【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(1)

高考文科数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则(A∪B)∩(A∩B)＝(　　) A．{3}　　　　　　 B．{1，2，3}　　　　　 C．{3，4，5}　　　　 D．{1，2，3，4，5} 2．复数z＝(－i)(1＋i)2，则|z|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 3．已知命题p：∃x0∈R，sin x0＝；命题q：∀x∈R，x2－2x＋2≥0.下列结论正确的是(　　) A．p∨q是真命题 B．p∧q是真命题 C．(¬p)∨q是假命题 D．(¬p)∧(¬q)是真命题 4．若θ为锐角，cos (θ＋)＝－，则tan θ＋＝(　　) A． B． C． D． 5．已知P是曲线C：x＋＝0上的点，Q是直线x－y－1＝0上的一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B．－1 C．－1 D． 6．已知奇函数f(x)在x≤0时的图象如图所示，则不等式xf(x)＞f(x)的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(0，3) B．(－3，－1)∪(1，3) C．(－∞，－3)∪(1，3) D．(－3，0)∪(1，3) 7．给出下列命题： ①若△ABC的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点，则P，Q，R三点共线； ②若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c是异面直线； ③若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； ④对于三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b. 其中所有真命题的序号是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 8．函数f(x)＝－x的图象大致为(　　) 　　　　 9．已知2a＝7b＝k，若＋＝1，则k的值为(　　) A．28 B． C．14 D． 10．过点M(p，0)作倾斜角为150°的直线与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，若|AB|＝2，则|AM|·|BM|的值为(　　) A．4 B．4 C．2 D．4 11．已知数列{an}满足对任意的正整数n，都有a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，其中a1＝3，则数列{an}的前2024项和是(　　) A．3×22024－3 B．3×22023＋1 C．3×22023 D．3×22023＋2 12．已知x∈(，)，且a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为________． 14．已知向量a，b满足a＝(1，1)，a＋2b＝(3，－1)，则向量a与b的夹角为________． 15．已知F是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的右焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝2b，∠POF＝，则C的离心率为________． 16．若在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列3，4进行构造，第一次得到数列3，7，4，第二次得到数列3，10，7，11，4，依次构造，第n(n∈N*)次得到数列3，x1，x2，…，xk，4.记an＝3＋x1＋x2＋…＋xk＋4，则a3＝________；设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin C＝c sin . (1)求A； (2)已知b＝1，c＝3，且边BC上有一点D满足△ABD的面积为△ADC面积的3倍，求AD. 18．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PB＝PC＝. (1)证明：平面PAB⊥平面PCD； (2)已知点M是线段AD的中点，求点D到平面PBM的距离． 19．(12分)长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下长绒棉的品质，选取甲、乙两块试验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两块试验田采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到下表(单位：份)： 马克隆值 [3.0，3.2] (3.2，3.4] (3.4，3.6] (3.6，3.8] (3.8，4.0] (4.0，4.2] (4.2，4.4] 甲 2 4 7 10 14 8 5 乙 7 9 10 11 7 4 2 棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一，根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三级，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差，其分类标准如下表所示： 马克隆值 (3.6，4.2] (3.4，3.6]或(4.2，5.0) (0，3.4]或[5.0，＋∞) 级别 A B C (1)现从甲试验田的这50份样本的马克隆值为B级或C级的棉花中，利用分层抽样的方法，随机抽取6份，再从这6份中随机抽取3份做其他质量指标检测，求这3份中取到B级品1份，C级品2份的概率； (2)完成下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关． A级或B级 C级 合计 甲 乙 合计 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 20.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，过点R(2，0)作x轴的垂线交抛物线C于G，H两点，且OG⊥OH(O为坐标原点). (1)求p； (2)过Q(2，1)任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线C于A，B两点，直线AR交抛物线C于不同于点A的另一点M，直线BR交抛物线C于不同于点B的另一点N.求证：直线MN过定点． 21．(12分)已知函数f(x)＝1－，a≠0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＞0时，exf(x)≥a ln (ax)－ax2，求a的取值范围． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程； (2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋. 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤4的解集； (2)若函数f(x)的最小值为m，已知a＞0，b＞0，c＞0，＋＋＝m，求a＋2b＋3c的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答 案 与 精 析 高考文科数学模拟试题精编(一) 1．A　因为A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{3}，所以(A∪B)∩(A∩B)＝{3}，故选A. 2．B　解法一：z＝(－i)(1＋i)2＝(－i)·2i＝2＋2i，则|z|＝ ＝4，故选B. 解法二：z＝(－i)(1＋i)2＝(－i)·2i，则|z|＝|－i|·|2i|＝2×2＝4，故选B. 3．A　由正弦函数的性质可知，对任意x∈R，sin x∈[－1，1]，所以命题p为假命题；对任意x∈R，x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，所以命题q为真命题．所以命题p∨q为真命题，故选A. 4．B　解法一：因为cos (θ＋)＝cos θcos －sin θsin ＝(cos θ－sin θ)＝－， 所以cos θ－sin θ＝－　①.又sin2θ＋cos2θ＝1 0＜θ＜　②， 所以由①②可得sin θ＝，cos θ＝，所以tan θ＝＝，所以tan θ＋＝＋＝，故选B. 解法二：因为cos (θ＋)＝cos θcos －sin θsin ＝(cos θ－sin θ)＝－，所以cos θ－sin θ＝－，两边平方，整理得1－2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝，所以tan θ＋＝＋＝＝＝，故选B. 5．D　由x＋＝0得，x2＋(y－1)2＝1， ∴曲线C是圆心为C(0，1)，半径r＝1的左半圆， ∴曲线C上的点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离d＝， 即为|PQ|的最小值．故选D. 6．D　根据函数的性质作出f(x)在R上的大致图象如图所示，由xf(x)＞f(x)得(x－1)·f(x)＞0， ∴，或，解得1＜x＜3或－3＜x＜0. 7．B　对于①，设平面α∩平面ABC＝l，因为P∈平面α，P∈平面ABC，所以P∈l，同理Q∈l，R∈l，所以P，Q，R三点共线，故①是真命题； 对于②，如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取A1D1所在直线为直线a，AB所在直线为直线b，B1C1所在直线为直线c，满足直线a，b异面，直线b，c异面，而a∥c，故②是假命题； 对于③，经过一组相交直线或一组平行直线，有且仅有一个平面，故③为真命题； 对于④，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取A1D1所在直线为直线a，BB1所在直线为直线b，A1B1所在直线为直线c，满足a⊥c，b⊥c，而直线a，b异面，故④为假命题． 综上所述，真命题的序号为①③，故选B. 8．B　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－(－x)＝－(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A选项．f(1)＝e－1＞1，排除C，D选项，故选B. 9．A　∵2a＝7b＝k，∴a＝log2k，b＝log7k，∴＝logk2，＝logk7，∴＋＝2logk2＋logk7＝logk28＝1，∴k＝28.故选A. 10．A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，因为直线AB的倾斜角为150°，所以直线AB的斜率为tan 150°＝－，所以直线AB的方程为y＝－(x－p)，即x＝－y＋p，代入抛物线C：y2＝2px，整理得y2＋2py－2p2＝0，因为|AB|＝|AM|＋|BM|＝2|y1|＋2|y2|＝2y1－2y2＝2，所以y1－y2＝　①.由两式相减，得y1＋y2＝＝－2p　②.又x1＝p－y1，x2＝p－y2，所以yy＝4p2x1x2＝4p2(p－y1)·(p－y2)＝12p2y1y2＋28p4，得y1y2＝－2p2　③.由①②③可得y1y2＝－1，所以|AM|·|BM|＝2|y1|·2|y2|＝4|y1y2|＝4，故选A. 11．C　设数列{an}的前n项和为Sn，则由a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，得Sn－an＋1＝0，所以Sn－(Sn＋1－Sn)＝0，则Sn＋1＝2Sn，所以数列{Sn}是首项为S1＝a1＝3，公比为2的等比数列，所以Sn＝3×2n-1，所以S2024＝3×22023，故选C. 12．C　设函数f(x)＝，则当x＞0时，f′(x)＝＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为x∈(，)，所以＜sin x＜1，故1＜2sin2x＜2，所以2sin2x＞sinx＞cos x＞0，所以f(2sin2x)＜f(sinx)＜f(cos x)，即a＜c＜b，故选C. 13．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线x＋2y＝0，平移该直线，当纵截距最小时，z最小，由图可知，当平移后的直线经过点A时纵截距最小，由得即A(－1，－1)，则zmin＝－1＋2×(－1)＝－3. 答案：－3 14．解析：因为a＝(1，1)，a＋2b＝(3，－1)，所以2b＝(3，－1)－(1，1)＝(2，－2)，所以b＝(1，－1)，cos 〈a，b〉＝＝＝0，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 答案： 15．解析：如图，设P在第一象限，因为|OP|＝2b，∠POF＝，所以P(b，b)，代入双曲线方程，得b2－＝1，所以b＝2，所以e＝＝c＝＝. 答案： 16．解析：因为a1＝3＋7＋4＝14，a2＝3＋10＋7＋11＋4＝35＝a1＋7×3，a3＝98＝a2＋7×32，…，an＝an－1＋7×3n-1(n≥2)，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2)，即an＝14＋7×(31＋32＋…＋3n-1)＝(n≥2)，当n＝1时也满足，从而Sn＝×[(3＋32＋…＋3n)＋n]＝. 答案：98　 17．解：(1)由已知及正弦定理，得sin A·sin C＝sin C·sin . 又sin ＝sin ＝cos ， 所以sin A sin C＝sin C cos . 因为sin C≠0，所以sin A＝cos ，所以2sin cos ＝cos ，因为0＜＜，所以cos ≠0， 所以sin ＝，即＝，所以A＝. (2)设∠BDA＝α，则∠ADC＝π－α， 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝12＋32－6cos ＝7，解得a＝. 因为S△ABD＝3S△ADC， 所以BD＝3DC＝. 在△ABD中，由余弦定理，得9＝＋AD2－·AD·cos α，① 在△ADC中，由余弦定理，得1＝＋AD2－·AD·cos (π－α)，② 由①②解得AD＝. 18．解：(1)证明：∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴AB⊥AD， 又平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD， ∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，AB⊥PA， ∴△PAB是直角三角形， 又PB＝，AB＝2，∴PA＝. 同理，PD＝. ∴在△PAD中，PA2＋PD2＝AD2， ∴PA⊥PD， 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， ∴PD⊥平面PAB， 又PD⊂平面PCD， ∴平面PAB⊥平面PCD. (2)如图，连接BD，过D作BM的垂线交BM的延长线于点N，则BM⊥DN，点N在平面PBM内，由(1)知PA＝PD， ∴PM⊥AD， 又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，∴PM⊥底面ABCD， ∴PM⊥DN， 又BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴DN⊥平面PBM， ∴DN就是点D到平面PBM的距离． 在△DBM中，S△DBM＝×DM×AB＝×BM×DN， ∵DM＝AD＝1，AB＝2，∴BM＝， ∴DN＝. 即点D到平面PBM的距离为. 19．解：(1)由题可知，甲试验田的50份样本中，马克隆值为B级的有12份，C级的有6份，所以利用分层抽样的方法从这50份样本的马克隆值为B级或C级的棉花中随机抽取6份，则应抽取B级品4份，C级品2份． 记4份B级品分别为b1，b2，b3，b4，2份C级品分别为c1，c2. 从抽取的6份样本中随机抽取3份，抽取的全部结果为(b1，b2，b3)，(b1，b2，b4)，(b1，b2，c1)，(b1，b2，c2)，(b1，b3，b4)，(b1，b3，c1)，(b1，b3，c2)，(b1，b4，c1)，(b1，b4，c2)，(b1，c1，c2)，(b2，b3，b4)，(b2，b3，c1)，(b2，b3，c2)，(b2，b4，c1)，(b2，b4，c2)，(b2，c1，c2)，(b3，b4，c1)，(b3，b4，c2)，(b3，c1，c2)，(b4，c1，c2)，共20种． 取到B级品1份，C级品2份的抽取结果为(b1，c1，c2)，(b2，c1，c2)，(b3，c1，c2)，(b4，c1，c2)，共4种．则所求概率P＝＝. (2)2×2列联表如下： A级或B级 C级 合计 甲 44 6 50 乙 34 16 50 合计 78 22 100 根据列联表的数据，得 K2＝＝≈5.828＞3.841， 故有95%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关． 20．解：(1)由题意得，|RG|＝|OR|＝2. 不妨设G(2，2)，代入抛物线C的方程可得p＝1. (2)证明：由(1)知，抛物线C的方程为y2＝2x. 设A(，y1)，B(，y2)，M(，y3)，N(，y4)， 则直线AB的斜率kAB＝＝， 所以直线AB的方程为y＝(x－)＋y1，即2x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0. 同理可得直线AM，BN的方程分别为2x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，2x－(y2＋y4)y＋y2y4＝0. 由直线AB过Q(2，1)及直线AM，BN过R(2，0)，可得4－(y1＋y2)＋y1y2＝0，y1y3＝y2y4＝－4.又直线MN的方程为2x－(y3＋y4)y＋y3y4＝0，即2x＋(＋)y＋＝0， 所以直线MN的方程为y1y2x＋2(y1＋y2)y＋8＝0. 把4－(y1＋y2)＋y1y2＝0代入y1y2x＋2(y1＋y2)y＋8＝0，得y1y2x＋2(y1y2＋4)y＋8＝0，即(x＋2y)y1y2＋8y＋8＝0. 令x＋2y＝0，8y＋8＝0可得x＝2，y＝－1. 所以直线MN过定点(2，－1). 21．解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝－＝. ①若a＞0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ②若a＜0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． (2)由题意知x＞0，exf(x)≥a ln (ax)－ax2，即ex≥a ln (ax)，≥ln x＋ln a，≥ln x＋ln a， ex－ln a－ln a≥ln x，ex－ln a＋x－ln a≥x＋ln x，ex－ln a＋x－ln a≥eln x＋ln x. 令g(x)＝ex＋x，则上述不等式转化为g(x－ln a)≥g(ln x)， 因为g(x)＝ex＋x在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以x－ln a≥ln x，即ln a≤x－ln x. 设h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－＝， 当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝1，则ln a≤1，故0＜a≤e. 所以a的取值范围为(0，e]. 22．解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C2过原点，且倾斜角为， 故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R). (2)由 得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝. 23．解：(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋1|≤4， 即当x＜－1时，f(x)＝－2x＋1≤4， ∴－≤x＜－1； 当－1≤x≤2时，f(x)＝3≤4恒成立， ∴－1≤x≤2； 当x＞2时，f(x)＝2x－1≤4， ∴2＜x≤. 综上，不等式f(x)≤4的解集为. (2)解法一：f(x)＝， ∴f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， ∴当－1≤x≤2时，f(x)取得最小值3，即m＝3. ∴＋＋＝3. ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴结合柯西不等式得(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(1＋2＋3)2＝36，当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立， ∴a＋2b＋3c的最小值是12. 解法二：f(x)＝|x－2|＋|x＋1|≥|(x－2)－(x＋1)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时等号成立， ∴f(x)的最小值为3，即m＝3. 下同解法一． 学科网（北京）股份有限公司 $$