专题1.2 角度计算的经典模型（八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题1.2 角度计算的经典模型（八大题型） 【题型01：双垂直模型】 【题型02：A字模型】 【题型03：8字模型】 【题型04：飞镖模型】 【题型05：风筝模型】 【题型06：两内角角平分线模型】 【题型07：两外角角平分线模型】 【题型08：内外角平分线模型】 【题型01：双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD． 【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．160° 【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数． 【题型02：A字模型】 图1 【条件】图1中三种情况 【结论】∠1=∠2 【证明】略 图2 【结论】∠1+∠2=∠3+∠4 【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180° ∴∠1+∠2=∠3+∠4 图3 【结论】∠1+∠2=180°+∠A 【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A 【典例2】如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥DG； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数． 【变式2-1】探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　　 ． （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 ． （4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 【变式2-2】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．135° C．270° D．315° 【变式2-3】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-4】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【题型03：8字模型】 【条件】AE、BD相交于点C 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 【典例3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【变式3-1】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【变式3-2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【变式3-3】如图，已知，与相交于F． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【变式3-4】已知：如图，和相交于点O，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3-5】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【题型04：飞镖模型】 图1 图2 图3 【条件】四边形ABPC如图1所示 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图 （1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　50　°． ②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数． 【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 【变式4-2】附加题：如图，试说明： ①∠BDC＞∠A； ②∠BDC＝∠B+∠C+∠A． 如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？ 【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　） A．20° B．15° C．30° D．25° 【变式4-4】如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，则∠B的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式4-5】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4-6】如图，若，则 ． 【题型05：风筝模型】 【典例5】如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置． （1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　③　（只填序号），并说明理由； ①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE （2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系． 【变式5-2】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 【变式5-1】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． （1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　 ． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 【题型06：两内角角平分线模型】 双内角平分线模型 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+∠A. 【典例6】如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 【变式6-1】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【变式6-2】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【题型07：两外角角平分线模型】 双外角平分线模型 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 【典例7】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    (1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【变式7-1】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【变式7-2】如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数． 【题型08：内外角平分线模型】 内外角平分线模型 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线 【结论】∠P=∠A 【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A； （2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论． 【变式8-1】如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【变式8-2】如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【变式8-3】【初步认识】 （1）如图1，平分，平分外角，若，则____． 【变式探究】 （2）已知为四边形，为边延长线上一点，如图2，，，和的平分线交于点，则______． 【继续探索】 （3）已知为四边形，为边延长线上一点，如图3，，，且，和的平分线交于点，求与、之间的数量关系，并说明理由； 【终极挑战】 （4）如果将（3）中的条件改为，再分别作和的平分线，且两平分线所在的直线交于点，那么与、又有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不用说明理由） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 角度计算的经典模型（八大题型） 【题型01：双垂直模型】 【题型02：A字模型】 【题型03：8字模型】 【题型04：飞镖模型】 【题型05：风筝模型】 【题型06：两内角角平分线模型】 【题型07：两外角角平分线模型】 【题型08：内外角平分线模型】 【题型01：双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠BHD+∠HBD＝90°， ∵BE是△ABC的高， ∴∠HBD+∠C＝90°， ∴∠BHD＝∠C， ∵∠C＝50°， ∴∠BHD＝50°． 【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．160° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC， ∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°， 又∵CD⊥AB， ∴∠BDP＝90°， ∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°． 故选：B． 【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数． 【答案】20°，110°． 【解答】解：∵BE是AC上的高， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵CF是AB上的高， ∴∠AFC＝90°， ∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵∠ABE＝20°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°， ∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°， ∴∠BCH＝40°， ∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°． 【题型02：A字模型】 图1 【条件】图1中三种情况 【结论】∠1=∠2 【证明】略 图2 【结论】∠1+∠2=∠3+∠4 【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180° ∴∠1+∠2=∠3+∠4 图3 【结论】∠1+∠2=180°+∠A 【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A 【典例2】如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥DG； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）145°． 【解答】（1）证明：∵AD∥EF， ∴∠BAD+∠2＝180°． ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD＝∠1． ∴AB∥DG； （2）解：∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG， ∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°， ∴∠1＝∠DAB＝35°， ∵AD∥EF， ∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°． 【变式2-1】探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　270°　． （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　220°　． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　180°+∠A　． （4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90° ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°． ∴∠1+∠2等于270°． 故答案为：270°； （2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°， 故答案是：220°； （3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A； 故答案为：180°+∠A； （4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF ∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF ∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF） 又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A． 【变式2-2】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．135° C．270° D．315° 【答案】C 【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90° ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°． 故选：C． 【变式2-3】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【变式2-4】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 【题型03：8字模型】 【条件】AE、BD相交于点C 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 【典例3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图.   ，， ． ， ； （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即 ． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式3-1】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 【变式3-2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 【变式3-3】如图，已知，与相交于F． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1），得到，推出，即可得证； （2）平行线的性质求出的度数，角平分线求出，再利用三角形的外角求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3-4】已知：如图，和相交于点O，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用： （1）根据平行线的性质和已知得出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 【变式3-5】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF= ， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 【题型04：飞镖模型】 图1 图2 图3 【条件】四边形ABPC如图1所示 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图 （1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　50　°． ②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是： 过点A、D作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①如图（2），∵∠X＝90°， 由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠ABX+∠ACX＝50°， 故答案为：50； ②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°， ∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°， ∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB， ∴∠ADC+∠AEC＝＝45°， ∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°． 【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 延长CD交AB于E， ∵∠A＝90°，∠C＝21°， ∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°， ∵∠B＝32°， ∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°． 又∵∠BDC＝148°， ∴这个零件不合格． 【变式4-2】附加题：如图，试说明： ①∠BDC＞∠A； ②∠BDC＝∠B+∠C+∠A． 如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC＞∠DEC，而∠DEC＞∠A，所以∠BDC＞∠A； ②由∠BDC＝∠C+∠DEC，而∠DEC＝∠A+∠B，所以∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 如果点D在线段BC的另一侧，如图所示： 结论：①∠BDC与∠A无法比较大小； ②∠BDC＝360°﹣（∠A+∠B+∠C）， 【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　） A．20° B．15° C．30° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∵∠D＝40°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°， ∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°， ∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°． 故选：A． 【变式4-4】如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，则∠B的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【解答】解：∵ED⊥AC，∠D＝30°，∠C＝20°， 又∵∠DEC＝∠B+∠D， ∴∠C+∠DEC＝∠C+∠D+∠B＝90°， ∴∠B＝40°． 故选：C． 【变式4-5】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴40°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 【变式4-6】如图，若，则 ． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 【题型05：风筝模型】 【典例5】如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置． （1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　③　（只填序号），并说明理由； ①∠DAE＝∠1 ②∠DAE＝2∠1 ③∠1＝2∠DAE （2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系． 【答案】（1）③，理由详见解答过程． （2）∠1+∠2＝2∠DAE． 【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E． ∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE． 故答案为：③． （2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下： 如图2，连接AA′． 由题意知：∠EAD＝∠EA′D． ∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D， ∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD． 【变式5-2】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 【答案】B 【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°， 则∠1﹣∠2＝80°． 故选：B． 【变式5-1】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． （1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　2∠A＝∠2　． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2， 理由是：∵延DE折叠A和A′重合， ∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE， ∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A； （2）2∠A＝∠2，如图 ∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A， 故答案为：2∠A＝∠2； （3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1， 理由是：∵延DE折叠A和A′重合， ∴∠A＝∠A′， ∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME， ∴∠2＝∠A+∠A′+∠1， 即2∠A＝∠2﹣∠1． 【题型06：两内角角平分线模型】 双内角平分线模型 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+∠A. 【典例6】如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 【答案】（1）60°；（2）90°-n°；（3）∠BGO-∠ACF=50° 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答． 【详解】解：（1）∵∠MON=60°， ∴∠BAO+∠ABO=120°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°， 故答案为：60°； （2）∵∠MON=n°， ∴∠BAO+∠ABO=180°-n°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°-n°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°； （3）∵CF∥OA， ∴∠ACF=∠CAG， ∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG， 由（2）得：∠ACG=90°-×80°=50°． ∴∠BGO-∠ACF=50°． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键． 【变式6-1】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 【变式6-2】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 【详解】 在中, ， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 在中, ， 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键. 【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 【详解】（1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【题型07：两外角角平分线模型】 双外角平分线模型 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 【典例7】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    (1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【答案】(1) (2) (3)∠A的度数是或或或 【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可 【详解】（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝55°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°； （2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A， ∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点， ∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A， ∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A； （3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠BCF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠BC+2∠E， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E， 即∠E＝A， ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝∠ABC+MBC ＝（∠ABC+∠A+∠ACB） ＝90°， 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°， 综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式7-1】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【变式7-2】如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC）， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）， ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A， ∵∠A＝40°， ∴∠BOC＝90°﹣×40°＝90°﹣20°＝70°． 【题型08：内外角平分线模型】 内外角平分线模型 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线 【结论】∠P=∠A 【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A； （2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠P＝A． 【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC， ∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC） ＝180°﹣（∠ACB+∠ABC） ＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝90°+A； （2）猜想： 证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC， ∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC， ∵∠PCE＝∠P+∠PBC， ∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC， 又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE， ∴， ∴∠P＝ACE﹣ABC ＝（∠ACE﹣∠ABC） ＝A． 【变式8-1】如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 【变式8-2】如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 【变式8-3】【初步认识】 （1）如图1，平分，平分外角，若，则____． 【变式探究】 （2）已知为四边形，为边延长线上一点，如图2，，，和的平分线交于点，则______． 【继续探索】 （3）已知为四边形，为边延长线上一点，如图3，，，且，和的平分线交于点，求与、之间的数量关系，并说明理由； 【终极挑战】 （4）如果将（3）中的条件改为，再分别作和的平分线，且两平分线所在的直线交于点，那么与、又有怎样的数量关系？请直接写出结论．（不用说明理由） 【答案】（1）40；（2）25；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出，即可求解； （2）延长、相交于G，先求出的度数，然后同（1）得出，即可求解； （3）类似（2）探究即可； （4）延长，相交于G，延长，先求出，再判断平分，平分，然后同（1）得出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40； （2）延长、相交于G， ∵，， ∴，， ∴， 同（1）可证， ∴， 故答案为：25； （3） 理由：延长、相交于G， ∵，， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴； （4） 理由：延长，相交于G，延长， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， 同理平分， 同（1）可证， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$