【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(5)

高考文科数学模拟试题精编(五) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{－5，－2，1，4，7}，则A∩B＝(　　) A．{－2，－1，1，2，4} B．{－1，1，2} C．{－2，－1，1，4} D．{－2，1，4} 2．已知复数z＝1＋2i，则|z2|＝(　　) A． B．3 C． D．5 3．执行如图所示的程序框图，若输入n＝，则输出的n的值为(　　) A． B．2 C． D．3 4．基本分裂数m是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说，在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌．已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，那么26m3＝105，参考上述数据，预计再经过(　　)小时细菌就会突破10万个．(　　) A．12 B．15 C．18 D．21 5．一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F的最短距离为(　　) 　　　　　　　　　　 图1　　　　　　　　图2 A．0.72 m B．1.44 m C．2.44 m D．2.88 m 6．设一组样本数据x1，x2，…，x2023的平均数为100，方差为10，则0.1x1＋1，0.1x2＋1，…，0.1x2023＋1的平均数和方差分别为(　　) A．10，1 B．10，0.1 C．11，1 D．11，0.1 7．已知直线l：(m＋2)x－(m＋1)y＋m－1＝0(m∈R)与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A． B．2 C． D．2 8．函数f(x)＝()sin (x＋)－()cos (x＋)(其中e是自然对数的底数)的图象大致为(　　) 　　 9．若函数f(x)＝ln x＋x2＋a－1在区间(1，e)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－e2，0) B．(－e2，1) C．(1，e) D．(1，e2) 10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(－a，a)上存在唯一极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(，] B．[，] C．(，) D．[，) 11．如图是一个简单几何体的三视图，若m＋n＝4，则该几何体外接球表面积的最小值为(　　) A．4π B．12π C．20π D．24π 12．已知a＞b＞0，F1，F2是双曲线C1：－＝1的两个焦点，若点P为椭圆C2：＋＝1上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取最小值，则椭圆C2离心率的取值范围为(　　) A．(0，] B．[，1) C．(0，] D．[，1) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现用分层抽样的方法从三个分厂生产的产品中抽取100件进行使用寿命的测试，则应从第二分厂抽取产品________件． 14．e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1＋e2，b＝3e1＋4e2，则a在b方向上的投影为________． 15．设函数f(x)＝|sin x|－|cos x|，给出下列四个结论： ①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的值域为[－1，]；③f(x)在(－，)上单调递增； ④f(x)在[－π，π]上有4个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 16．若曲线y＝＋9ln x在点(1，0)处的切线与直线2x＝ay－2平行，则a＝________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝－SnSn＋1(n∈N*)，a1＝1. (1)求证：数列是等差数列； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 18．(12分)如图1，在平面四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC＝AD＝CD＝2，现将△ABC沿AC折起，使得点B移至点P的位置，如图2，且PC＝PD. (1)求证：CD⊥PA； (2)若M为PD的中点，求点D到平面ACM的距离． 　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　图2 19．(12分)国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重(单位：kg)与身高(单位：m)的平方的比值．高中学生学业压力大，缺少体育锻炼等，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表： 档次 低体重 正常 超重 肥胖 体重指数x/(kg/m2) x＜17.3 17.3≤x＜23.9 23.9≤x＜27.2 x≥27.2 学生得分 80 100 80 60 抽查了某校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表： 16.3 16.9 17.1 17.5 18.2 18.5 19.0 19.3 19.5 19.8 20.2 20.2 20.5 20.8 21.2 21.4 21.5 21.9 22.3 22.5 22.8 22.9 23.0 23.3 23.3 23.5 23.6 23.8 24.0 24.1 24.1 24.3 24.5 24.6 24.8 24.9 25.2 25.3 25.5 25.7 25.9 26.1 26.4 26.7 27.1 27.6 28.0 28.8 29.1 30.0 (1)请你计算该校这次检查中学生平均得分，估算该校高三学生的肥胖率； (2)从这50名学生中选取了6名男同学，测量了他们的肺活量，得到如下数据表： 序号 1 2 3 4 5 6 体重指数x/(kg/m2) 19.0 20.5 21.5 22.5 23.5 28.0 肺活量y/ml 2800 3100 3200 3420 3640 4240 求y关于x的线性回归方程． 参考数据：i＝135，i＝20 400，(xi－)2＝48.5，(xi－)(yi－)＝7760. 参考公式：回归直线方程是＝＋x， 其中＝＝，＝－. 20．(12分)已知函数f(x)＝x－2a ln x－(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＞2－4a. 21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p＞0)上不同两点M，N满足|OM|＝|ON|＝|MN|＝4. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆D：＋＝1相交于A，B两点，l与直线y＝－2交于点Q，以PQ为直径的圆与直线y＝－2交于Q，Z两点．求证：直线OZ经过线段AB的中点． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：θ＝(ρ≥0)和C3：θ＝－(ρ≥0)，曲线C1分别交C2，C3于P，Q两点． (1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)求△OPQ的面积． 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知x，y都是正实数． (1)求证：＋≥x＋y； (2)求证：≥()3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(五) 1．D　由题意得A＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，B＝{－5，－2，1，4，7}，所以A∩B＝{－2，1，4}，故选D. 2．D　z2＝(1＋2i)2＝－3＋4i，|z2|＝|－3＋4i|＝＝5，故选D. 3．C　由程序框图知，当输入n＝时，a＝，b＝ln ，此时a＞b；n＝1，a＝2，b＝0，此时a＞b；n＝，a＝，b＝ln ，此时a＞b；n＝2，a＝1，b＝ln 2，此时a＞b；n＝，a＝，b＝ln ，此时a＜b，输出的n的值为.故选C. 4．B　由26m3＝105，得m3＝.设再经过x小时细菌就会突破10万个，若x＝12，则细菌数为26×m12+3＝26×(m3)5＝＝105×()4＜105×54＝65 625，不超过10万个，所以A错误．若x＝15，则细菌数为26×m15+3＝26×(m3)6＝＞105×()5＝105×45＞105×103＞105，所以B正确，故选B. 5．B　建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，由题意可知，A(1，2.4)，代入抛物线方程可得p ＝2. 88，所以抛物线的方程为y2＝5. 76x，过点P作PP′垂直于抛物线的准线l，垂足为P′，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PP′|，所以当点P与原点O重合时，|PP′|最小，即|PF|最小，此时|PF|＝＝1.44(m)，故选B. 6．D　记x1，x2，…，x2023的平均数为，则＝100，x1，x2，…，x2023的方差为[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2023－)2]＝10，所以0.1x1＋1，0.1x2＋1，…，0.1x2023＋1的平均数为0.1＋1＝0.1×100＋1＝11，所以0.1x1＋1，0.1x2＋1，…，0.1x2023＋1的方差为[(0.1x1＋1－0.1－1)2＋(0.1x2＋1－0.1－1)2＋…＋(0.1x2023＋1－0.1－1)2]＝0.12×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2023－)2]＝0.12×10＝0.1.故选D. 7．D　由题意得圆C的圆心为C(1，2)，半径r＝3.直线l：(m＋2)x－(m＋1)y＋m－1＝0，即(x－y＋1)m＋2x－y－1＝0，由，得，所以直线l恒过定点P(2，3).易知点P在圆C内，连接PC(图略)，当直线l与PC垂直时，|AB|的值最小，此时|PC|＝＝，|AB|＝2＝2＝2，所以|AB|的最小值为2.故选D. 8．A　因为x∈R且f(－x)＝()sin (－x＋)－()cos (－x＋)＝()cos (x＋)－()sin (x＋)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(x)的图象关于坐标原点O对称，故排除C，D；当0＜x≤时，＜x＋≤，则sin (x＋)＞cos (x＋)，从而()sin (x＋)＜()cos (x＋)，所以f(x)＝()sin (x＋)－()cos (x＋)＜0，故排除B.故选A. 9．A　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为函数y＝ln x与y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝ln x＋x2＋a－1在(0，＋∞)上单调递增，则由零点存在定理，知函数f(x)在区间(1，e)内有零点等价于f(1)f(e)＜0，即a(e2＋a)＜0，解得－e2＜a＜0，故选A. 10．A　由题意知f(x)的最小正周期T＝＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin (2x＋)，∴g(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－π)，作出g(x)的图象如图所示， 数形结合可知，∴实数a的取值范围是(，].故选A. 11.B　根据三视图，在长方体中还原该几何体，得到如图所示三棱锥A­BCD，则该几何体外接球的半径R＝AD＝. 解法一：因为m＋n＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝π(m2＋n2＋4)＝π[(m＋n)2－2mn＋4]＝π(20－2mn)≥20π－2π()2＝20π－8π＝12π，当且仅当m＝n＝2时等号成立，所以该几何体外接球表面积的最小值为12π，故选B. 解法二：所以外接球的表面积S＝4πR2＝π(m2＋n2＋4)＞4π，排除A；若m＝1，n＝3，则S＝π(m2＋n2＋4)＝14π，排除C，D.故选B. 12.A　如图，因为∠F1PF2＝π－(∠PF2F1＋∠PF1F2)，所以当∠F1PF2取最小值时，∠PF2F1＋∠PF1F2取最大值，易知∠F1PF2为钝角，所以∠PF2F1＋∠PF1F2为锐角，所以此时tan (∠PF2F1＋∠PF1F2)取最大值．不妨设P(x0，y0)(y0＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，椭圆C2的半焦距为c1，则tan ∠PF1F2＝， tan ∠PF2F1＝－＝， 所以tan (∠PF1F2＋∠PF2F1)＝ ＝＝－.因为P(x0，y0)在椭圆C2上，所以＋＝1，所以x＝a2－，tan (∠PF1F2＋∠PF2F1)＝－＝－＝(0＜y0≤b).令g(x)＝x＋，则由对勾函数的性质知，函数g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．当P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取最小值，即当y0＝b时，tan (∠PF1F2＋∠PF2F1)取最大值，则必有b≤，化简得a2≤2b2，所以a2≤2(a2－c)，a2≥2c，≤，所以椭圆C2的离心率的取值范围为(0，]，故选A. 13．解析：由题意可知，第一分厂、第二分厂、第三分厂产量之比为50%∶20%∶30%＝5∶2∶3，所以从三个分厂生产的产品中抽取100件产品时，应从第二分厂抽取产品100×＝20(件). 答案：20 14．解析：因为e1，e2是互相垂直的单位向量，故|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，故a·b＝(e1＋e2)·(3e1＋4e2)＝3e＋7e1·e2＋4e＝7.|b|2＝(3e1＋4e2)2＝9e＋24·e1·e2＋16e＝25，得|b|＝5，a在b方向上的投影为|a|·cos 〈a，b〉＝|a|·＝＝. 答案： 15．解析：当x∈[2kπ，2kπ＋)(k∈Z)时，f(x)＝|sin x|－|cos x|＝sin x－cos x＝2sin (x－)；当x∈[2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)时，f(x)＝|sin x|－|cos x|＝sin x＋cos x＝2sin (x＋)；当x∈[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)时，f(x)＝|sin x|－|cos x|＝－sin x＋cos x＝－2sin (x－)；当x∈[2kπ＋，2kπ＋2π)(k∈Z)时，f(x)＝|sin x|－|cos x|＝－sin x－cos x＝－2sin (x＋).f(x)的图象如图所示．f(x)的最小正周期为π，①正确；f(x)的值域为[－1，]，②正确；f(x)在(－，)上有增有减，③错误；f(x)在[－π，π]上有4个零点，④正确．故答案为①②④. 答案：①②④ 16．解析：由已知得y′＝×{[(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)]′(x2＋ln x－3)－(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)(x2＋ln x－3)′}＋，其中[(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)]′＝(x－3)(x－2)x(x＋1)(x＋2)＋(x－1)[(x－3)(x－2)x(x＋1)(x＋2)]′所以曲线在点(1，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝－6＋9＝3，切线方程为y＝3(x－1).因为切线与直线2x＝ay－2平行，所以，所以a＝. 答案： 17．解：(1)证明：因为－SnSn＋1＝an＋1＝Sn＋1－Sn(n∈N*)，S1＝a1＝1≠0， 所以Sn≠0，所以－1＝，化简，得－＝1， 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知＝n，故bn＝n·2n， Tn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n　①， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n+1　②， ①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－2＋(1－n)·2n+1， 所以Tn＝2＋(n－1)·2n+1. 18．解：(1)证明：由题意可知PA⊥AC，即∠PAC ＝90°，因为AC＝AD，PC＝PD，PA＝PA， 所以△PAC≌△PAD. 所以∠PAD＝∠PAC＝90°， 所以PA⊥AD， 又AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD， 所以PA⊥平面ACD. 因为CD⊂平面ACD， 所以PA⊥CD. (2)由已知得PD＝PC＝＝2， 因为M为PD的中点，所以MD＝， 又cos ∠MDC＝＝＝， 所以在△MCD中，MC2＝MD2＋DC2－2MD·DC·cos ∠MDC＝2＋4－2××2×＝4， 所以MC＝2. 在△AMC中，AC＝MC＝2，AM＝， 所以cos ∠ACM＝＝， 所以sin ∠ACM＝， 所以，S△ACM＝·AC·CM·sin ∠ACM＝×2×2×＝. 设点D到平面ACM的距离为d， 由V三棱锥D­AMC＝V三棱锥M­ADC， 得·S△ACM·d＝·S△ADC·PA， 即d＝×22×1，解得d＝， 故点D到平面ACM的距离为. 19．解：(1)抽查的50名学生中低体重3人，正常25人，超重17人，肥胖5人， 所以平均得分为 ＝88. 学生肥胖率为＝0.1. (2)由参考数据计算可知＝22.5，＝3400， 所以＝＝＝160， ＝－＝3400－160×22.5＝－200， 所以y关于x的线性回归方程为＝160x－200. 20．解：(1)f′(x)＝，x＞0， 对于一元二次方程x2－2ax＋1＝0. 当Δ＝4a2－4≤0，即－1≤a≤1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当Δ＝4a2－4＞0，即a＞1或a＜－1时， ①当a＜－1时，－2ax＞0，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a＞1时，解x2－2ax＋1＝0，得x＝a－或x＝a＋，不妨令x′1＝a－，x′2＝a＋，则 x (0，x′1) x′1 (x′1，x′2) x′2 (x′2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，a－)，(a＋，＋∞)上单调递增，在(a－，a＋)上单调递减． (2)证明：由(1)结合f(x)有两个极值点x1，x2可知，a＞1，且x1＋x2＝2a，x1x2＝1. 不妨设x2＞1＞x1＞0， 则 ＝ ＝＝2－. 要证＞2－4a，即证＜2，即证＜2，即证ln x2－x2＋＜0. 令g(x)＝ln x－x＋， 易知当a＝时，f(x)＝x－ln x－＝－g(x)，由(1)知当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴当x＞1时，g(x)＜g(1)＝0.得证． 21．解：(1)由题意得M(2，6)或M(－2，6)，将点M的坐标代入x2＝2py，得p＝1，∴抛物线的标准方程是x2＝2y. (2)证明：解法一：设P(t，)，显然t≠0. ∵y＝，∴y′＝x，∴直线AB的斜率kAB＝t. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则， ①－②可得＝－2·＝－. 设AB的中点为G，连接OG(图略)，则直线OG的斜率kOG＝－. 连接PZ(图略)，∵以PQ为直径的圆与直线y＝－2交于Q，Z两点，∴PZ⊥ZQ，则Z(t，－2)，∴直线OZ的斜率kOZ＝， ∴kOG＝kOZ. 故直线OZ经过线段AB的中点． 解法二：设P(t，)，显然t≠0. ∵y＝，∴y′＝x，∴直线AB的斜率kAB＝t， 则直线AB的方程为y－＝t(x－t)，即y＝tx－，代入椭圆D的方程可得，(t2＋2)x2－t3x＋－4＝0， Δ＝(－t3)2－4(t2＋2)(－4)＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1＋y2＝t(x1＋x2)－－＝， 设AB的中点为G，则G点坐标为(，). 连接PZ(图略)，∵以PQ为直径的圆与直线y＝－2交于Q，Z两点，∴PZ⊥ZQ，则Z(t，－2)， ∴直线OZ的斜率kOZ＝. ∴直线OZ的方程为y＝x， 显然点G在直线OZ上，即直线OZ经过线段AB的中点． 22．解：(1)由参数方程(t为参数)， 可得，消去t可得C1的普通方程为x2－y2＝4， 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝4，可得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即C1的极坐标方程为ρ2＝. 由极坐标方程θ＝(ρ≥0)，可得tan θ＝， 所以C2的直角坐标方程为y＝x(x≥0). (2)设P(ρ1，)，将θ＝代入ρ2＝，可得ρ＝＝8，所以|OP| ＝ρ1＝2. 设Q(ρ2，－)，同理可得|OQ|＝ρ2＝2， 所以△OPQ的面积S＝×|OP|×|OQ|×sin ∠POQ＝×2×2×sin (＋)＝2. 23．证明：(1)要证＋≥x＋y，只需证x3＋y3≥xy(x＋y)，左边因式分解得(x＋y)·(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，只需证x2－xy＋y2≥xy，只需证x2＋y2≥2xy， 因为x2 ＋y2≥2xy成立，当且仅当x＝y时等号成立，所以＋≥x＋y成立． (2)要证≥()3，只需证4(x3＋y3)≥x3＋y3＋3x2y＋3xy2， 只需证x3＋y3≥x2y＋xy2，由(1)证明过程可知x3＋y3≥x2y＋xy2成立， 所以≥()3成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$