【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(3)

高考文科数学模拟试题精编(三) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z满足＝i，则||＝(　　) A．i B．－i C．1 D． 2．已知集合P＝{x|x2－2x－3≤0}，Q＝{m}，若P∩Q＝Q，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，3] C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1，3] 3．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－1>0；q：∃x0∈R，2x0>3x0.则真命题是(　　) A．p∧q B．p∨(¬q) C．(¬p)∨q D．(¬p)∧(¬q) 4．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10-14，已知pH的定义为－lg [H＋]，若某人血液中的＝7，则其血液的pH大约为(参考值lg 7≈0.845)(　　) A．6.9 B．7.1 C．7.4 D．7.6 5．某市居民月均用水量的频率分布直方图如图所示： 其众数、中位数、平均数的估计值分别为x0，x中，，则下列结论正确的是(　　) A．>x中>x0 B．x中>>x0 C．>x0>x中 D．x中>x0> 6．执行如图所示的程序框图，若输入的x＝－1，y＝1，n＝1，则输出的x，y，n满足的关系式不正确的是(　　) A．x＝n－1 B．y＝nx＋x C．y＝4x D．y＝n2－1 7．1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数进行了如图所示的排列，将图中第k行第m列的数字记为akm，若∑akm＝，则k＝(　　) A．n＋1 B．n C．2n D．2n－1 8．将函数y＝a sin x＋b cos x图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2cos (2x＋)的图象，则a＋b＝(　　) A．2 B．0 C．＋1 D．1－ 9.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是(　　) A．＋ B．2π＋2 C．－ D．2π－2 10．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面AB′C⊥平面ACD，则所得三棱锥A­B′CD的外接球的表面积为(　　) A． B． C． D． 11．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若双曲线C上存在点P满足|PF1|∶|PF2|＝2∶1且∠F1PF2＝90°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．5x±4y＝0 D．4x±5y＝0 12．若直线y＝ax＋b为函数f(x)＝ln x－图象的一条切线，则2a＋b的最小值为(　　) A．ln 2 B．ln 2－ C．1 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若x，y满足约束条件，则x－3y的最小值为________． 14．已知α为锐角，sin (α－)＝，则cos (α＋)＝________． 15．已知函数f(x)＝，则函数y＝f[f(x)]的不同零点的个数为________． 16．曲线y＝x3－x2－x在点(2，2)处的切线与曲线的公共点个数为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1－n(n＋1)＝2(n＋1)(an－n)(n∈N*). (1)证明：数列{－1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 18．(12分)汽车尾气中含有一氧化碳、碳氢化合物等污染物，是环境污染的主要因素之一，随着汽车使用时间(单位：年)的增长，尾气中污染物也会随之增加，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为统计公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： 不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p q 100 (1) 若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为对机动车强制报废标准是否了解与性别有关； (2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用时间与排放的尾气中一氧化碳浓度的数据，并制成如图所示的散点图，若该型号汽车的使用时间不超过15年，则可近似认为排放的尾气中一氧化碳浓度y(%)与使用时间t线性相关，试确定y关于t的回归直线方程，并预测该型号的汽车使用12年时排放尾气中的一氧化碳浓度是使用4年时的多少倍． 参考公式：＝，＝－. 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.(12分)如图所示，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为正方形，△PBD为等边三角形，E为PC的中点，平面EBD⊥平面ABCD. (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)若AB＝2，求三棱锥P ­BED的体积． 20．(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax＋3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围． 21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时，|MN|＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点H(0，－1)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin θ－4cos θ. (1)分别写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程； (2)求曲线C1绕点P(1，2)按逆时针方向旋转90°得到曲线C3，若曲线C3与曲线C2交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值． 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－1|＋2|x＋1|. (1)求不等式f(x)<5的解集； (2)设f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a＋2b＋3c＝m，求3a2＋2b2＋c2的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(三) 1．C　解法一：因为＝i，所以z＋1＝i(z－1)，即(1－i)z＝－1－i，所以z＝＝＝－i，则＝i，||＝1，故选C. 解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由＝i，得＝i，即x＋1＋yi＝－y＋(x－1)i，由复数相等的充要条件得，解得，所以z＝－i，则＝i，||＝1，故选C. 2．D　由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3， 所以P＝{x|－1≤x≤3}， 因为P∩Q＝Q，所以Q⊆P，所以－1≤m≤3，即实数m的取值范围是[－1，3]，故选D. 3．C　对于命题p，因为方程x2＋x－1＝0中Δ＝1－4×(－1)＝5>0，所以命题p为假命题．对于命题q，当x0<0时，均有2x0>3x0，所以命题q为真命题．所以(¬p)∨q为真命题．故选C. 4．C　由题意可知，[H＋][OH－]＝10-14，又＝7，所以7[H＋]＝[OH－]，则7[H＋]2＝10-14，所以[H＋]＝ ，由题意可知，pH的定义为－lg [H＋]，所以该人血液的pH为－lg ＝－(－14－lg 7)＝7＋lg 7≈7.4，故选C. 5．A　由频率分布直方图可知，众数的估计值x0＝7.2；月均用水量在区间[1.2，5.2)的频率为0.05×4＝0.2<0.5，在区间[1.2，9.2)的频率为0.2＋0.1×4＝0.6>0.5，由0.2＋(x中－5.2)×0.1＝0.5，得中位数的估计值x中＝8.2；平均数的估计值＝3.2×0.2＋7.2×0.4＋11.2×0.12＋15.2×0.08＋19.2×0.06＋23.2×0.08＋27.2×0.06＝10.72.所以>x中>x0，故选A. 6．C　执行程序框图，可得x＝－，y＝1，n＝2，满足x2＋y2≤40；x＝，y＝2，n＝3，满足x2＋y2≤40；x＝2，y＝6，n＝4，满足x2＋y2≤40；x＝4，y＝24，n＝5，此时x2＋y2>40，结束循环．故输出的x＝4，y＝24，n＝5，结合选项知不满足y＝4x，故选C. 7．A　由题意，得第k行的有理数为，，，，…，依次构成等差数列，故∑akm＝(1＋2＋3＋…＋n)＝×＝，得k＝n＋1.故选A. 8．C　先将y＝2cos (2x＋)的图象向右平移个单位长度，得y＝2cos [2(x－)＋]＝2cos (2x－)的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得y＝2cos (x－)＝2(cos x＋sin x)＝sin x＋cos x的图象，则a＝1，b＝，所以a＋b＝1＋，故选C. 9．D　连接AB，AC，BC(图略)，设等边三角形ABC的边长为a，则圆的半径为a，∵莱洛三角形的周长为2π，∴＝＝＝，∵∠A＝∠B＝∠C＝，∴＝×a⇒a＝2，∠A对应的扇形面积为××22＝，等边三角形ABC的面积S1＝×2×2×＝，则一个弓形的面积S2＝－，所求面积S＝3S2＋S1＝3×(－)＋＝2π－2，故选D. 10．A　如图，由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，设AC∩BD＝G，则BG⊥AC，∴B′G⊥AC.∵平面AB′C⊥平面ACD，平面AB′C∩平面ACD＝AC，∴B′G⊥平面ACD.分别取△ACD与△AB′C的外心E，F，过E，F分别作两平面的垂线，相交于O，则O为三棱锥A­B′CD的外接球的球心．由△ABC与△ACD均为等边三角形且边长为2，可得OE＝OF＝DG＝，∴DE＝DG－GE＝.连接OD，则OD＝＝＝.∴三棱锥A­B′CD的外接球的表面积为4π×()2＝.故选A. 11．B　根据双曲线的定义及已知可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝90°，所以(4a)2＋(2a)2＝(2c)2＝4a2＋4b2，整理得b2＝4a2，所以＝2，故双曲线C的渐近线方程是y＝±x＝±2x，即2x±y＝0，故选B. 12．B　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋，设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0－，a＝＋，所以切线方程为y－(ln x0－)＝(＋)(x－x0)，即y＝(＋)x－1＋ln x0－，与已知对照，得b＝－1＋ln x0－，所以2a＋b＝ln x0＋－1.构造函数g(t)＝ln t＋－1(t>0)，则g′(t)＝－＝，所以函数g(t)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，g(t)取得最小值，为ln 2－，所以(2a＋b)min＝ln 2－.故选B. 13．解析：解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x－3y＝0并平移，由图知，当平移后的直线经过点A(1，1)时，x－3y取得最小值，(x－3y)min＝1－3×1＝－2. 解法二：设z＝x－3y，由，得，此时z＝2；由，得，此时z＝；由，得，此时z＝－2.综上所述，z＝x－3y的最小值为－2. 答案：－2 14．解析：因为sin (α－)＝，α为锐角，所以cos (α－)＝，cos (α＋)＝cos [(α－)＋]＝[cos (α－)－sin (α－)]＝. 答案： 15．解析：设t＝f(x)，由题意知f(t)＝0，由此可得或，解得t＝－2或t＝2. 当t＝2时，有或 ，解得x＝－或x＝5； 当t＝－2时， 有或， 解得x＝－或x＝.故函数y＝f[f(x)]的不同零点的个数为4. 答案：4 16．解析：由题意可得，y′＝3x2－2x－1，则曲线在点(2，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝3×22－2×2－1＝7，所以曲线在点(2，2)处的切线方程为y－2＝7×(x－2)，即y＝7x－12.切线与曲线的公共点个数即方程x3－x2－x＝7x－12解的个数，整理得(x＋3)(x－2)2＝0，解得x＝2或x＝－3，所以切线与曲线有2个公共点． 答案：2 17．解：(1)证明：由条件可得＝， 又－1＝1，所以{－1}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以an＝n×2n-1＋n. (2)Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n-1＋(1＋2＋3＋…＋n)， 设Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n-1， 则2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 两式相减，整理得Tn＝(n－1)×2n＋1， 所以Sn＝(n－1)×2n＋. 18．解：(1)设“从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，由已知，得P(A)＝＝，所以b＝25，a＝25，p＝40，q＝60. K2＝≈4.167>3.841， 故有95%的把握认为对机动车强制报废标准是否了解与性别有关． (2)由散点图中所给数据，可得 ＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ＝×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42， ∑tiyi＝0.4＋0.8＋2.4＋4.8＋7＝15.4， ∑t＝22＋42＋62＋82＋102＝220， 故＝＝＝0.07，＝0.42－0.07×6＝0， 所以所求回归直线方程为＝0.07t. 当t＝12时，＝0.07×12＝0.84，＝4.2，所以预测该型号汽车使用12年时排放尾气中的一氧化碳浓度是使用4年时的4.2倍． 19．解：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，EO，因为△PBD为等边三角形，所以PO⊥BD. 因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD. 又AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC， 又OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE. 因为平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD＝BD， 所以EO⊥平面ABCD. 因为E为PC的中点，所以EO∥PA， 所以PA⊥平面ABCD. (2)因为AB＝2，所以BD＝2，PD＝2，由(1)知PA⊥AD，可得AD＝PA＝2， 所以VP­ABD＝×S△ABD×PA＝××2×2×2＝， 又E为PC的中点， 所以VP­BED＝VE­BPD＝VC­BPD＝VP­BCD＝VP­ABD＝. 20．解：(1)f′(x)＝－a(x>0). ①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间； ②当a>0时，令f′(x)>0，得0<x<，令f′(x)<0，得x>. 所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，＋∞). (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝3－a>0，不符合题意． 当a>0时，f(x)的最大值为f()，若f(x)≤0恒成立，则f()≤0， 即－ln a＋2≤0，所以a≥e2. 综上，a≥e2. 21．解：(1)由题意可知，离心率e＝＝＝，可得＝. 左焦点F1(－c，0)，当MN⊥x轴时，将x＝－c代入椭圆C的方程得y2＝，y＝±， ∴|MN|＝＝3. 由，解得， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率必存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由，得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0. Δ＝(－8k)2－4×(－8)×(4k2＋3)＝192k2＋96>0， x1＋x2＝，x1x2＝. ∵P关于y轴的对称点为F，∴F(－x1，y1)， ∴直线FQ的方程为y－y1＝(x＋x1)， 令x＝0，得y＝＝＝－1＝－3， ∴G(0，－3)， ∴△PQG的面积S＝|HG||x1－x2|＝|x1－x2|＝＝＝， 令t＝，则t∈(，＋∞)，S＝＝， ∵t＋∈(，＋∞)，∴S∈(0，)， 即△PQG面积的取值范围为(0，). 22．解：(1)由(t为参数)，消去t，整理得x－y＋2－＝0，即C1的普通方程为x－y＋2－＝0. 因为曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin θ－4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ－4ρcos θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以x2＋y2＝4y－4x，即C2的直角坐标方程为x2＋y2＋4x－4y＝0. (2)因为将曲线C1绕点P(1，2)按逆时针方向旋转90°得到曲线C3，点P(1，2)在直线C1上，所以直线C3的斜率为－＝－，倾斜角为，点P(1，2)在直线C3上，所以C3的参数方程为(t为参数)，代入C2的直角坐标方程，整理得t2－3t＋1＝0，Δ>0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋t2＝3>0，t1t2＝1>0， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3. 23．解：(1)①当x≥1时，f(x)＝(x－1)＋2(x＋1)＝3x＋1， 由f(x)<5，解得x<，此时1≤x<； ②当－1<x<1时，f(x)＝－(x－1)＋2(x＋1)＝x＋3， 由f(x)<5，解得x<2，此时－1<x<1； ③当x≤－1时，f(x)＝－(x－1)－2(x＋1)＝－3x－1， 由f(x)<5，解得x>－2，此时－2<x≤－1. 综上，原不等式的解集为(－2，). (2)由(1)得f(x)＝ ∴当x＝－1时，f(x)取得最小值2， ∴m＝2， ∴a＋2b＋3c＝2. 由柯西不等式，得(3a2＋2b2＋c2)(＋2＋9)≥(a＋2b＋3c)2＝4， ∴3a2＋2b2＋c2≥， 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立． ∴3a2＋2b2＋c2的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$