第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 3．（本题3分）下列说法正确的是（　　） A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7 B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0 C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程 D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程 4．（本题3分）解方程的最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 5．（本题3分）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 7．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 8．（本题3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（本题3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644 C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356 10．（本题3分）如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 12．（本题3分）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 13．（本题3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为 ． 14．（本题3分）用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是 ． 15．（本题3分）若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝ ． 16．（本题3分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）解方程 （1）         （2） 18． （本题4分）2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 19．（本题6分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 19． （本题6分）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 21．（本题8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 22．（本题10分）某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． (1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 23．（本题10分）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 24．（本题12分）如图所示，中，，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 25．（本题12分）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．    试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、该方程没有规定，故本选项错误； B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程不是整式方程，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．（本题3分）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 3．（本题3分）下列说法正确的是（　　） A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7 B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0 C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程 D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解． 【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误； B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误； C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误； D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键． 4．（本题3分）解方程的最适当的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程的方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵方程的两边都有因式3x-1， ∴把方程右边的2(3x-2)移到方程的左边，可以提公因式进行因式分解， ∴解方程的最适当的方法是分解因式法， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 5．（本题3分）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 6．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可. 【详解】， △=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8， ∵(k+1)2≥0， ∴(k+1)2+8>0， 即△>0， ∴方程有两个不相等实数根， 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 7．（本题3分）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B．±3 C．3 D．－3 【答案】D 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 8．（本题3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设邀请 队参赛，根据“计划安排21场比赛，”可列出方程，解出即可． 【详解】解：设邀请 队参赛，根据题意得： ， 解得： 或 （不合题意，舍去） 答：邀请7队参赛． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 9．（本题3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644 C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356 【答案】C 【详解】设道路的宽应为x米，由题意有 （100-x）（80-x）=7644， 故选：C． 10．（本题3分）如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①，即系数和为0，说明原方程有一根是1，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△； ②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论； ③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了； ④把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根． 【详解】解：①若，方程有一根为1，又，则，正确； ②由两根关系可知，，整理得：，正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确； ④由，，所以④正确． 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程根的判别式． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义回答即可 ． 【详解】解：方程是一元二次方程， 且． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 12．（本题3分）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据a是方程的解，得出，再根据求解即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，解本题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程解的定义． 13．（本题3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为 ． 【答案】8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 14．（本题3分）用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是 ． 【答案】4，3 【分析】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据题意得： x（7﹣x）=12 解得：x1=4，x2=﹣3（舍去）． 当x=4时，∴7﹣x=3． 故答案为4，3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（本题3分）若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝ ． 【答案】或1 【详解】解：设a+b=x，则由原方程，得 4x（4x﹣2）﹣8=0，   整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0， 分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，   解得：x1=﹣，x2=1． 则a+b的值是﹣或1． 故答案为：或1． 16．（本题3分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）解方程 （1）        （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先移项，再直接开平方即可； （2）先移项，再因式分解即可． 【详解】解：（1） 移项得 两边直接开平方得， （2） 移项得 提取公因式得 即 ∴或 解得， 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的几种常用的方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适，简便的方法是解题的关键． 18．（本题4分）2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】一共有12个球队参赛． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，理解关系即可列出方程． 【详解】解：设一共有个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：一共有12个球队参赛． 19．（本题6分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 20．（本题6分）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 【答案】每只病鸡传染健康鸡12只 【分析】设每只病鸡传染健康鸡只，则第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡只，由题意得： ， 整理，得， 解，得，（不符合题意舍去）． 答：每只病鸡传染健康鸡12只． 21．（本题8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）k＜﹣1． 【分析】根据一元二次方程的解及定义，（1）根据公式法可知当≥0时，方程总有两个实数根；（2）通过因式分解法求出两根，可得其中一个为实数、一个为k＋1，再根据方程一根小于0即可求出本题答案. 【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（k＋3）]2﹣4×1×（2k＋2）＝k2﹣2k＋1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k＋1）]＝0， ∴x1＝2，x2＝k＋1． ∵方程有一个根小于0， ∴k＋1＜0， ∴k＜﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 22．（本题10分）某商城在年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． (1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据续两次降价后以每台元售卖列式求解即可得到答案； （2）设每台冰箱的售价应定为m元，根据利润列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：每次降价的百分率是； （2）解：设每台冰箱的售价应定为m元，由题意可得， ， 解得：， 答：每台冰箱的售价应定为元． 【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程． 23．（本题10分）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 24．（本题12分）如图所示，中，，．    (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 【答案】(1)点之间的距离不可能为 (2)秒或秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可； （2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可； （3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在射线上；③点在射线上，点在射线上． 【详解】（1）解：设经过秒，点之间的距离为， 则， ， ， 在中，， 故， 化简得：， ， 故方程无解， 故点之间的距离不可能为； （2）解：设经过秒，使的面积等于， 则， ， ， 由题意得：， 解得， 故经过秒或秒，的面积等于； （3）解：①点在线段上，点在线段中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得（舍去），， 故符合题意； ②点在线段上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， ， 解得符合题意； ③点在射线上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为． 25．（本题12分）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．    【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案为，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 试卷第10页，共19页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$