【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(8)

高考文科数学模拟试题精编(八) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合P＝{x∈R|y＝ln (3－x)}，Q＝{y∈R|y＝2x，x∈P}，则P∩Q＝(　　) A．(－∞，3) B．(0，3) C．(1，3) D．(－∞，8) 2．复数z满足|z－5|＝|z－1|＝|z＋i|，则|z|＝(　　) A． B． C．3 D．5 3．随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有1～6共六个数字，记事件A＝“骰子向上的点数是1和3”，事件B＝“骰子向上的点数是3和6”，事件C＝“骰子向上的点数含有3”，则下列说法正确的是(　　) A．事件A与事件B是相互独立事件 B．事件A与事件C是互斥事件 C．P(A)＝P(B)＝ D．P(C)＝ 4.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AE＝3ED，DF＝FC，AF与BE相交于点G，记＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 5．设函数f(x)＝1－，则(　　) A．y＝x3＋|f(x)|是奇函数 B．y＝x3＋|f(x)|是偶函数 C．y＝x3|f(x)|是偶函数 D．y＝x3|f(x)|是奇函数 6．某中学举行中国共产党史学习教育知识竞赛，甲队有A、B、C、D、E、F共6名选手，其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女生被选中的概率是(　　) A． B． C． D． 7．某四面体的三视图如图所示，已知其正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知p：loga3＞logb3，q：＞＞0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9.如图，某人在山脚A处测得观看日出的最佳观测点亮宝台B的仰角约为45°，其沿着坡角为30°的山路AD走了2200米到达休息点D，此时测得亮宝台B的仰角约为75°，则亮宝台B的海拔BC约为(　　) A．1400米 B．1700米 C．2200米 D．2400米 10．已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点．过抛物线C2：x2＝8y上任意一点B作直线y＝－2的垂线，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　) A．8 B．2 C．－1 D．1 11.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AB上任意一点(不含端点)，F为CC1的中点，G为C1D1的四等分点(靠近点C1)，直线AA1交平面EFG于点H，则直线EH与直线BD1所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 12．如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2x ln x－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，2] C．(－∞，4] D．(－∞，6] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知实数x，y满足约束条件，则x＋y的取值范围是____________． 14．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A为双曲线C右支上一点，O为坐标原点．若△AOF为等边三角形，则双曲线C的离心率为________． 15．已知cos ＝，＜x＜，则sin 2x＋2sin2x的值为________． 16．剪纸是一种镂空艺术，是中国最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边长EF＝________ cm. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)在各项均为正数的等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1＝1，a3，2S2，a4成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝log2(Sn＋1)，数列的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜. 18．(12分)某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下表： 喜欢 不喜欢 男生 50 10 女生 30 20 (1)根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？ (2)从抽取的喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加今年运动会志愿者服务． 若从这8人中随机选取2人到检录处参加志愿服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率． 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.025 0.01 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 19.(12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，AC⊥AB，AB＝AA1＝2，AC＝3，∠A1AB＝120°，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，G为线段CF的中点． (1)证明：A1G∥平面AEF； (2)求三棱锥A1­B1C1F的体积． 20．(12分)已知g(x)是函数f(x)＝x ln x－ax2(a∈R)的导函数． (1)讨论g(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x2)≥，求a的取值范围． 21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点，其右顶点为A(2，0). (1)求椭圆C的方程； (2)若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求△APQ面积的最大值． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转得到ON，设点N的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1，C2的极坐标方程； (2)设点Q(1，0)，若射线l：θ＝与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积． 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知f(x)＝|x－a|. (1)若f(x)≥|2x－1|的解集为[0，2]，求实数a的值； (2)若对于任意的x∈R，不等式f(x)＋|x＋2a|＞2a＋3恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(八) 1．B　P＝{x∈R|y＝ln (3－x)}＝{x|3－x＞0}＝{x|x＜3}，Q＝{y|y＝2x，x∈P}＝{y|y＝2x，x＜3}＝{y|0＜y＜8}，所以P∩Q＝(0，3)，故选B. 2．C　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z－5|＝|z－1|，得复数z对应的点到点(5，0)和(1，0)的距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由|z－1|＝|z＋i|，得复数z对应的点到点(1，0)和(0，－1)的距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝－x上．因为直线x＝3和直线y＝－x的交点为(3，－3)，所以z＝3－3i，所以|z|＝＝3，故选C. 3．C　由题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，故选项C正确；因为P(AB)＝0，所以P(AB)≠P(A)·P(B)，则事件A和事件B不是相互独立的，所以选项A错误；当事件A发生时，事件C一定发生，所以事件A和C不是互斥事件，所以选项B错误；P(C)＝1－P()＝1－＝，所以选项D错误．故选C. 4．D　解法一：因为B，G，E三点共线，所以＝x＋(1－x)＝xa＋(1－x)＝xa＋b.连接AC(图略)，因为DF＝FC，所以＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝a＋b. 因为A，G，F三点共线，所以＝λ＝λ＝a＋λb，λ∈R.因为a，b不共线，所以，解得，所以＝a＋b，故选D. 解法二：因为DF＝FC，所以＝＋＝＋＝＋.因为A，G，F三点共线，所以＝λ＝λ＝λ＋，λ∈R.因为AE＝3ED，所以＝，所以＝λ＋＝λ×＋＝＋.因为B，G，E三点共线，所以＋＝1，所以λ＝，则＝＝＝＋＝a＋b，故选D. 5．D　由题知函数f(x)的定义域为R， 且f(x)＝1－＝，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数．对于函数y＝x3＋|f(x)|，设g(x)＝x3＋|f(x)|，其定义域为R，则g(－x)＝(－x)3＋|f(－x)|＝－x3＋|f(x)|＝g(x)不恒成立，且g(－x)＝－g(x)不恒成立，所以y＝x3＋|f(x)|是非奇非偶函数．对于函数y＝x3|f(x)|，设h(x)＝x3|f(x)|，其定义域为R，则h(－x)＝(－x)3|f(－x)|＝－x3|f(x)|＝－h(x)，所以y＝x3|f(x)|是奇函数．故选D. 6．D　比赛时现场从中随机抽出2名选手，总的基本事件为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种情况，不妨设A，B，C，D为男生，则没有女生被选中的基本事件为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情况，所以至少有1名女生被选中的概率为1－＝.故选D. 7．C　由三视图可知该四面体ABCD放在正方体中如图所示，由正方体的性质可知CB⊥AB，CB⊥DA，又DA∩AB＝A，所以CB⊥平面DAB，又CB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面DAB，同理可证平面ABC⊥平面ADC，平面DAB⊥平面DBC，所以该四面体的四个面所在平面中，互相垂直的平面对数为3，故选C. 8．D　由loga3＞logb3，可得＞，解得1＜a＜b或0＜a＜b＜1或0＜b＜1＜a；由＞＞0，可得b＞a＞0.所以p是q的既不充分也不必要条件，故选D. 9．C　由题意可知AD＝2200米，∠BAD＝45°－30°＝15°，∠DBC＝90°－75°＝15°，所以∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－15°＝30°，∠ADB＝180°－15°－30°＝135°.在△ADB中，由＝，得AB＝2200×＝2200(米)，故BC＝AB sin 45°＝2200(米). 10.D　易知抛物线C1的焦点为(1，0)，所以其方程为y2＝4x.由，得A(1，2).因为抛物线C2的焦点为F(0，2)，准线方程为y＝－2，如图，连接BF，则由抛物线的定义知|BM|＝|BF|. 连接AF，可得|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|，当且仅当A，B，F三点共线，且点B在第一象限时，等号成立．故所求最大值为|AF|＝1.故选D. 11.A　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面EFG与平面ABB1A1，平面DCC1D1分别交于EH，FG，所以EH∥FG. 取CD的中点P，连接PD1，PB，则PD1∥FG，所以PD1∥EH，所以∠PD1B是异面直线EH和BD1所成的角． 设正方体的棱长为2，连接BD，在Rt△PBC中，PB＝，在Rt△PDD1中，PD1＝，在Rt△BDD1中BD1＝2，所以在等腰三角形PBD1中，cos ∠PD1B＝＝.故选A. 12．C　由题意可知，f(x)≤g(x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤2ln x＋x＋对任意x∈(0，＋∞)恒成立．设h(x)＝2ln x＋x＋，则h′(x)＝＋1－＝，x＞0，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，故a≤4. 13.解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．设z＝x＋y，作出直线x＋y＝0并平移，可知当直线平移到经过点B时，z取得最小值，则zmin＝＋＝－，所以x＋y的取值范围为. 答案： 14.解析：不妨设点A在第一象限，如图，在等边△AOF中，OF＝OA＝AF＝c，作AB⊥OF，垂足为B，则OB＝，AB＝c，所以A， 将点A的坐标代入双曲线C的方程得－＝1，结合a2＋b2＝c2并化简得＝＋1或＝1－(舍去)，故双曲线C的离心率为＋1. 答案：＋1 15．解析：解法一：因为cos ＝，所以cos [2(＋x)]＝2cos2－1＝2×－1＝－，即cos(＋2x)＝－，又cos ＝－sin 2x，所以sin 2x＝.因为＜x＜，所以＜2x＜，所以cos 2x＝－＝－，所以sin2x＋2sin2x＝sin2x＋1－cos 2x＝＋1＋＝. 解法二：因为cos ＝，所以cos x－sin x＝，所以cos x－sin x＝，两边平方，得1－2sin x cos x＝，所以sin 2x＝2sin x cos x＝.因为sin x cos x＞0，且＜x＜，所以sin x＜0，cos x＜0，所以sin x＋cos x＜0，又(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝，所以sin x＋cos x＝－，又cos x－sin x＝，所以sin x＝－，所以sin 2x＋2sin2x＝＋2×＝. 答案： 16.解析：如图，连接EG，FH，记EG与FH的交点为O，则O为圆形纸片的圆心．设EF＝CF＝t cm，0＜t＜10，则OF＝(10－t)cm，因为OE⊥OF，所以10－t＜t，又0＜t＜10，所以5＜t＜10.易得OE＝＝＝(cm)，所以菱形EFGH的面积S＝OE×OF×4＝2·(10－t)(cm2)，5＜t＜10. 令g(t)＝S2＝4(20t－100)(10－t)2＝80(t－5)(10－t)2，5＜t＜10，则g′(t)＝80(10－t)2－80(t－5)×2(10－t)＝80(10－t)(20－3t)，令g′(t)＝0，得t＝，当5＜t＜时，g′(t)＞0，当＜t＜10时，g′(t)＜0，所以函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝时，g(t)取得最大值，即当EF＝ cm时，菱形EFGH的面积最大． 答案： 17．解：(1)设数列{an}的公比为q， 由题意知，a1＝1，4S2＝a3＋a4， 则4(a1＋a2)＝4(1＋q)＝q2＋q3＝q2(1＋q). 因为∀n∈N*，an＞0，所以q＞0，所以q2＝4，q＝2， 所以an＝a1·qn-1＝2n-1(n∈N*). (2)证明：由(1)得，Sn＝＝2n－1，所以bn＝log22n＝n， 所以＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－. 显然{Tn}是递增数列，所以Tn≥T1＝. 因为＞0，所以Tn＜. 综上，≤Tn＜. 18．解：(1)因为K2＝≈7.486＞6.635， 所以有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关． (2)根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人． 男生5人分别记为a，b，c，d，e，女生3人分别记为A，B，C， 从8人中任选2人的结果有ab，ac，ad，ae，aA，aB，aC，bc，bd，be，bA，bB，bC，cd，ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共28种，其中至少有一名女生的结果有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共18种， 所以所求概率P＝＝. 19.解：(1)证明：连接A1B交AE于点M，连接MF，如图， ∵F为BC的中点，G为CF的中点， ∴＝2. ∵A1E∥BA，A1E＝BA，∴△A1EM∽△BAM， ∴＝＝2. ∴＝， ∴FM∥A1G， ∵A1G⊄平面AEF，FM⊂平面AEF， ∴A1G∥平面AEF. (2)在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，AF⊂平面ABC，∴AF∥平面A1B1C1， ∴点A，F到平面A1B1C1的距离相等， 连接AC1，AB1，∴VA1­B1C1F＝VF­A1B1C1＝VA­A1B1C1＝VC1­AA1B1. ∵侧面ACC1A1为矩形，∴A1C1⊥AA1. ∵AC⊥AB，AC∥A1C1，∴A1C1⊥AB， ∵AB∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面ABB1A1， ∴A1C1＝3为三棱锥C1­AA1B1的高． ∵AA1＝AB＝A1B1＝2，∠AA1B1＝180°－∠A1AB＝180°－120°＝60°， ∴S△AA1B1＝×2×2×sin 60°＝， ∴VC1­AA1B1＝×S△AA1B1×A1C1＝××3＝， ∴三棱锥A1­B1C1F的体积为. 20．解：(1)函数f(x)＝x ln x－ax2的定义域为(0，＋∞)， 求导得g(x)＝ln x－ax＋1，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝－a＝， 当a≤0时，g′(x)＞0，于是得g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a＞0时，由g′(x)＞0得0＜x＜，由g′(x)＜0得x＞，则g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 所以，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． (2)因为f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则y＝g(x)有两个零点，由(1)可知a≤0时不满足条件， 当a＞0时，g(x)max＝g()＝ln ＞0，解得0＜a＜1， 此时，g(e-1)＝－ae-1＜0，即∃x1∈(0，)使得g(x1)＝0， 令u(x)＝ex－x－1，则u′(x)＝ex－1，因此u(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∀x∈R，u(x)≥u(0)＝0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”， 因此，g(e)＝－a(e)2＋1＜－a(＋1)2＋1＝－3－a＜0， 则∃x2∈(，＋∞)使得g(x2)＝0，因为0＜a＜1， 又x2＞＞1，ln x2－ax2＋1＝0，即a＝， 则有f(x2)＝x2ln x2－ax＝x2ln x2－x2(x2＞1)， 设h(t)＝t ln t－t(t＞1)，则h′(t)＝ln t＞0，即h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 又h(e2)＝，f(x2)≥，则x2≥e2， 令φ(x)＝(x≥e2)，则φ′(x)＝＜0，即φ(x)在(e2，＋∞)上单调递减，a≤φ(e2)＝，因此，0＜a≤， 所以a的取值范围是. 21．解：(1)由已知得a＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 将点代入椭圆C的方程，得＋＝1，解得b＝1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意知直线PQ的斜率存在． 设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由，消去y， 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∴Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2－m2＋1)＞0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝. ∴kAP·kAQ＝·＝＝＝， 化简得＝，即m2－km－6k2＝0， ∴(m＋2k)(m－3k)＝0. ∵直线PQ不能经过点A，∴m＋2k≠0， ∴m－3k＝0，显然k≠0. ∴直线PQ的方程为y＝k(x＋3)(k≠0). ∴直线PQ经过定点(－3，0)，设此定点为D. 则S△APQ＝|S△APD－S△AQD|＝|AD||y1－y2| ＝|y1－y2|＝ ＝·＝. 由Δ＝16(4k2－m2＋1)＝16(1－5k2)＞0，得0＜k2＜. 令t＝4k2＋1，则t∈， k2＝.∴S△APQ＝ ＝ ∴当＝，即k2＝时，△APQ的面积取得最大值，最大值为. 22．解：(1)曲线C1的参数方程可得C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，又，所以ρ2＝2ρcos θ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos ，即ρ＝2sin θ. (2)由题意可得，|OA|＝ρA＝2cos ＝1，|OB|＝ρB＝2sin ＝， 所以|AB|＝||OB|－|OA||＝－1. 又|OQ|＝1，所以点Q到射线l的距离d＝|OQ|sin ＝， 故△ABQ的面积S＝××(－1)＝. 23．解：(1)不等式f(x)≥|2x－1|，即|x－a|≥|2x－1|， 两边平方并整理得，3x2＋(2a－4)x＋1－a2≤0. 由题意可知0和2是方程3x2＋(2a－4)x＋1－a2＝0的两个实数根， 即，解得a＝－1. (2)因为f(x)＋|x＋2a|＝|x－a|＋|x＋2a|≥|(x－a)－(x＋2a)|＝3|a|， 所以要使不等式f(x)＋|x＋2a|＞2a＋3恒成立， 只需3|a|＞2a＋3恒成立， 当a≥0时，3a＞2a＋3，解得a＞3， 当a＜0时，－3a＞2a＋3，解得a＜－. 综上所述，实数a的取值范围是∪(3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$