小升初典型奥数：方阵问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学全国通用

方阵问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题． 数量关系： （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数﹣1）×4 每边人数＝四周人数÷4+1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2 内边人数＝外边人数﹣层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4． 第二部分 典型例题 例题1：晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？ 【答案】个 【分析】如图所示，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数。知道各层每边的个数，就可以求出总数。 【详解】 （14－1）×4＋（14－2－1）×4 ＝13×4＋11×4 ＝52＋44 ＝96（个） 答：一共用了96个棋子。 【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此解题即可。 例题2：学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？ 【答案】144人 【详解】解：（23+1）÷2=12（人） 12×12=144（人） 或 （23-1）÷2+1=12（人） 12×12=144(人)……高年级人数 例题3：军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？ 【答案】要去掉13人；还剩下36人 【分析】如下图： 【详解】方法一：去掉的一行一列的人数为：7×2－1＝13（人） 剩下的人数为：7×7-13＝36（人） 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6×6＝36（人） 去掉的人数为：7×7-6×6＝13（人） 例题4：小宇用棋子摆成一个实心方阵，若要使这个方阵减少一行一列，则要减少13枚棋子。小宇一共摆了多少枚棋子？ 【答案】49枚 【分析】这个方阵减少一行一列，则要减少13枚棋子，每行每列棋子相等，有一个棋子重复，那么13＋1对应一行棋子的2倍，那么每行是（13＋1）÷2＝7（枚），方阵的棋子个数＝每行个数×每列个数。 【详解】原来每行有棋子：（13＋1）÷2 ＝14÷2 ＝7（枚） 7×7＝49（枚） 答：小宇一共摆了49枚棋子。 第三部分 高频真题 1．某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？ 2．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 3．一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？ 4．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树），操场四周栽了多少棵树？ 5．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵? 6．在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？ 7．用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？ 8．小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？ 9．在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？ 10．棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？ 11．某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人．这个小学四年级的学生一共有多少人？ 12．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？ 13．四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵．排列这个方阵共需要多少名同学？ 14．某林场将杨树栽成一个实心方阵，又用桦树围在实心方阵的四周。已知桦树栽了100棵，杨树栽了多少棵？ 15．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度． 16．有一群学生排成三层空心方阵，多人，如空心部分增加两层，又少人，问有学生多少人？ 17．某小学的学生排成一个实心方阵还多7人，如果横、竖各增加一排成为一个大一点儿的实心方阵，那么又差24人。该校有学生多少人？ 18．二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 19．某部队在大操场上进行操练表演，战士们排成一个空心的方阵，最外层有156人，最内层有28人。参加操练的战士共有多少人？ 20．同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学．已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？ 21．同学们排成一个三层的空心方阵．已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？ 22．四年级学生进行队列表演，排成4个每边均为8人的正方形实心方阵，如果每个方阵减少一行一列，总共要减少多少人？还剩多少人？ 23．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？ 24．学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉人，问这个方阵共有多少人？ 25．学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？ 26．运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？ 27．为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？ 28．参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列．如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人．问参加团体操表演的运动员有多少人？ 29．学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 30．校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 31．同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？ 32．军训的学生进行队列表演，排成了一个行列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 33．一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？ 34．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 35．将一个每边枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？ 36．育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学四年级有多少人？ 37．小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在至人之间，你能告诉他到底有多少人吗？ 38．四（2）班的学生进行队列训练，排成一个只有2层的空心正方形。小明清点后发现外层每边有7人，小明很快算出了这个班的人数。这个班一共有多少人？ 39．有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？ 40．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？ 41．学校开展植树活动，如果排成实心方阵，那么树苗将多出27棵，如果每行每列多种1棵，那么树苗将多出8棵。树苗共有多少棵？ 42．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？ 43．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？ 44．啦啦队排成方阵进行表演，最外围的一圈队员有64人，如果在外围再增加一圈队员，需要增加多少人？增加一圈后方阵里一共有多少人？ 45．运动会开幕式上，四年级的运动员排成一个从里到外共有4层而中间空的方阵队列入场，如果最里面一层队列有24人，那么这个队列共有多少人？ 参考答案： 1．人 【分析】根据题意，后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是：（人），因此可以求出总人数：（人）。 【详解】（17＋1）÷2 ＝18÷2 ＝9（人） 9×9＝81（人） 答：现共有战士81人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 2．见详解 【分析】最外圈上下两行各6人，共12人；左右两列各剩4人，共8人。 1个方队举彩旗的同学＝12个人＋8个人＝20个人，4个方队举彩旗的同学＝20×4； 1个方队举花束的同学＝里圈正方形的边长×边长＝16人，4个方队举花束的同学＝16×4。 【详解】如图： 举彩旗：（6×2＋4×2）×4 ＝（12＋8）×4 ＝20×4 ＝80（人） 举花束：4×4×4＝64（人） 答：举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人。 3．144人 【详解】44÷4+1=12（人） 12×12=144（人） 28÷4+1=8（人）     （8-2）×（8-2）=36（人） 144-36=108（人） 4．棵 【分析】因为甲的速度是乙的两倍，乙走了操场的一条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到第5棵树，实际走了4个间隔，那么甲应该走了8个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的第9棵树，所以这一边有树：9＋413（棵）。操场周围的树一共有：（13－1）×448（棵）。 【详解】[（5－1）×2＋1＋（5－1）－1]×4 ＝[4×2＋1＋4－1]×4 ＝12×4 ＝48（棵） 答：操场四周栽了48棵树。 【点睛】本题主要考查了植树问题、方阵问题的数量关系，根据“棵数＝间隔数＋1 ”、“四周人数＝（每边人数－1）×4”解题即可。 5．方阵最外层杨树12棵，柳树12棵; 方阵中共有杨树25棵，柳树24棵或者杨树24棵，柳树25棵. 【分析】根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树.观察图（1）（2）,不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的．因而杨树和柳树的棵数相等．即最外层杨、柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）． 当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵． 【详解】（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2=12（棵） （2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵： 杨树：（7×7+1）÷2=25（棵） 柳树：7×7-25=24（棵） （3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树 柳树（7×7+1）÷2=25（棵） 杨树7×7-25=24（棵） 答：方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵． 6．解：（30﹣5）×5×4+20， =500+20， =520（人）； 或302﹣（30﹣2×5）2+20， =900﹣400+20， =520（人）； 答：这个方块队共由520个同学组成．   【详解】【分析】空心方阵的层数是：10﹣5=5层，根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”算出人数，再加上20即可得出答案． 7．51粒 【详解】24×24=576（粒） 576÷4÷3+3 =48+3 =51(粒) 答:最外层每边棋子数为51粒． 8．11个；个 【分析】首先根据“每边的个数＝总数÷”求出每边的棋子数：（个），根据“每向里一层每边棋子数减少＂，求出从最外面数第二层中每边各有：（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需棋子：（个）。 【详解】40÷4＋1 ＝10＋1 ＝11（个） （11－2）×（11－2） ＝9×9 ＝81（个） 答：最外层每边有11棋子，如果他要把整个棋盘摆满，还需要81棋子。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 9．64人；36人 【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50~100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人。 【详解】10×10＝100（人） 8×8＋6×6 ＝64＋36 ＝100（人） 答：大方阵有64人，小方阵有36人。 【点睛】根据数据多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，熟记一些简单的平方数是解答此题的关键。 10．棋子共有64粒,最外层有28粒 【分析】棋子排成每边8粒的正方形,即每排八粒,共八排,可见棋子总数是8个8粒,即8×8=64粒,最外层的棋子数可按公式:一周总点数=每边粒数×4-4求得. 【详解】8×8=64(粒) 8×4-4 =32-4 =28(粒) 答:棋子共有64粒,最外层有28粒. 11．239人 【分析】排成四层空心方阵多15人，在方阵的空心部分增加一层21人，说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21）人，根据每相邻两层的人数相差8人，可分别求出每层人数，然后相加，再加上多的15人，就可求出四年级的总人数． 【详解】（1）从外向内第五层有：15+21=36（人） （2）从外向内第四层有：36+8=44（人） （3）从外向内第三层有：44+8=52（人） （4）从外向内第二层有：52+8=60（人） （5）最外层有：60+8=68（人） （6）四年级一共有：44+52+60+68+15=239（人） 答：四年级的学生一共有239人． 12．解：8×4﹣4   =32﹣4 =28（盆） 8×8=64（盆） 答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花   【详解】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题． 13．64名 【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数．排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点．求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？ 【详解】8×8=64（人） 答：排列这个方阵，共需要64名同学． 14．576棵 【分析】先通过桦树的数量求出方阵每边的数量，由于方阵四个角的树重复计算，所以要用桦树的棵数先加上4再除以4得到每边桦树的棵数。用每边桦树的棵数减去2棵，即可求出每边杨树的数量，用每边杨树的数量乘每边杨树的数量，即可计算出杨树的总数。 【详解】每边桦树的棵数： （100＋4）÷4 ＝104÷4 ＝26（棵） 每边杨树的棵数： 26－2＝24（棵） 杨树总棵数： 24×24＝576（棵） 答：杨树栽了576棵。 15．1994米 【详解】每队有60000÷25＝2400人，所以每队有2400÷32＝75排，于是每队排排之间有74个间隔，即每队长74×1＝74米． 但是每队之间又间隔6米，25队有24个间隔，即24×6＝144米，那么这只游行队伍的长度为74×25+144＝1994米． 16．人 【分析】增加的两层人数为：（人），这两层人数之差是人，因此最里层有：（人），现在的方阵共层，那么最外层有：（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是人。 【详解】（9＋15－8）÷2 ＝16÷2 ＝8（人） 8＋8×4 ＝8＋32 ＝40（人） 40÷4＋1＝11（人） （11－5）×5×4－15 ＝6×5×4－15 ＝120－15 ＝105（人） 答：有学生105人。 【点睛】找出最外层的人数是解答此题的关键。 17．232人 【分析】根据题意，排成一个实心方阵还多7人，横、竖各增加一排后又差24人，如下图所示： 说明横竖各增加一排需要31人；然后，从31人中减去1人，再除以2，计算出每一行或每一列的人数；最后，用每一行（或每一列）的人乘行数（或列数）求出全校的总人数即可。 【详解】（人） 原方阵中每排人数： （人） （人） 答：该校有学生232人。 18．人 【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，据此即可求出原来一行或一列的人数和参加健美操表演的人数。 【详解】（17－1）÷2 ＝16÷2 ＝8（人） 8×8＝64（人） 答：原来准备参加健美操表演的有64人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 19．1564人 【分析】根据题意，最外层每边有（156÷4＋1）人，最内层每边有（28÷4＋1）人，用最内层每边的人数减2即可求出空心部分最外层每边可以容纳的人数，从大实心方阵可以容纳的人数中减去中间空心部分可以容纳的人数，就是这个中空的方阵实际容纳的人数。 【详解】方阵最外层每边人数：156÷4＋1＝39＋1＝40（人） 方阵最内层每边人数：28÷4＋1＝7＋1＝8（人） 空心部分最外层每边可以容纳的人数：8－2＝6（人） 空心方阵人数：40×40－6×6＝1600－36＝1564（人） 答：参加操练的战士共有1564人。 20．148人 【分析】我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵．女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和． 【详解】先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：108÷4÷3+3=12（人） 因为每向里一层,每条边上的人数就少2，所以： （1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）； （2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）； 女同学总人数为:112+36=148(人)． 21．84人 【分析】要求出这个方阵有多少人，就要先求出这个方阵最外层每边多少．已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人．又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人． 【详解】[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人） 答：这个方阵共有84人． 22．60人；196人 【分析】8人的正方形实心方阵，减少一行一列就是每行个数的2倍减1，因为角上的人数重复一次；再算原来方阵总共人数＝每行人数×每列人数，减去减少的人数即为剩下的人数。 【详解】一行一列的人数：8×2－1＝16－1＝15（人） 减少的总人数：4×15＝60（人） 剩下的人数：8×8×4－60＝256－60＝196（人） 答：总共要减少60人，还剩196人。 23．这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子 【分析】（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数． （2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘层数，再乘4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个． 【详解】（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个） （2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个） 答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子． 24．人 【分析】正方形队列，每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两次，那么现在求每行的人数时就要在里面多加一个。现在每行的人数是：（人），共有：（人）。 【详解】（11＋1）÷2 ＝12÷2 ＝6（人） 6×6＝36（人） 答：这个方阵共有36人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 25．49人 【分析】去掉一行一列时，我们需要思考去掉了几个人，因为是正方形队列，所以每行每列的人数一样多，站在行和列的交点的同学既属于这一行也属于这一列，所以现在求每行（或每列）的人数时需要用13加上1得出两行（或两列）共有14人，再求出1行（或1列）的人数，最后求出总人数即可。 【详解】（13＋1）÷2 ＝14÷2 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：这个方阵共有49人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 26．32人 【详解】9×9＝81（人） （9-2）×（9-2）＝49（人） 81-49＝32（人） 答：要减少32名运动员． 27．人 【分析】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为（10＋6）人，据此即可求出每层每边人数，再求出这个四层方阵的总人数，减去6，就是学生人数。 【详解】中间空心部分加一层，每边有： （10＋6）÷4＋1 ＝16÷4＋1 ＝4＋1 ＝5（人） 四层方阵有： （4＋6＋8＋10）×4 ＝28×4 ＝112（人）； 一共有学生： 112－6＝106（人） 答：一共有106个学生参加排练。 【点睛】解答此题的关键是，找出新增加的这一层是多少人。 28．289人 【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数． 【详解】去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17人，方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17＝289（人）． 29．256人 【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数．根据四周人数和每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了． 【详解】方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 30．10人；人 【分析】根据“每边人数＝四周人数÷4＋1”，求出最外层每边人数；再根据“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”，求出这个方阵共有三年级学生的人数。 【详解】36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10（人） 10×10＝100（人） 答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有三年级学生100人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 31．77人 【分析】根据题意先分别算出每行和每列的人数，即是做操队列的列数和行数，再相乘，就是做操的同学共有的人数。 【详解】4＋6＋1＝11（人） 5＋3－1＝7（人） 11×7＝77（人） 答：做操的同学一共有77人。 【点睛】找出这个队列的行数与列数是解答此题的关键。 32．人 【分析】一行一列各人，顶点处重复；因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉。据此解题即可。 【详解】5×2－1 ＝10－1 ＝9（人） 答：要去掉9人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意顶点处的重复现象。 33．40只 【分析】先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正方形每边的棋子数． 【详解】纵横方向各增加一层，所差棋子只数是：4＋9=13(只) 若棋子增加9只后，则正方形每边棋子只数是：(13+1)÷2=7(只) 原来棋子只数是：7×7-9=40(只) 答：有棋子40只． 34．方阵最外层每边的人数是6人，整个方阵共有36人 【分析】根据四周人数与每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了． 【详解】（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人） （2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人） 35．个 【分析】棋子总数为：（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×，所以，每边个数＝空心方阵总个数÷层数÷＋层数，得出最外层每边有枚棋子。 【详解】16×16÷4÷4＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 答：此空心方阵的最外层每边有20个棋子。 【点睛】熟记：空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×，是解答此题的关键。 36．230人 【分析】排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数．因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人． 【详解】（1）原来方阵中每排有：（5+26-1）÷2=15（人） （2）四年级共有：15×15+5=230（人） 答：育英小学四年级有230人． 37．人 【分析】方阵总人数的特点：它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是：总数是从开始若干个连续自然数的和，我们只要在的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数。由于队伍可以排成方阵，在至人的范围内人数可能是：6×6＝36（人），或是：（人），又因为： 36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，所以总人数是36人。 【详解】根据分析可知： 6×6＝36（人），36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，符合题意； 7×7＝49（人），49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，不符合题意，舍去。 答：这个体操表演队伍有36人。 【点睛】解答此题的关键是，理解方阵和正三角形实心队列的特征。 38．40人 【分析】根据题意，先用（7－1）×4求出最外层的人数，排成一个只有2层的空心正方形，所以最内层比最外层少（2×4）人，用外层人数减去少的人数即为内层人数，最后将外层和内层的人数相加即可求出这个班一共有多少人。 【详解】外层人数：（7－1）×4＝6×4＝24（人）     内层人数：24－（2×4）＝24－8＝16（人）     两层总人数：16＋24＝40（人） 答：这个班一共有40人。 39．方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人 【分析】（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10×10=100，所以最外层每边有10人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数=（每边的人数﹣1）×4”解答； （2）由于方阵相邻两层每边相差2人，相邻两层人数相差8人，所以用最外层的人数减去8即得从外向里算起的第二层有多少人； （3）这个实心方阵的最里层有4人，用4+8+8即得从里向外算起的第三层有多少人． 【详解】（1）最外层：（10﹣1）×4=36（人）， （2）从外向里算起的第二层：36﹣8=28（人）， （3）从里向外算起的第三层：4+8+8=20（人） 答：这个方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人． 40．人；人 【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要：（人），因此向外三层的每层人数都可以求出。从内向外每层人数依次是：第一层：（人），第二层：（人），第三层：（人），总人数：（人），因为，所以排成实心方阵每边有人。 【详解】（16＋28＋8）＋（16＋28＋2×8）＋（16＋28＋3×8）＋16 ＝52＋（16＋28＋16）＋（16＋28＋24）＋16 ＝52＋60＋68＋16 ＝196（人） 196＝14×14 答：这队战士共有196人，如果他们改成实心方阵，每边应有14人。 【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此求出总人数即可解题。 41．108棵 【分析】排成一个实心方阵还多27棵，每行每列多种1棵还多8棵，说明把27棵树苗补充到横竖各增加一排，还剩下8棵，也就是说横竖各增加一排需要19棵；然后，从19棵中减去1棵，再除以2，计算出每一行或每一列的棵数；最后，用每一行（或每一列）的棵数乘行数（或列数）求出树苗的总数即可。 【详解】（棵）     原方阵中每排棵数： （棵）     树苗总棵树： （棵）   答：树苗共有108棵。 42．5层，160人 【详解】（48-16）÷8+1＝5（层） （48+16）×5÷2＝160（人） 答：这个方阵有5层，一共有160人． 43．144盆 【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆．这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数．因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆． 答：一共摆了144盆． 44．72人；361人 【分析】根据四周人数＝（每边人数－1）×4，即每边人数＝四周人数÷4＋1，代入数值求出原来每边的人数，在外围再增加一圈队员，也就是外圈比里面的一圈每边增加2人，即用算出的每边人数加上2，为再增加一圈后的外围单边人数，根据四周人数＝（每边人数－1）×4可求出这时最外圈的人数，即为新增加的人数；该方阵为实心方阵，所以总人数＝每边人数×每边人数，代入数据即可。 【详解】由分析可得： 64÷4＋1 ＝16＋1 ＝17（人） 17＋2＝19（人） （19－1）×4 ＝18×4 ＝72（人） 19×19＝361（人） 答：需要增加72人，增加一圈后方阵里一共有361人。 【点睛】本题属于封闭型植树问题，熟练掌握方阵一圈人数和每边人数的关系。 45．144人 【分析】在方阵中，因为任意相邻两边的外层每边人数总比内层每边人数多2，所以外层的四周人数总比相邻的内层四周人数多2×4＝8（人）。 从里往外计算： 第1层：24人。 第2层：24＋8＝32（人）。 第3层：32＋8＝40（人）。 第4层：40＋8＝48（人）。 【详解】24＋8＝32（人） 32＋8＝40（人） 40＋8＝48（人） 24＋32＋40＋48 ＝56＋40＋48 ＝96＋48 ＝144（人） 答：这个队列共有144人。 学科网（北京）股份有限公司 $$