【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(7)

高考文科数学模拟试题精编(七) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z＝1＋i，设复数w＝，则w的虚部是(　　) A．－1 B．1 C．i D．－i 2．集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，S＝{x|＜x＜ }，则M∩S中的元素个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是(　　) A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势 B．我国历次全国人口普查总人口数逐次递增 C．第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿 D．第七次全国人口普查时，我国总人口性别比最高 4．若a＞0且a≠1，则“MN＞0”是“loga(MN)＝logaM＋logaN”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数y＝在[－π，π]的图象大致为(　　) 　 6．若sin α＝，α∈，则sin 的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 7．若直线l：x－2y－＝0经过双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且与双曲线M有且仅有一个公共点，则双曲线M的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 8．已知a＝log6，b＝log7，c＝60.1，则(　　) A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c 9．若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，且f(x)不是常数函数，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 10．2023年春节期间，G市某天8～16时的温度(单位：℃)变化曲线(如图)近似满足函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π，x∈[8，16])的图象．下列说法正确的是(　　) A．8～13时这段时间温度逐渐升高 B．8～16时最大温差不超过5 ℃ C．8～16时0 ℃以下的时长恰为3小时 D．16时温度为－2 ℃ 11.骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，·达到最大值时，点P到地面的距离为(　　) A． B． C．＋ D．＋ 12.如图，已知三棱锥A­BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且＝m，＝n，其中m，n∈(0，＋∞).有下列命题： ①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形； ②当AC⊥BD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形； ③当m＝1时，截面MNPQ的周长与n无关； ④当AC⊥BD，且AC＝BD＝2时，截面MNPQ的面积的最大值为1. 其中假命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数呢？许多研究者认为，之所以选用这个数，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如十二地支，十二个时辰，十二生肖，….十二进制数通常使用数字0～9以及字母A，B表示，其中A即数10，B即数11.对于如图所示的程序框图，若输入a＝1728，k＝12，则输出的数为________． 14．在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________． 15．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ＝120°，|OF|＝，|OP|＝，则椭圆C的离心率为________． 16．锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝a sin ，则A＝________，sin B＋sin C的取值范围是________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)在①Sn＝n2－kn＋1(n∈N*，k为常数)，②an＋1＝an＋d(n∈N*，d为常数)，③an＋1＝qan(q＞0，n∈N*，q为常数)这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，若问题中的数列存在，求数列(n∈N*)的前10项和；若问题中的数列不存在，说明理由． 问题：是否存在数列{an}(n∈N*)，其前n项和为Sn，且a1＝1，a3＝4，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．(12分)为了响应国家节电号召，某小区欲对全体住户进行节电设施改造．在大规模改造前，为预估改造效果，先在该小区中随机抽取100户进行改造，并统计出这100户在改造前、后的月均用电量(单位：度)，得到的频数分布表如下： 改造前这100户月均用电量频数分布表 月均用电量/度 [25，75) [75，125) [125，175) [175，225) [225，275) [275，325) 频数 12 18 30 22 12 6 改造后这100户月均用电量频数分布表 月均用电量/度 [25，75) [75，125) [125，175) [175，225) [225，275) 频数 12 24 40 16 8 (1)补全改造后这100户月均用电量的频率分布直方图； (2)利用以上数据估计该小区在改造完成后，月均用电量低于150度的概率； (3)该小区现有2000户，估计全部改造完成后，该小区一个月能节约用电多少度？(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表) 19.(12分)如图，已知四棱锥P­ABCD中底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点． (1)求证：平面PCD⊥平面ACE； (2)求点B到平面ACE的距离． 20．(12分)已知函数f(x)＝(a≥0，e为自然对数的底数). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＞0时，证明f(x)的最小值小于－1. 21．(12分)如图，过抛物线x2＝y上任意一点P(不是顶点)作切线l，l交y轴于点Q. (1)求证：线段PQ的垂直平分线过定点； (2)过直线y＝x－1上任意一点R作抛物线x2＝y的两条切线，切点分别为S，T，M为抛物线上S，T之间到直线ST的距离最大的点，求△MST面积的最小值． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，且圆C与x轴交于O，A两点，与y轴交于O，B两点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线AB的极坐标方程； (2)若点M是直线AB上的动点，射线OM与圆C交于点N(点N异于点O)，求证：·为定值，并求出该定值． 23．(10分)[选修4—5：不等式选讲] 已知a，b，c都是正数． (1)证明：a＋b＋c≥ ＋＋； (2)若a＋b＋c＝3，证明：＋＋≥. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(七) 1．A　由题意，得＝1－i，所以w＝＝＝＝＝－1－i，所以其虚部为－1，故选A. 2．A　因为M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}＝{…，1，5，9，13，…}，S＝{x|＜x＜}，所以M∩S＝{5，9}，所以M∩S中的元素个数为2.故选A. 3．D　由题图中的折线图可知，第五、六、七次全国人口普查总人口性别比分别为106.74，105.20，105.07，依次递减，故A正确；由题图中的柱状图可知，我国总人口数递增，第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿，故B，C正确；由题图中的折线图可知，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高，故D错误． 4．B　不妨取M＝－1，N＝－2，满足MN＞0，但loga(MN)＝logaM＋logaN无意义，∴充分性不成立；当loga(MN)＝logaM＋logaN时，则， ∴MN＞0，∴必要性成立． ∴“MN＞0”是“loga(MN)＝logaM＋logaN”的必要不充分条件，故选B. 5．D　解法一：设f(x)＝，则f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A，C；当x∈时，|2x|∈[π，2π]，则sin |2x|≤0，又x2＋1＞0，所以当x∈时，f(x)≤0，故排除B.故选D. 解法二：设f(x)＝，当x∈时，|2x|∈[π，2π]，则sin |2x|≤0，又x2＋1＞0，所以当x∈时，f(x)≤0，故排除A，B；当x∈时，|2x|∈[0，π]，则sin |2x|≥0，又x2＋1＞0，所以当x∈时，f(x)≥0，故排除C.故选D. 6．B　因为α∈，所以cos α＝－＝－，所以sin＝cos α＝－，故选B. 7．D　直线l经过双曲线M的一个焦点，在x－2y－＝0中，令y＝0，得x＝，所以c＝　①.又直线l与双曲线M有且仅有一个公共点，所以直线l与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以＝，即a＝2b　②.又c2＝a2＋b2　③，所以由①②③可得a2＝12，b2＝3，所以双曲线M的方程为－＝1，故选D. 8．B　因为a＝log6＝log67＞log66＝，b＝log7＝log76＜log77＝，所以a＞b；因为a＝log6＝log67＜log663＝1，c＝60.1＞60＝1，所以c＞a.所以c＞a＞b.故选B. 9．D　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)恒成立，所以选项A正确；因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以选项B正确；因为f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，用x＋2代换x得，f(x＋4)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－8)＝f(－5)＝f(5)，所以选项C正确；若f(x＋2)＝f(x－2)，则－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x－2)＋f(2－x)＝0，则f(x)的图象关于点(0，0)对称，与f(x)为偶函数，且f(x)不是常数函数矛盾，故选项D错误．综上，选D. 10．D　对于A，由题图知，8～13时这段时间温度先降后升，故A不正确；对于B，8～16时这段时间的最大温差为2－(－2)＝4＞5，故B不正确；对于C，因为当x＝13时，f(x)取得最大值，13－11＝15－13，所以f(15)＝f(11)＝0，所以8～16时0 ℃以下的时长为(11－8)＋(16－15)＝4(小时)，故C不正确；对于D，由题图知，函数y＝2cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝4×(13－11)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝2cos (x∈[8，16])，将点(13，2)代入，得2cos ＝2，即cos ＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝2kπ－(k∈Z)，又0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝2cos (x∈[8，16])，f(16)＝2cos ＝2cos ＝2×＝－2，故D正确．故选D. 11.B　如图，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－8，0)，C(－2，2)，圆D的方程为x2＋y2＝3.所以可设P(cos α，sin α)，0≤α＜2π，所以＝(6，2)，＝(cos α＋2，sin α－2)，所以·＝6cos α＋12＋6sin α－12＝6cos α＋6sin α＝12sin ，当α＋＝，即α＝时，·取得最大值，此时点P，点P到地面的距离为＋＝，故选B. 12．A　因为AC∥平面MNPQ，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，所以AC∥MN，同理AC∥PQ，所以MN∥PQ.由BD∥平面MNPQ，同理可得MQ∥NP.所以四边形MNPQ是平行四边形，所以命题①是真命题．由①可知，当AC⊥BD时，有MN⊥MQ，所以四边形MNPQ是矩形．因为＝n，所以＝，＝，所以MQ＝·BD，MN＝·AC，若四边形MNPQ是正方形，则MN＝MQ，即·AC＝·BD，所以＝n，又＝m，所以当AC⊥BD时，对任意的m，当n＝m时，四边形MNPQ是正方形，所以命题②是真命题．当m＝1时，AC＝BD，所以四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2＝2(·AC＋·AC)＝2AC，所以四边形MNPQ的周长与n无关，所以命题③是真命题．当AC⊥BD，且AC＝BD＝2时，四边形MNPQ是矩形，且MQ＝·BD＝，MN＝·AC＝，所以四边形MNPQ的面积S＝MQ·MN＝·＝＝＝≤＝1，当且仅当n＝1时等号成立，所以四边形MNPQ的面积的最大值为1，所以命题④是真命题．故选A. 13．解析：第一次运行，a＝1728，k＝12，则q＝144，r＝0，a＝144；第二次运行，a＝144，k＝12，则q＝12，r＝0，a＝12；第三次运行，a＝12，k＝12，则q＝1，r＝0，a＝1；第四次运行，a＝1，k＝12，则q＝0，r＝1，a＝0.输出的数为1000，运行结束． 答案：1000 14．解析：解法一：如图所示，设点O为正六边形ABCDEF的中心，连接OB，OD，OC，OF，则OB＝OD＝CB＝CD，所以四边形CDOB为平行四边形．点C，O，F三点共线，且CF＝2CO.设＝a，＝b，则＝a＋b，＝2＝2a＋2b，所以＝－＝2a＋b.因为点G为线段DF(含端点)上的动点，所以设＝x(x∈R，0≤x≤1)，所以－＝x， 即＝b＋x(2a＋b)＝2xa＋(x＋1)b，因为＝λ＋μ＝λa＋μb，a，b不共线，所以由平面向量基本定理得λ＝2x，μ＝x＋1，所以λ＋μ＝3x＋1，因为0≤x≤1，所以λ＋μ∈[1，4]. 解法二：如图所示，连接AC，因为ABCDEF是正六边形，所以AC⊥CD，DF⊥CD.分别以CD，CA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系． 设正六边形ABCDEF的边长为2，则AC＝DF＝2，则C(0，0)，D(2，0)，B(－1，)，F(2，2).设G(2，y)，因为点G为线段DF(含端点)上的动点，所以0≤y≤2，所以＝(2，y)，＝(2，0)，＝(－1，)，所以λ＋μ＝λ(－1，)＋μ(2，0)＝(－λ＋2μ，λ)，又＝λ＋μ，所以，解得，所以λ＋μ＝1＋y，因为0≤y≤2，所以λ＋μ∈[1，4]. 答案：[1，4] 15．解析：设F1为椭圆＋＝1的右焦点，连接PF1，QF1(图略)，因为P，Q是过原点O的直线与椭圆的交点，所以P，Q关于原点O对称，又F，F1关于原点O对称，所以由椭圆的对称性可得|PF1|＝|QF|，|PF|＝|QF1|，且四边形PFQF1为平行四边形，又∠PFQ＝120°，所以∠FPF1＝60°.因为|OF|＝，|OP|＝，所以|FF1|＝2，|PQ|＝2.在三角形PFF1中，由余弦定理得|FF1|2＝|PF|2＋|PF1|2－2|PF||PF1|cos 60°，即|PF|2＋|PF1|2－|PF||PF1|＝12　①；在三角形PFQ中，由余弦定理得|PQ|2＝|PF|2＋|QF|2－2|PF||QF|cos 120°，又|QF|＝|PF1|，所以|PF|2＋|PF1|2＋|PF||PF1|＝28　②.①＋②得2(|PF|2＋|PF1|2)＝40，即|PF|2＋|PF1|2＝20；②－①得2|PF||PF1|＝16.所以(|PF|＋|PF1|)2＝|PF|2＋|PF1|2＋2|PF||PF1|＝20＋16＝36，即2a＝|PF|＋|PF1|＝6，所以a＝3，又c＝|OF|＝，所以椭圆C的离心率e＝＝. 答案： 16．解析：因为b＝a sin ＝a(sin C＋cos C)， 所以sin B＝sin A(sin C＋cos C)，即sin (C＋A)＝sin A sin C＋sin A cos C，所以sin C cos A＝sin A sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝sin A，又0＜A＜π，所以A＝. sin B＋sin C＝sin ＋sin C＝(cos C＋sin C)＋sin C＝(3sin C＋cos C)＝sin (C＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝，因为0＜tan φ＜，所以0＜φ＜.由△ABC为锐角三角形可知0＜C＜，0＜B＝－C＜，得＜C＜，所以C＋φ∈，所以sin B＋sin C＝sin (C＋φ)＞sin ＝2，sin B＋sin C＝sin (C＋φ)≤，即sin B＋sin C∈(2， ]. 答案：　(2，] 17．解：选择①，由， 得解得 该方程组无解， 所以该数列不存在． 选择②an＋1＝an＋d(n∈N*，d为常数)， 即数列{an}为等差数列， 由a1＝1，a3＝4，可得公差d＝＝， 所以an＝n－. 又＝， 所以＋＋…＋＝＝. 选择③an＋1＝qan(q＞0，n∈N*，q为常数)， 即数列{an}为等比数列，由a1＝1，a3＝4， 可得公比q＝＝2， 所以an＝2n-1. 又÷＝(n≥2)， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的前10项和为. 18．解：(1)补全的频率分布直方图如图． (2)该小区在节电设施改造完成后，月均用电量低于150度的频率为0.12＋0.24＋0.2＝0.56， 估计该小区在节电设施改造完成后，月均用电量低于150度的概率为0.56. (3)该小区100户在改造前的月均用电量的平均数为×(12×50＋18×100＋30×150＋22×200＋12×250＋6×300)＝161(度)， 该小区100户在改造后的月均用电量的平均数为×(12×50＋24×100＋40×150＋16×200＋8×250)＝142(度)， 估计该小区在全部改造完成后，一个月能节约用电(161－142)×2000＝38 000(度). 19．解：(1)证明：∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，CD⊂平面ABCD， ∴CD⊥平面PAD. 又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE. ∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵AE⊂平面ACE， ∴平面PCD⊥平面ACE. (2)如图，取AD的中点为O，连接PO，BE. ∵PA＝AD＝PD＝2， ∴PO⊥AD，PO＝. 又平面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥底面ABCD. ∵E为PD的中点， ∴点E到底面ABCD的距离为PO＝. 设点B到平面ACE的距离为h. 由(1)可得AE⊥平面PCD， ∴AE⊥CE，且AE＝. 又AC＝＝， ∴CE＝＝. 由VB­ACE＝VE­ABC， 得××CE×AE×h＝××AB×BC×， 又AB＝1，BC＝2，∴h＝， 即点B到平面ACE的距离为. 20．解：(1)由题意得， f′(x)＝＝. ①若a＝0 ，则f′(x)＝，当x∈(－∞，2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝2， 则当x∈，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0. 故f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． (2)证明：由(1)知当a＞0时， f(x)的极小值为f＝－e， f(x)的极大值为f(2)＝＞0. 因为当x＞1时有f(x)＞0恒成立， 所以f(x)的最小值为f＝－e. 因为a∈(0，＋∞)，所以e∈(1，＋∞)，则－e∈(－∞，－1)，即当a＞0时，f(x)的最小值小于－1. 21．解：(1)证明：由y＝x2求导得y′＝2x. 设P(x1，x)，x1≠0， 则l的方程为y－x＝2x1(x－x1)， 化简得y＝2x1x－x　①， 当x＝0时，y＝－x，则Q(0，－x)，所以线段PQ的中点坐标为， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为y＝－·，即y＝－x＋， 所以线段PQ的垂直平分线过定点. (2)设R，S，T(x3，x)， 由(1)中方程①同理知切线RS的方程为y＝2x2x－x　②， RT的方程为y＝2x3x－x　③， 将R分别代入②③，得x－2x0x2＋－1＝0，x－2x0x3＋－1＝0， 故x2，x3为方程x2－2x0x＋－1＝0的两根， 则x2＋x3＝2x0，x2x3＝－1. 直线ST的方程为y－x＝(x－x2)， 化简得y＝(x2＋x3)x－x2x3，即y＝2x0x－＋1， 所以|ST|＝·|x2－x3|＝2·. 易知抛物线上S，T之间到直线ST的距离最大的点为平行于ST的抛物线切线的切点， 设M(x4，x)，则2x4＝2x0，所以x4＝x0，M(x0，x)， 所以点M到直线ST的距离d＝， 则S△MST＝d·|ST|＝·2·＝ ＝ 当x0＝时，S△MST有最小值. 22．解：(1)由题可得x－＝cos α，y－＝sin α. ∴＋＝， ∴圆C的普通方程为x2＋y2－x－y＝0. 易得A(1，0)，B(0，1)， ∴直线AB的直角坐标方程为x＋y－1＝0， 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，可得直线AB的极坐标方程，为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. (2)证明：设射线OM的极角为θ0，则ρM＝， 易知圆C的极坐标方程为ρ2－ρcos θ－ρsin θ＝0， 即ρ＝cos θ＋sin θ， ∴ρN＝cos θ0＋sin θ0. 又易知与同向， ∴·＝||·||＝|ρM|·|ρN|＝·|cos θ0＋sin θ0|＝1， ∴·为定值，该定值是1. 23．证明：(1)因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2， 所以a＋b＋c＝＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． (2)因为a＋b＋c＝3，所以由柯西不等式得 ＋＋＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥ ＝，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立， 即＋＋≥. 学科网（北京）股份有限公司 $$