【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(6)

高考文科数学模拟试题精编(六) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∩B＝(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 2．已知复数z满足(3＋4i)z＝1－i，则＝(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 3．在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) 　 　　　　　　　　 　　图1　　　　　　　　图2 A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 5．已知命题p：“∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝”；命题q：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是“若x2＋y2≠0，则x，y都不为0”．则下列复合命题为真命题的是(　　) A．p∧q B．p∨q C．(┐p)∧q D．(┐p)∨q 6．若x，y满足约束条件，且z＝4x＋ay的最大值为24，则正实数a的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 7.已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ| ＜)的部分图象如图所示，则函数的表达式是(　　) A．y ＝2sin (2x＋) B．y＝sin (2x＋) C．y＝2sin (2x－) D．y＝sin (2x－) 8．已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝2，|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为AB边的中点，将△ABC沿对角线AC翻折，在翻折过程中，记直线AC与DE所成的角为θ，当平面ABC⊥平面ADC时，tan θ＝(　　) A．3 B．2 C． D．3 10．已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D．4 11．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(b＞0)的两个焦点，M为C上一点，且∠F1MF2＝60°，·＝2.有下述四个结论： ①△MF1F2的面积S＝； ②||＝； ③双曲线C的离心率e＝； ④点M一定在曲线|x|＝|2y|上． 其中，所有正确结论的编号是(　　) A．①③ B．②④ C．①②④ D．①③④ 12．在四棱锥A­BCDE中，CD∥BE，∠BCD＝90°，BE＝BC＝2CD＝2，AB＝AE＝，M是AC的中点．若平面ABE⊥平面BCDE，则下列三个结论：①EA⊥BC；②BE⊥AD；③EM⊥AD.其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数y＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga2＝________． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝1，2Sn＋1＋Sn－1＝3Sn(n≥2，n∈N*)，则S6的值为________． 15．写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x)＝________． ①定义域为(0，＋∞)；②单调递增；③f(x1x2)＋f(1)＝f(x1)＋f(x2)；④f(1)＞0. 16.如图，过点M(a，0)分别作直线l1，l2与抛物线E：y2＝4x相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，若直线AD，BC的斜率k1，k2满足k1＝3k2，则实数a的值为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin B－b cos B cos C＝c cos2B. (1)求B； (2)设D为边AC上一点，BD＝，且________，求△ABC面积的最小值． 从①BD⊥AC，②∠ABD＝∠CBD这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答． 注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按照第一个解答计分． 18．(12分)图1是由△PB1C和△PB2C组成的一个平面图形，其中PA是△PB1C的高，PB1＝PB2，PA＝AB1＝4，AC＝4.将△PB1A和△PB2C分别沿着PA，PC折起，使得B1与B2重合于点B，G为PC的中点，如图2. 　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　图2 (1)求证：PA⊥BC； (2)若CB2＝4，求三棱锥C­ABG的高． 19．(12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆E上，当△F1MF2的面积取得最大值2时，cos∠F1MF2＝－. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点(t，0)作斜率为1的直线交椭圆E于A，B两点，其中|t|＞1，设点A，B关于y轴的对称点分别为D，C，当四边形ABCD的面积为时，求直线AB的方程． 20．(12分)某项目在建设过程中，发现其补贴额x(单位：百万元)与该项目的经济回报y(单位：千万元)之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 补贴额x/百万元 2 3 4 5 6 经济回报y/千万元 2.5 3 4 4.5 6 (1)请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x ＋； (2)请根据(1)中所得到的线性回归方程，预测当补贴额达到8百万元时该项目的经济回报． 参考公式：＝，＝－. 21．(12分)已知函数f(x)＝ex(其中e是自然对数的底数). (1)写出函数f(x)的定义域，并求a＝0时函数f(x)的极值； (2)若x＝0是函数f(x)的极小值点，求实数a的取值范围． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12，曲线C2的参数方程为(t为参数)，α∈(0，). (1)求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； (2)已知点P(1，0)，设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，当|PA|＋|PB|＝时，求cos α的值． 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝|2x－1|. (1)解关于x的不等式f(x)－g(x)＞1； (2)若2f(x)＋g(x)＞ax＋2，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(六) 1．B　因为A＝{x||x|＜1}＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜0}，故选B. 2．D　解法一：由(3＋4i)z＝1－i，得z＝＝＝＝－－i，所以z的共轭复数＝－＋i，故选D. 解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，又(3＋4i)z＝1－i，所以，解得，所以z＝－－i，所以z的共轭复数＝－＋i，故选D. 3．A　设{an}的公比为q，由a1＝1，a2a3＝8，得q×q2＝8，所以q＝2，所以＝＝q3＝23＝8，故选A. 4．A　由题图可得样本容量为(3500＋2000＋4500)×2%＝10 000×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40，抽取的高中生近视人数为40×50%＝20，故选A. 5．D　对于命题p，设函数f(x)＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，则f(x)的值域为[－，]，因为∉[－，]，所以不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝，故命题p是假命题；对于命题q，“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是“若x2＋y2≠0，则x，y不都为0”，即命题q为假命题．所以┐p，┐q均为真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为假命题，(┐p)∧q为假命题，(┐p)∨q为真命题，故选D. 6．D　不等式组表示的平面区域为△ABC及其内部，如图中阴影部分所示(包括边界)，目标函数z＝4x＋ay可转化为y＝－(4x－z).因为a＞0，所以直线y＝－(4x－z)的斜率－＜0，当直线y＝－(4x－z)过点C(2，2)时，目标函数z取得最大值，为8＋2a，又z＝4x＋ay的最大值为24，所以8＋2a＝24，解得a＝8，故选D. 7．A　设函数y＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为T，由题图可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，由五点作图法可知为其第二个点的横坐标，则2×＋φ＝，可得φ＝，所以函数y＝A sin (2x＋).将(0，1)代入函数方程中可得A＝2，所以y＝2sin (2x＋)，故选A. 8．C　解法一：由题意可知，a，b，a＋b组成一个边长为2的等边三角形，如图所示，由|a＋b －c|＝1可得c的终点在以向量a＋b的终点为圆心，1为半径的圆上，故|c|的最大值为|a＋b|＋1＝3，故选C. 解法二：利用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|知|c|－|a＋b|≤|a＋b－c|，即|c|≤|a＋b－c|＋|a＋b|＝3，当且仅当a＋b与c共线时取等号．故选C. 9．C　如图，平面ABC⊥平面ADC，取BC的中点为G，AC的中点为O，连接EG，OE，OG，OD，GD.易得EG∥AC，所以∠DEG(或其补角)即异面直线AC与DE所成的角．因为DO⊥AC，且平面ABC∩平面ADC＝AC，DO⊂平面ADC，所以DO⊥平面ABC，所以DO⊥OE，DO⊥OG.易得OE＝BC＝2，OD＝2，EG＝AC＝2.在Rt△EDO中，DE＝＝4.同理可得DG＝4.所以在△EDG中，cos ∠DEG＝＝＝，所以cos θ＝，所以tan θ＝.故选C. 10．A　由a＞0，b＞0，a＋b＝3，可得(a＋1)＋(b＋2)＝6，所以＋＝[(a＋1)＋(b＋2)](＋)＝(2＋＋)≥(2＋2 )＝，当且仅当，即时取等号，故选A. 11．D　由·＝||·||cos 60°＝2可知，||·||＝4，所以△MF1F2的面积S＝||·||·sin 60°＝，故①正确；由焦点三角形的面积公式知S＝＝，得b＝1，所以||＝2c＝2＝2，故②错误；双曲线C的离心率e＝＝＝，故③正确；设M(xM，yM)，则S＝×2c×|yM|＝，所以|yM|＝1，yM＝±1，代入双曲线方程－y2＝1，得xM＝±2，所以M(xM，yM)一定在曲线|x|＝|2y|上，故④正确．故选D. 12.D　对于①，因为CD∥BE，∠BCD＝90°，所以BC⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥EA，故①正确，对于②，如图，取BE的中点为O，连接AO，DO，因为AB＝AE＝，所以AO⊥BE，因为CD∥BE，∠BCD＝90°， CD＝BE＝BO＝1，所以四边形BODC为矩形，所以OD⊥BE，又AO∩OD＝O，AO，OD⊂平面AOD，所以BE⊥平面AOD，所以BE⊥AD，故②正确． 对于③，取AD的中点为N，连接MN，NE，因为M为AC的中点，所以MN∥CD∥BE，结合BE⊥AD可得MN⊥AD，因为DE＝＝＝AE，所以NE⊥AD，因为MN∩NE＝N，MN，NE⊂平面MNE，所以AD⊥平面MNE，所以EM⊥AD，故③正确．故选D. 13．解析：由题意得，a－ax≥0，即ax≤a，∵x∈[0，1]，∴a＞1，∴y＝在[0，1]上单调递减，∴当x＝0时，y＝＝＝1，得a＝2，∴loga2＝1. 答案：1 14．解析：由n≥2时，2Sn＋1＋Sn－1＝3Sn，得2(Sn＋1－Sn)＝Sn－Sn－1，即2an＋1＝an(n≥2)，又2a2＝a1，所以数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列，所以S6＝＝. 答案： 15．解析：由③f(x1x2)＋f(1)＝f(x1)＋f(x2)及对数的运算性质logaM＋logaN＝logaMN(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)可知，该函数可以为对数型函数，故可设函数f(x)＝klogamx(k＞0)，由②可知，a＞1，由④可知，f(1)＝klogam＞0＝kloga1，所以m＞1，故可写出满足题意的一个f(x)＝lg (2x). 答案：lg (2x)(答案不唯一) 16．解析：设直线l1的方程为x＝t1y＋a，与抛物线方程y2＝4x联立，可得y2－4t1y－4a＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝4t1，y1y2＝－4a.设直线l2的方程为x＝t2y＋a，C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得y3＋y4＝4t2，y3y4＝－4a.直线AD的斜率k1＝＝＝，同理可得直线BC的斜率k2＝＝＝－.由k1＝3k2可得y1y4＝－.因为F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)＝(－1，y1)，＝(x4－1，y4)＝(－1，y4)，由A，F，D三点共线可得y4(－1)＝y1(－1)，即(y1y4＋4)(y1－y4)＝0，因为y1≠y4，所以有y1y4＋4＝0，即－＋4＝0，得a＝3. 答案：3 17．解：(1)因为a sin B－b cos B cos C＝c cos2B，所以由正弦定理，得sinA sin B＝sin B cos B cos C＋·sin C cos2B， 即sinA sin B＝cos B(sin B cos C＋sin C cos B)＝cos B sin (B＋C)， 所以sin A sin B＝cos B sin A. 由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)选①BD⊥AC. 由BD⊥AC，得ac sin ∠ABC＝b·BD，化简得b＝ ac. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，得a2c2＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 解得ac≥4(当且仅当a＝c＝2时取等号)，所以△ABC的面积S＝ac sin ∠ABC≥ ×4×＝. 故△ABC面积的最小值为. 选②∠ABD＝∠CBD. 由∠ABD＝∠CBD＝，得ac sin ∠ABC＝a·BD·sin ∠CBD＋c·BD·sin ∠ABD， 即ac×＝a××＋c××，化简得ac＝a＋c. 由ac＝a＋c≥2，得ac≥4(当且仅当a＝c＝2时取等号)， 所以△ABC的面积S＝ac sin ∠ABC≥×4×＝. 故△ABC面积的最小值为. 18．解：(1)证明：在题图1中，因为PA是△PB1C的高，所以PA⊥AB1，PA⊥AC，所以在题图2中，PA⊥AB，PA⊥AC. 又AB∩AC＝A，且AB，AC⊂平面ABC， 所以PA⊥平面ABC. 因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. (2)因为AB＝AB1＝4，BC＝B2C＝4，AC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC.因为PA＝4，PA⊥AC， 所以PC＝＝4. 因为PA＝AB＝4，PA⊥AB，所以PB＝＝4，所以PB2＋ BC2＝PC2，所以PB⊥BC. 因为G为PC的中点，所以BG＝PC＝2. 同理可得AG＝2. 所以S△ABG＝AB× ＝4. 易知VC­ABG＝VG­ABC＝VP­ABC＝×××4×4×4＝. 设三棱锥C­ABG的高为h， 则VC­ABG＝S△ABG·h， 所以×4×h＝，所以h＝2， 所以三棱锥C­ABG的高为2. 19．解：(1)由题可知，当点M与椭圆E的上顶点或下顶点重合时，△F1MF2的面积最大． 设F1(－c，0)，F2(c，0)，因为△F1MF2的面积的最大值为2，所以bc＝2，a2sin ∠F1MF2＝2， 又cos ∠F1MF2＝－＜0，所以c＞b， sin ∠F1MF2＝，则a2×＝2，解得a＝. 由，结合c＞b，可得，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)设直线AB的方程为y＝x－t，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|t|＞1及四边形ABCD的面积为，可知点A，B位于y轴同侧， 且＝|x1＋x2|·|x1－x2|＝. 将y＝x－t代入＋y2＝1，消去y可得6x2－10tx＋5t2－5＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝100t2－24(5t2－5)＝120－20t2＞0，即1＜t2＜6， 所以|x1＋x2|·|x1－x2|＝|× |＝， 整理可得t4－6t2＋8＝0，解得t2＝2或t2＝4， 即t＝±或t＝±2， 所以直线AB的方程为y＝x＋或y＝x－或y＝x＋2或y＝x－2. 20．解：(1)∵＝＝4，＝＝4， (xi－)(yi－)＝(－2)×(－1.5)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×0.5＋2×2＝8.5， (xi－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10， ∴＝＝0.85， ＝4－0.85×4＝0.6. ∴＝0.85x＋0.6. (2)当x＝8时，＝0.85×8＋0.6＝7.4， ∴当补贴额达到8百万元时，该项目的经济回报为7.4千万元． 21．解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 当a＝0时，f(x)＝·ex，f′(x)＝·ex＝·x·ex， 所以在(－∞，0)上f′(x)＞0，在(0，1)上f′(x)＜0，在(1，)上f′(x)＜0，在(，＋∞)上f′(x)＞0， 故f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的极大值为f(0)＝1，极小值为f()＝4e. (2)f(x)＝·ex， f′(x)＝·ex＝·x·ex. 记g(x)＝－ax2＋2x＋2a－3，h(x)＝，则f′(x)＝g(x)·h(x). ①当a＝0时，由(1)知x＝0是f(x)的极大值点，不符合条件． ②当a＜0时，g(x)＝－ax2＋2x＋2a－3的图象开口向上，g(0)＝2a－3＜0，g(1)＝a－1＜0，方程g(x)＝0有两根， 设为x1，x2，且x1＜0，x2＞1，当x∈(x1，0)时，g(x)＜0，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)在(x1，0)上单调递增， 当x∈(0，1)时，g(x)＜0，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)在(0，1)上单调递减，故x＝0是f(x)的极大值点，不符合条件． ③当0＜a＜或1＜a＜时，g(x)＝－ax2＋2x＋2a－3的图象开口向下，g(0)＝2a－3＜0，g(x)图象的对称轴为直线x＝，且＞0，Δ＝4(2a－1)(a－1)＞0， 方程g(x)＝0有两个正根，设为x3，x4，且0＜x3＜x4，当x∈(－∞，0)时，g(x)＜0 ，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，令β＝min{1，x3}，当x∈(0，β)时，g(x)＜0，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)在(0，β)上单调递减，故x＝0是f(x)的极大值点，不符合条件． ④当≤a≤1时，g(x)＝－ax2＋2x＋2a－3的图象开口向下，Δ＝4(2a－1)(a－1)≤0，g(x)图象的对称轴为直线x＝，且≥1，当x∈(－∞，0)时，g(x)＜0，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，当x∈(0，1)时，g(x)＜0，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)在(0，1)上单调递减，故x＝0是f(x)的极大值点，不符合条件． ⑤当a＝时，f′(x)＝，当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0恒成立，∴x＝0不是f(x)的极值点，所以a＝不符合条件． ⑥当2a－3＞0，即a＞时，g(x)＝－ax2＋2x＋2a－3的图象开口向下，g(0)＝2a－3＞0，g(1)＝a－1＞0，方程g(x)＝0有两根，设为x5，x6，且x5＜0，x6＞1，当x∈(x5，0)时，g(x)＞0，h(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)在(x5，0)上单调递减，当x∈(0，1)时，g(x)＞0，h(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，符合条件．综上，实数a的取值范围是(，＋∞). 22．解：(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12，得3ρ2＋(ρsinθ)2＝12， 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y， 所以曲线C1的直角坐标方程为3x2＋4y2＝12，即＋＝1，该曲线为椭圆． (2)将代入＋＝1，得t2(4－cos2α)＋6t cosα－9＝0， 由直线的参数方程中参数的几何意义，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，t1＋t2＝，t1t2＝＜0，所以t1，t2异号，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝， 得cos2α＝， 因为α∈(0，)，所以cosα＝. 23．解：(1)f(x)－g(x)＝|x＋1|－|2x－1|＝， f(x)－g(x)＞1，即或 或，得＜x＜1， 所以不等式f(x)－g(x)＞1的解集为{x＜x＜1}． (2)2f(x)＋g(x)＝2|x＋1|＋|2x－1|＝， 作出y＝2f(x)＋g(x)与y＝ax＋2的图象如图所示， 由图可知，当－1＜a＜2时，2f(x)＋g(x)＞ax＋2恒成立， 所以a的取值范围为(－1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$