：由分析可得： ． 【点评】此题重点考查循环小数的大小比较的方法以及对循环小数的推断能力． 18．阅读下列材料，回答问题． 循环小数分为纯循环小数（没有不循环的小数位）和混循环小数（至少有一位不循环的小数）两种． （1）把下列分数化成小数并判断该小数是“纯循环小数”还是“混循环小数”． ，，，， （2）猜想：能化为“纯循环小数”的分数特征是什么？ 【分析】（1）根据分数化成小数的方法先把各分数化成小数，再判断该小数是“纯循环小数”还是“混循环小数”． （2）比较各分数的分母与纯循环小数，猜想出能化为“纯循环小数”的分数的特征即可． 【解答】解：（1），是纯循环小数； ，是纯循环小数； ，是混循环小数； ，是混循环小数； ，是混循环小数； （2）和的分母中不含有2或5，它们能化成纯循环小数； 、和的分母中含有2或5，它们不能化成纯循环小数； 由此可以猜想：分母中含有2或5以外的因数的最简分数，能化成纯循环小数． 【点评】此题考查了分数化成小数的方法运用，以及归纳总结、猜想的能力培养． 19．在循环小数中，移动前一个循环点，使新循环小数尽可能小．这个新循环小数是多少？ 【分析】因为移动小圆点得到的各个小数，小数部分前9个数都是一样的，从第10个开始看，这就是说第10个就是第二个循环节的第一个数字，这个数字越小这个循环小数就越小，这个小数中有4个0，那么我们就要看11位，也就是第二个循环节的第二个数字哪个最小，那个循环小数就最小，现在就是将小圆点打在百分位上的0上时，循环节第二个数字是0，这样就最小． 【解答】解：在循环小数中，移动循环节的前一个圆点，使新的循环小数尽可能小，只要把0上的循环节移到百分位0的上面，即这个新循环小数是； 答：这个新循环小数是． 【点评】此题考查学生综合分析问题的能力，涉及了小数循环节这一知识点． 20．用0，1，2各一次可以组成多少个不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以随意添加，但必须是循环小数），这些小数的总和是多少？ 【分析】0，1，2各一次可以组成循环小数：、、、、、、、、、、、然后相加即可． 【解答】解：0，1，2各一次可以组成循环小数： 、、、、、、、、、、、， ，，， ，； ，， 答：这些小数的总和是． 【点评】此题考查了循环小数及其分类，明确0，1，2各一次可以组成循环小数有哪些，是解答此题的关键． 21．请在下面四个小数的小数部分的适当位置加上循环点，使不等式成立． （1）． 【分析】要使每个小数都变成循环小数，且使不等式成立，根据原小数是0.2008，循环小数的循环节是”8”时循环小数最大；循环节为“28”时循环小数比较大；循环节为“008”时循环小数比较小，故要使不等式成立，第一个小数的循环节应为“008”，第二个小数的循环节为“08”，第三个小数的循环节为“28”，第四个小数的循环节为“8”；由此解答． 【解答】解：． 【点评】此题主要考查小数大小比较的逆向思考，解答此题根据不等式的顺序，确定循环节分别是多少． 22．将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数．那么，该近似值的最后一位小数是多少？ 【分析】此题应先把循环小数化为分数，然后相乘，再把结果化为小数，看有什么规律，根据规律与四舍五入的方法，求出近似值的最后一位小数是几． 【解答】解： ； 因为， 所以6位循环16次后第17次循环的第4位是这个循环小数的第100位，就是8， 第101位是5，所以保留小数点后100位的近似值的最后一位是9． 【点评】此题综合性较强，难度较大，关键的是要掌握循环小数化为分数的方法，同时考查了学生分析判断与推理能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-循环小数及其分类 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、循环小数的概念：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．循环小数是无限小数． 2、循环小数可分为：纯循环小数和混循环小数． 纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666… 混循环小数指不是从小数第一位循环的小数． 3、纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9；9的个数与循环节的位数相同．能约分的要约分． 4、一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差．分母的头几位数是9，末几位是0；9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同． 【典例一】关于0.2405，下列说法正确的是　　 A．它的循环节是45 B．它是一个有限小数 C．它的循环节是405 D．它保留3位小数是0.204 【典例二】毛泽东的诗词中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。其中“一丈”等于我们现在的米，用简便方法可以记为 　　米，那么20丈约等于 　　米。（请保留两位小数） 【典例三】用0，1，2各一次可以组成多少个不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以随意添加，但必须是循环小数），这些小数的总和是多少？ 一．选择题（共8小题） 1．的商是　　 A．无限不循环小数 B．有限小数 C．循环小数 2．在小数0.323232，，，0，，0.555中，无限循环小数有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下面说法中正确的是　　 A．因为12含有质因数3，所以不能化成有限小数 B．任何一个三角形至少有两个锐角 C．六（1）班同学的平均身高是1.45米，六（2）班同学的平均身高是1.42米，芳芳在六（1）班，红红在六（2）班，芳芳一定比红红高 D．圆的面积与它的半径成正比例 4．下面四个式子中正确的是　　 A． B． C． D． 5．这个数的循环节是　　 A．024 B．240 C．2401 D．02401 6．用循环小数表示的商是　　 A． B． C． 7．下面的四个数中，　　是循环小数． A．8.777777 B．12.535353 C．707070.0 D． 8．可以简写成　　 A．． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 9．和都是　 　小数，分别记作　 　和　 　． 10．用循环小数的简便写法表示的商是　 　，保留两位小数约是　 　，精确到十分位是　 　． 11．的循环节是　 　，把它保留三位小数约是　 　，保留一位小数约是　 　． 12．在4.52，0，，1.67，，0.78中　 　是有限小数，　 　是无限小数，　 　是循环小数． 13．一个循环小数0．、都是非0自然数），这个数小数部分前10位上的数字和是40，这个循环小数最大是　 　，最小是　 　． 14．循环小数用简便方法记作　 　，它的小数部分第19位上的数字是　 　． 15．　 　． 16．完成填空 写作　 　； 写作　 　； 7.02828的循环节是　 　； 9.03126126的循环节是　 　． 三．解答题（共6小题） 17．小马虎一不留神将四个循环小数中表示循环节的点都写丢了，结果出现了下面这个错误的不等式．请你帮他补上表示循环节的点，使得不等式成立．． 18．阅读下列材料，回答问题． 循环小数分为纯循环小数（没有不循环的小数位）和混循环小数（至少有一位不循环的小数）两种． （1）把下列分数化成小数并判断该小数是“纯循环小数”还是“混循环小数”． ，，，， （2）猜想：能化为“纯循环小数”的分数特征是什么？ 19．在循环小数中，移动前一个循环点，使新循环小数尽可能小．这个新循环小数是多少？ 20．用0，1，2各一次可以组成多少个不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以随意添加，但必须是循环小数），这些小数的总和是多少？ 21．请在下面四个小数的小数部分的适当位置加上循环点，使不等式成立． （1）． 22．将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数．那么，该近似值的最后一位小数是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$