精品解析：浙江省宁波市效实中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷

2024 效实中学新高一分班考数学 一、选择题 (共 4 小题) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用交集定义计算即可. 【详解】，则. 故选：D. 2. 有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算队伍前进的总时间，传令兵从排头到排尾的时间及从排尾到排头的时间，根据传令兵往返总时间与队伍前进时间相等即可求解. 【详解】设总时间为，传令员从排头到排尾所用时间为，从排尾到排头所用时间为， 所以，所以， 解得，即， 所以. 故选：C. 3. 如图，已知 ，点 将线段 均分为 等分，点 在直线 上，且 轴. 记 、 的面积分别为 . 当 越来越大时，猜想最近的常数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先按规律列举出，，再求出面积，最后求和，结合极限思想得出解. 【详解】， 且. 又，故最近的常数是. 故选：B. 4. 设正整数，其中，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 故选：ACD. 二、填空题 (共 10 小题) 5. 计算___. 【答案】 【解析】 【分析】将式子拆成两部分求和，再相减即可. 【详解】 故答案为：. 6. 已知则的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】因为方程的解是函数图象与轴的交点的横坐标，所以先求出方程的解，再作出函数图象即可得到的解集，进而得到原不等式的解集. 【详解】由题， 解得，. 作出函数的图象如图所示： 由图可得不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 7. 已知、是方程的两个根，则___. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，，即可得到，代入计算可得. 【详解】因为、是方程的两个根， 所以，， 所以，则， 所以 . 故答案为： 8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为___. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 9. 已知 满足 ，则 ___. 【答案】4048 【解析】 【分析】将根数变形，分母去根式，再结合非负数性质可解. 【详解】， 则， 同理， 得出的两个式子相减得，即， 由非负数性质知道，即.则. 故答案为：4048. 10. 已知满足，则___. 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知等式化简求值即可. 【详解】因为，所以 所以，则， 所以. 故答案为：2. 11. 已知为实数，那么 的最小值为___. 【答案】3 【解析】 【分析】整理可得，进而可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 12. 为任意实数，则 的最小值为___. 【答案】510 【解析】 【分析】利用零点分段去绝对值，结合函数单调性求最小值. 【详解】①时， ， 当时，有最小值； ②时， ， 当时，有最小值； ③时， ， 此时； ④时， ， 当时，有最小值； ⑤时， ， 当时，有最小值； ⑥时， ， 当时，有最小值. 综上可知，当时，的最小值为. 故答案为：. 13. 如图， ， 点 分别在边 上，且 ， ，点 分别在边 上，则 的最小值是___. 【答案】 【解析】 【分析】作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交于P，交于Q，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】 作法：（1）作点M关于的对称点，点N关于的对称点， （2）连接交于P，交于， （3）连接， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 直角三角形， ，即 的值最小为， 故答案为：． (来源: 2022 金华中考) 14. 如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠， 点的对应点分别为与相交于点，的延长线过点. 若，则的值为___. 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由题意求得，进而推出，再依据，设求得，，从而可求出解. 【详解】连接、，则由题意，，， 所以， 所以由，，得， 所以，故是的中点， 所以由得为的中点，即， 因为，故设，则， 所以， 所以，故， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点1是正确作出需要的辅助线、，关键点2是求出，从而推出，关键点3是依据，设求得，再结合勾股定理得，进而可求出解. 三、解答题 (共 2 小题) 15. 如图， 已知 为等边三角形，其内部有一点 满足 ， ，求 的大小. 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得到，再根据旋转性质，证明为等边三角形，为直角三角形，最后由解答； 【详解】 利用“转化”思想，将绕顶点A旋转到处， 连接，∵， ∴， 由题意知旋转角， ∴为等边三角形， ， 由旋转的性质可得：, ∵， ∴为直角三角形，且， ∴； 16. 已知函数，在内方程有两个解、. （1）求的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1） （2） 由以及，消去，整理得， 即，由于，故． 【解析】 【分析】（1）令，将写成分段函数，由于函数有两个零点，可判断出，然后分别由，可求出实数的取值范围； （2）由以及，消去，可证得结论. 【小问1详解】 令， 则， 当时，是单调函数，至多只有一个零点； 当时，假设有两个零点，则，出现矛盾； 因此必有； 由，得，所以； 由，得， 显然函数在上单调递减，故； 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 效实中学新高一分班考数学 一、选择题 (共 4 小题) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 如图，已知 ，点 将线段 均分为 等分，点 在直线 上，且 轴. 记 、 的面积分别为 . 当 越来越大时，猜想最近的常数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 设正整数，其中，记．则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (共 10 小题) 5. 计算___. 6. 已知则的取值范围是___. 7. 已知、是方程的两个根，则___. 8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为___. 9. 已知 满足 ，则 ___. 10. 已知满足，则___. 11. 已知为实数，那么 的最小值为___. 12. 为任意实数，则 的最小值为___. 13. 如图， ， 点 分别在边 上，且 ， ，点 分别在边 上，则 的最小值是___. (来源: 2022 金华中考) 14. 如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠， 点的对应点分别为与相交于点，的延长线过点. 若，则的值为___. 三、解答题 (共 2 小题) 15. 如图， 已知 为等边三角形，其内部有一点 满足 ， ，求 的大小. 16. 已知函数，在内方程有两个解、. （1）求的取值范围； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $