【高考领航】2025年高考数学(理科)模拟试题精编卷(1)

高考理科数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z满足z(1－i)＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　) A.－ B. C.i D.－i 2．已知集合A＝{x|2x－1＞5}，B＝{x|(x－a)(x－a＋1)≥0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是(　　) A.[4，＋∞) B.[3，＋∞) C.(－∞，4] D.(－∞，3] 3．已知命题p：∃x0∈R，sin x0＝；命题q：∀x∈R，x2－2x＋2≥0.下列结论正确的是(　　) A.p∨q是真命题 B.p∧q是真命题 C.(¬p)∨q是假命题 D.(¬p)∧(¬q)是真命题 4．若θ为锐角，cos(θ＋)＝－，则tan θ＋＝(　　) A. B. C. D. 5．已知P是曲线C：x＋＝0上的点，Q是直线x－y－1＝0上的一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B.－1 C.－1 D. 6.已知奇函数f(x)在x≤0时的图象如图所示，则不等式xf(x)＞f(x)的解集为(　　) A.(－∞，－3)∪(0，3) B.(－3，－1)∪(1，3) C.(－∞，－3)∪(1，3) D.(－3，0)∪(1，3) 7．给出下列命题： ①若△ABC的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线； ②若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线； ③若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； ④对于三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b. 其中所有真命题的序号是(　　) A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 8．函数f(x)＝－x的图象大致为(　　) 　 9．某学校运动会设有7个大项．该校校委欲招募一批志愿者，甲、乙2名大学生申请报名时，计划每人从7个大项中随机选取3个大项做服务工作，则2人恰好选中相同的2个大项的不同报名情况有(　　) A.420种 B.440种 C.480种 D.840种 10．过点M(p，0)作倾斜角为150°的直线与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，若|AB|＝2，则|AM|·|BM|的值为(　　) A.4 B.4 C.2 D.4 11．已知数列{an}满足对任意的正整数n，都有a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，其中a1＝3，则数列{an}的前2024项和是(　　) A.3×22024－3 B.3×22023＋1 C.3×22023 D.3×22023＋2 12．已知x∈(，)，且a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为________． 14．已知向量a，b满足a＝(1，1)，a＋2b＝(3，－1)，则向量a与b的夹角为________． 15．已知F是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的右焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝2b，∠POF＝，则C的离心率为________． 16．若在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列3，4进行构造，第一次得到数列3，7，4，第二次得到数列3，10，7，11，4，依次构造，第n(n∈N*)次得到数列3，x1，x2，…，xk，4.记an＝3＋x1＋x2＋…＋xk＋4，则a3＝________；设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin C＝csin . (1)求A； (2)已知b＝1，c＝3，且边BC上有一点D满足△ABD的面积为△ADC面积的3倍，求AD. 18．(12分)如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC上一点，∠CAB＝60°，AB＝2PA，AD⊥DB. (1)求证：PD＝DC； (2)若G为△PAC的重心，求二面角G­BC­P的正切值． 19．(12分)全国高中数学联赛试题设置如下：联赛分为一试、二试．一试包括8道填空题(每题8分)和3道解答题(分别为16分、20分、20分)，满分120分．二试包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面，前两道题每题40分，后两道题每题50分，满分180分．已知某一数学竞赛选手在一试中每道填空题能够正确解答的概率均为，每道解答题能够正确解答的概率均为，在二试中前两道每题能够正确解答的概率均为，后两道每题能够正确解答的概率均为，假设每道题答对得满分，答错得0分． (1)记该选手在二试中的成绩为X，求P(X≥100)； (2)根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在100分以上(含100分)，最终获得省一等奖的可能性为，一试成绩低于100分，最终获得省一等奖的可能性为，问该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到，并说明理由． 参考数据：()8≈0.168，()7≈0.21，()6≈0.262. 20．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过点R(2，0)作x轴的垂线交抛物线C于G，H两点，且OG⊥OH(O为坐标原点)． (1)求p； (2)过Q(2，1)任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线C于A，B两点，直线AR交抛物线C于不同于点A的另一点M，直线BR交抛物线C于不同于点B的另一点N.求证：直线MN过定点． 21．(12分)已知函数f(x)＝1－，a≠0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x＞0，a＞0时，exf(x)≥bx，证明：ab≤. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程； (2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋. 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤4的解集； (2)若函数f(x)的最小值为m，已知a＞0，b＞0，c＞0，＋＋＝m，求a＋2b＋3c的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答 案 与 精 析 高考理科数学模拟试题精编(一) 1．B　解法一：由z(1－i)＝i，得z＝＝＝＝＝－＋i，所以z的虚部为，故选B. 解法二：设z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，则z(1－i)＝(a＋bi)(1－i)＝a－ai＋bi－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，又z(1－i)＝i，所以解得所以z＝－＋i，所以z的虚部为，故选B. 2．A　由题意知集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a}，因为A∪B＝R，所以a－1≥3，解得a≥4，故选A. 3．A　由正弦函数的性质可知，对任意x∈R，sin x∈[－1，1]，所以命题p为假命题；对任意x∈R，x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，所以命题q为真命题．所以命题p∨q为真命题，故选A. 4．B　解法一：因为cos (θ＋)＝cos θcos －sin θsin ＝(cos θ－sin θ)＝－， 所以cos θ－sin θ＝－　①.又sin2θ＋cos2θ＝1 0＜θ＜　②， 所以由①②可得sin θ＝，cos θ＝，所以tan θ＝＝，所以tan θ＋＝＋＝，故选B. 解法二：因为cos (θ＋)＝cos θcos －sin θsin ＝(cos θ－sin θ)＝－，所以cos θ－sin θ＝－，两边平方，整理得1－2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝，所以tan θ＋＝＋＝＝＝，故选B. 5．D　由x＋＝0得，x2＋(y－1)2＝1， ∴曲线C是圆心为C(0，1)，半径r＝1的左半圆， ∴曲线C上的点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离d＝， 即为|PQ|的最小值．故选D. 6．D　根据函数的性质作出f(x)在R上的大致图象如图所示，由xf(x)＞f(x)得(x－1)·f(x)＞0， ∴，或，解得1＜x＜3或－3＜x＜0. 7．B　对于①，设平面α∩平面ABC＝l，因为P∈平面α，P∈平面ABC，所以P∈l，同理Q∈l，R∈l，所以P，Q，R三点共线，故①是真命题； 对于②，如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取A1D1所在直线为直线a，AB所在直线为直线b，B1C1所在直线为直线c，满足直线a，b异面，直线b，c异面，而a∥c，故②是假命题； 对于③，经过一组相交直线或一组平行直线，有且仅有一个平面，故③为真命题； 对于④，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取A1D1所在直线为直线a，BB1所在直线为直线b，A1B1所在直线为直线c，满足a⊥c，b⊥c，而直线a，b异面，故④为假命题． 综上所述，真命题的序号为①③，故选B. 8．B　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)＝－(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A选项．f(1)＝e－1＞1，排除C，D选项，故选B. 9．A　可分三步：第一步，在7个大项中选取2个，共有C＝21(种)不同的方法；第二步，甲在剩下的5个大项中选取1个，共有C＝5(种)不同的方法；第三步，乙在剩下的4个大项中选取1个，共有C＝4(种)不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，2人恰好选中相同的2个大项的不同报名情况有21×5×4＝420(种)，故选A. 10．A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，因为直线AB的倾斜角为150°，所以直线AB的斜率为tan 150°＝－，所以直线AB的方程为y＝－(x－p)，即x＝－y＋p，代入抛物线C：y2＝2px，整理得y2＋2py－2p2＝0，因为|AB|＝|AM|＋|BM|＝2|y1|＋2|y2|＝2y1－2y2＝2，所以y1－y2＝　①.由两式相减，得y1＋y2＝＝－2p　②.又x1＝p－y1，x2＝p－y2，所以yy＝4p2x1x2＝4p2(p－y1)·(p－y2)＝12p2y1y2＋28p4，得y1y2＝－2p2　③.由①②③可得y1y2＝－1，所以|AM|·|BM|＝2|y1|·2|y2|＝4|y1y2|＝4，故选A. 11．C　设数列{an}的前n项和为Sn，则由a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，得Sn－an＋1＝0，所以Sn－(Sn＋1－Sn)＝0，则Sn＋1＝2Sn，所以数列{Sn}是首项为S1＝a1＝3，公比为2的等比数列，所以Sn＝3×2n-1，所以S2024＝3×22023，故选C. 12．C　设函数f(x)＝，则当x＞0时，f′(x)＝＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为x∈(，)，所以＜sin x＜1，故1＜2sin2x＜2，所以2sin2x＞sinx＞cos x＞0，所以f(2sin2x)＜f(sinx)＜f(cos x)，即a＜c＜b，故选C. 13．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线x＋2y＝0，平移该直线，当纵截距最小时，z最小，由图可知，当平移后的直线经过点A时纵截距最小，由得即A(－1，－1)，则zmin＝－1＋2×(－1)＝－3. 答案：－3 14．解析：因为a＝(1，1)，a＋2b＝(3，－1)，所以2b＝(3，－1)－(1，1)＝(2，－2)，所以b＝(1，－1)，cos 〈a，b〉＝＝＝0，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 答案： 15．解析：如图，设P在第一象限，因为|OP|＝2b，∠POF＝，所以P(b，b)，代入双曲线方程，得b2－＝1，所以b＝2，所以e＝＝c＝＝. 答案： 16．解析：因为a1＝3＋7＋4＝14，a2＝3＋10＋7＋11＋4＝35＝a1＋7×3，a3＝98＝a2＋7×32，…，an＝an－1＋7×3n-1(n≥2)，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2)，即an＝14＋7×(31＋32＋…＋3n-1)＝(n≥2)，当n＝1时也满足，从而Sn＝×[(3＋32＋…＋3n)＋n]＝. 答案：98　 17．解：(1)由已知及正弦定理，得sin A·sin C＝sin C·sin . 又sin ＝sin ＝cos ， 所以sin A sin C＝sin C cos . 因为sin C≠0，所以sin A＝cos ，所以2sin cos ＝cos ，因为0＜＜，所以cos ≠0， 所以sin ＝，即＝，所以A＝. (2)设∠BDA＝α，则∠ADC＝π－α， 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝12＋32－6cos ＝7， 解得a＝. 因为S△ABD＝3S△ADC， 所以BD＝3DC＝. 在△ABD中，由余弦定理，得9＝＋AD2－·AD·cos α，① 在△ADC中，由余弦定理，得1＝＋AD2－·AD·cos (π－α)，② 由①②解得AD＝. 18．解：(1)证明：因为PA⊥圆O所在的平面，所以PA⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以AC⊥BC， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 又AD⊂平面PAC，所以BC⊥AD. 因为AD⊥DB，BC∩DB＝B，BC，DB⊂平面PBC， 所以AD⊥平面PBC， 又PC⊂平面PBC，所以AD⊥PC. 在直角三角形ABC中，∠CAB＝60°，所以AB＝2AC， 又AB＝2PA，所以AP＝AC， 所以D为PC的中点，所以PD＝DC. (2)依题意，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设AB＝2，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，D(，0，)，G(，0，)，所以＝(0，，0)，＝(，0，). 由(1)知平面PBC的一个法向量为＝(，0，－). 设m＝(x，y，z)是平面GBC的法向量， 则，即，得y＝0，令x＝1，得z＝－2，所以m＝(1，0，－2)， 所以cos 〈m，〉＝＝＝. 由图易知，二面角G­BC­P为锐二面角，所以二面角G­BC­P的正切值为. 19．解：(1)X≥100时的所有可能取值为100，130，140，180， P(X＝100)＝()2×()2＝，P(X＝130)＝()2×C××＝， P(X＝140)＝C×××()2＝， P(X＝180)＝()2×()2＝， ∴P(X≥100)＝＝. (2)记该选手在一试中的成绩为Y. 一试成绩大于等于100分的情况包括： 填空题对6道，解答题全对，其概率P1＝C()6×()2×()3＝()7×， 填空题对7道，解答题全对，其概率P2＝C()7××()3＝()8×， 填空题全对，解答题也全对，其概率P3＝()8×()3， 填空题全对，解答题错一道，其概率P4＝()8×C×()2×＝()8×. ∴P(Y≥100)＝()7×＋()8×[＋()3＋]＝()7×＋()8×≈0.245， ∴P(Y＜100)＝1－P(Y≥100)≈1－0.245＝0.755， ∴该选手最终获得省一等奖的可能性P＝0.245×＋0.755×＝0.5225＞，可以达到. 20．解：(1)由题意得，|RG|＝|OR|＝2. 不妨设G(2，2)，代入抛物线C的方程可得p＝1. (2)证明：由(1)知，抛物线C的方程为y2＝2x. 设A(，y1)，B(，y2)，M(，y3)，N(，y4)， 则直线AB的斜率kAB＝＝， 所以直线AB的方程为y＝(x－)＋y1，即2x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0. 同理可得直线AM，BN的方程分别为2x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，2x－(y2＋y4)y＋y2y4＝0. 由直线AB过Q(2，1)及直线AM，BN过R(2，0)，可得4－(y1＋y2)＋y1y2＝0，y1y3＝y2y4＝－4.又直线MN的方程为2x－(y3＋y4)y＋y3y4＝0，即2x＋(＋)y＋＝0， 所以直线MN的方程为y1y2x＋2(y1＋y2)y＋8＝0. 把4－(y1＋y2)＋y1y2＝0代入y1y2x＋2(y1＋y2)y＋8＝0，得y1y2x＋2(y1y2＋4)y＋8＝0，即(x＋2y)y1y2＋8y＋8＝0. 令x＋2y＝0，8y＋8＝0可得x＝2，y＝－1. 所以直线MN过定点(2，－1). 21．解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝－＝. ①若a＞0，则当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． ②若a＜0，则当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(0，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． (2)证明：由exf(x)≥bx，得ex－ax2－bx≥0， 因为x＞0，所以－ax－b≥0， 令g(x)＝－ax－b(x＞0)， 则g′(x)＝－a， 设h(x)＝－a(x＞0)，则h′(x)＝＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h(1)＝－a＜0，h(1＋a)＝－a＞－a＝a－a＝0， 所以存在x0∈(1，1＋a)，使得h(x0)＝0，即a＝. 所以当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 所以g(x)≥g(x0)＝－ax0－b≥0，所以b≤－＝. 所以ab≤＝. 设F(x)＝(x＞1)， 则F′(x)＝－·e2x ＝－·e2x， 当1＜x＜时，F′(x)＞0，F(x)单调递增；当x＞时，F′(x)＜0，F(x)单调递减． 所以F(x)≤F()＝，所以ab≤. 22．解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C2过原点，且倾斜角为， 故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R). (2)由 得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝. 23．解：(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋1|≤4， 即当x＜－1时，f(x)＝－2x＋1≤4， ∴－≤x＜－1； 当－1≤x≤2时，f(x)＝3≤4恒成立， ∴－1≤x≤2； 当x＞2时，f(x)＝2x－1≤4， ∴2＜x≤. 综上，不等式f(x)≤4的解集为. (2)解法一：f(x)＝， ∴f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， ∴当－1≤x≤2时，f(x)取得最小值3，即m＝3. ∴＋＋＝3. ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴结合柯西不等式得(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(1＋2＋3)2＝36，当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立， ∴a＋2b＋3c的最小值是12. 解法二：f(x)＝|x－2|＋|x＋1|≥|(x－2)－(x＋1)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时等号成立， ∴f(x)的最小值为3，即m＝3. 下同解法一． 学科网（北京）股份有限公司 $$