小升初典型奥数：比例问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学通用版

比例问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一．比的应用 【知识点归纳】 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 二．正、反比例 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值一定，正比例关系可以用式子表示为：y＝kx． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积一定，反比例的关系可以表示为：xy＝k． 三．按比例分配 【知识点归纳】 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 四．按比例分配应用题 把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配． 解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生坐大巴，乙、丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，如果三个班的学生同时到达，求这些学生到达终点一共所花的时间． 【答案】小时 【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．由于题目条件只涉及速度和总路程，所以如果要求出时间必须首先将速度和路程对应起来，即明确学生或者大巴车的行程路段，因此我们应该画出整个行程过程的线段示意图． 如图所示：虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点D到出发点A的距离是乙班学生搭车前步行距离AB的（11+1）÷2=6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离AB看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离AD为6份，大巴车第一次折返点D到接到乙班学生B又行驶了5份距离，同样的大巴车在B点接到乙班学生到在E点追上甲班学生所走的路程也应该是6份距离，而从E点回来到C点接到丙班的距离为5份，大巴车从C点到终点F的距离为6份，这样大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为6-5+6-5+6=8份，所以大巴车一共行驶了8÷8×28=28（千米），所花的总时间为28÷55=小时． 例题2：甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度 减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4.8＝5∶6。相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1－＝没有走，所以A、B全长为450千米。 【详解】[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）] ＝[5×0.8]∶[4×1.2] ＝4∶4.8 ＝5∶6 1－＝ 10÷＝450（千米） 答：A，B两地相距450千米。 【点睛】关键是确定相遇后的速度比，综合运用所学知识。 例题3：参加植树的同学共有人，已知六年级与五年级人数的比是，六年级比四年级多人，三个年级参加植树的各有多少人? 【答案】300 200 220 【详解】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有人，四、五、六三个年级的人数比为，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数．六年级：人；五年级：人；四年级：人． 例题4：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米．问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【答案】11千米 【详解】三种相遇方式两人行程距离，行程时间都不相同，所以应该将其中一项化为相等． 当乙每小时多行4千米时，5小时可以多行20千米，所以当两人相遇后继续向前走，5小时的时候甲可以走到C点，乙可以走过了C点20千米．相遇点D距C点10千米，因此两人相遇后各走了10千米，所以甲乙二人速度相等，即原来甲比乙每小时多行4千米．同理，当甲每小时多行3千米，则5小时可以多行15千米，所以当两人相遇后继续向前走，5小时的时候乙可以走到C点，甲可以走过了C点15千米．而相遇点E距C点5千米，因此两人相遇后甲走了10千米，乙走了5千米．甲、乙两人的速度比为2：1． 于是题目就化为一道简单的差倍问题． （4+3）÷（2-1）+4=11（千米/小时） 所以甲原来的速度是每小时11千米． 【点睛】此题事实上利用了假设法：假设两人相遇后继续相前走，由于时间一样，利用两人前后的路程差与速度成正比得出两个速度关系，然后利用差倍问题或按比例分配得出最后答案． 第三部分 高频真题 1．甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节余480元．甲本月收入多少元？ 2．王晓峰的书架有上、中、下三层．上层存书本数与存书总数的比是5：21．如果从下层拿18本书放到上层，则每层书架的存书本数相等．这个书架共有存书多少本？ 3．某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？ 4．一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？ 5．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 6．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 7．分子、分母之和为23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是，原来的分数是几分之几？ 8．有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？ 9．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 10．枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？ 11．甲骑车自A向B驶去，2小时后，乙步行由A向B走去，乙走出2小时后甲到B，此时乙距B地32千米；甲在B休息2小时30分钟又原路返回，经过1小时与一直步行向B走的乙相遇，问此时乙距B地多少千米？ 12．一架飞机从甲城飞往乙城，每小时飞行800千米．返回时，每小时飞行速度减慢到700千米，比去时多用了0.3小时．甲、乙两城相距多少千米？ 13．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进，A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进，B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？ 14．在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，那么，自动扶梯不动时从下到上要走多少级？ 15．六年级数学兴趣小组男、女生人数的比是4∶5，转来2名女生后，兴趣小组男生人数恰好是女生人数的，现在兴趣小组一共有多少人？ 16．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米．当乙车行至全程的时，甲车距中点还有24千米，A、B两地相距多少千米？ 17．、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；若将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满。求、、三个水桶容积各是多少公升？ 18．张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？ 19．一个正方形的一边减少，另一边增加 米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米？ 20．甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长． 21．师徒两人一直加工200个零件，师傅加工一个零件要用3分钟，徒弟加工一个零件要用5分钟．试问，当完成任务时，两人各加工多少个零件？ 22．甲容器中有纯酒精11升，乙容器有水9升．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器．这样，甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ 23．在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占、和，已知三缸酒精溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？ 24．一个周长是厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形。在图⑴中小长方形面积的比是，。而在图⑵中相应的比例是，。又知长方形的宽减去的宽所得到的差与的长减去的长所得到差之比为。求大长方形的面积。 （1） （2） 25．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 26．加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 27．有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？ 28．如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 29．某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？ 30．大巴和轿车都从A地出发驶向B地，大巴与轿车的速度之比为5∶6。大巴比轿车早出发18分钟，但在AB的中点C处停留了8分钟，轿车则不停的驶向B地。如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地。 （1）轿车出发多少分钟后追上大巴？ （2）如果轿车追上大巴后，速度增加，且轿车到达B地后立即原路返回A地，当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几？ 31．甲、乙两仓库共存粮600吨，甲仓库的存粮比乙仓库少，求甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 32．学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的．这三个年级各有多少名学生？ 33．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟．求甲乙两地之间的路程？ 34．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离． 35．甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时．已知甲车每小时比乙车快35千米．A、B两个城市间的公路长多少千米？ 36．有一个长方体，长与宽的比是，宽与高的比是。已知这个长方体的全部棱长之和是厘米，求这个长方体的体积。 37．有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．表面积为，求这个长方体的体积. 38．A、B两地间有一座桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则A、B两地相距多少千米？ 39．甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比. 40．总路程是50千米，上坡、平路、下坡的路程比为1：2：3，行各段的时间比4：5：6，上坡速度是3km/h，求行完全程的时间． 41．在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少？ 42．如图3所示，甲齿轮有60个齿，乙齿轮有36个齿，为了使甲轮转动15圈带动乙轮转动8圈，在甲、乙齿轮间连接一个丙齿轮．丙齿轮是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮．丙轮上大轮与甲轮啮合，小轮与乙轮啮合，求丙轮上大、小齿轮数最少应分别是多少？ 43．甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行的速度都是每小时4千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米？ 参考答案： 1．600 【详解】甲、乙本月收入的比是，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是．如果乙节余480元，甲节余元，那么两人支出的钱数之比也是，现在甲只节余240元，多支出了60元，结果支出的钱数之比从变成了(即)，所以这60元就对应份，那么甲支出了元，所以甲本月收入为元． 2．189本 【详解】18÷（-）=189（本） 3．24% 【分析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖。由③知两校获二等奖的共有（人）；由⑤知甲校获二等奖的有（人）；由④知甲校获一等奖的有（人），那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为。 【详解】解：设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖。 两校获二等奖：（60＋50）×20% ＝110×0.2 ＝22（人） 甲校获二等奖：22÷（4.5＋1）×4.5 ＝22÷5.5×4.5 ＝4×4.5 ＝18（人） 甲校获一等奖：60－60×50%－18 ＝60－30－18 ＝12（人） 12÷50×100%＝24% 答：乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数是24%。 【点睛】此题主要运用了百分数的应用，学生认真仔细，逐一计算。 4．140厘米 【详解】如果只将长边截去，宽、长之比为，所以宽边的长度为（厘米），所以原来铁板的长为（厘米）。 答：原来长方形铁板的长是140厘米。 5．27.5元 【详解】解法一：设每种糖果所花钱数为1． 平均价是：=27.5（元） 答：这些糖果每千克平均价是27.5元． 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易．最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有： =27.5（元） 解法二：先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 平均数是（15+11+10）÷3=12. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是33×=27.5（元） 6．30∶25∶26 【详解】略 7． 【详解】分子=（23+19）×=7， 分母=（23+19）×=35， 原来的分数是=，　 答：原来的分数是． 8．96 【详解】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的，即，钢材底面积就是水桶底面积的．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍． 6÷()=96(厘米)，(法2)：3．14×20×6÷(3．14×5)=96(厘米)． 9．吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。 10．3.08元 【分析】由题意可知，所有的硬币共有124枚，然后求出把124枚硬币总共分成了多少份， 也就是要求出壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比，因为壹分硬币和贰分硬币的数量比为，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 ，化为三联比后为壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比，从而可以求出总份数，以及每种硬币所占的比重。据此可解答。 【详解】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 ，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为，即 ，因此壹分硬币的数量为枚，贰分硬币的数量为 枚，伍分硬币的数量为枚，这些硬币一共有分，即币值为 元。 【点睛】本题考查按比分配，明确总份数以及每种硬币所占的比重是解题的关键。 11．11千米 【详解】甲走完全程需要4小时，乙走5.5小时的路程与甲走1个小时的路程之和也等于一个全程． 所以甲走3个小时的路程等于乙走5.5小时的路程． （4-1）÷5.5=，即乙的速度是甲的速度的．甲每小时行全程的，所以乙每小时行全程的，乙两个小时行驶，距B地还有全程的． 所以全程为：（千米） 甲的速度是：（千米/小时） 所以相遇时乙距离B地11千米． 12．1680千米 【详解】往返的速度比是800:700=8:7，往返的时间比=7:8； 0.3÷（8-1）×7×800=1680（千米） 13．280千米 【分析】题目给出的距离信息只有200千米这一条，所以我们应当求出200千米对应的路程比。如果A车没有停半小时，那么它将比C车晚到1.5小时，因A车后来的速度是C车的，所以A车和C车相同路程行程的时间比为5∶4，即C车每行驶4小时就比A车快1小时，所以C车快了1.5小时，说明C车后来行了1.5×4＝6（小时）．那么从甲市到乙市C车行了6＋1＝7（小时）。同样如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，而此时B车和C车在相同路段行程的时间比也是5∶4，说明C车后来行了0.5÷（5－4）×4＝2（小时），这段路是甲、乙两市距离的。所以B车出事故时，已经行驶了整个路程的。用200除以即可得解。 【详解】1.5×4＋1 ＝6＋1 ＝7（小时） 0.5÷（5－4）×4 ＝0.5÷1×4 ＝2（小时） 1－2÷7 ＝1－ ＝ ＝200× ＝280（千米） 答：甲、乙两市之间的距离为280千米。 【点睛】此题已知条件为速度比例和时间差，也符合“比例＋两者之一或两者和与差”的出题模式，所以利用“比例转化＋按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”的解题模式，注意此题中的时间差计算时要扣除停留的时间，注意加减关系。 14．30级 【详解】向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，60÷80=3/4，这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层总高度的3/4．则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是3/4：(1-3/4)=3：1，即甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等．向下走速度向上走速度的1/3，所用时间为向上走的3倍，则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的3倍.因此甲向上走了80÷(3+1)=20级台阶．甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲走20级台阶的同时自动扶梯向上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走20+10=30级台阶． 15．2名女生是男生人数的：－＝男生有：2÷＝24(人) 兴趣小组的总人数：24×(1＋)＝56(人)． 【详解】由题意可知，女生比原来增加了2人，男生人数没有变化．因此，可以把男生人数看作单位“1”，根据题意可知，原来女生人数是男生的，转来2名女生后，女生人数是男生人数的．由此可得出2名女生是男生人数的几分之几，因此就可以把男生的人数求出来，最后求出兴趣小组的总人数． 16．240千米 【分析】因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙速度比，可推知路程比，根据乙行了全程的，可以求出甲行了全程的几分之几，再根据甲车距中点24千米，即与全程的的差是24千米．最后可求出A、B两地相距多少千米． 【详解】甲车速度：乙车速度=48:42=8:7 甲车路程：乙车路程=8:7 甲行的路程：×= 全程：24÷（－）=240（千米） 答：A、B两地相距240千米． 17．480公升；400公升；560公升 【分析】根据题意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水为桶水的。据此确定三个水桶容积之比，根据按比例分配问题的解题方法进行计算。 【详解】、、三个水桶的容积之比是。 桶的容积：（公升） 桶的容积：（公升） 桶的容积：（公升） 答：A桶容积是480公升，B桶容积是400公升，C桶容积是560公升。 【点睛】关键是确定三个水桶容积之比，掌握按比例分配应用题的解题方法。 18．张家收入720元，李家收入450元 【详解】解一：我们采用“假设”方法求解. 他们开支的钱数之比也是8∶5，结余的钱数之比也是8∶5时，张家结余240元，李家应结余x元.有 240∶x=8∶5，x=150（元） 实际上李家结余270元，比150元多120元．这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60（元） 因此，张家开支：60×8=480（元）  收入：480+240=720（元） 李家开支：60×3=180（元）  收入：180+270=450（元） 答：张家收入720元，李家收入450元. 解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多. 我们画出一个示意图： 张家开支的3倍是（8份-240）×3. 李家开支的8倍是（5份-270）×8. 从图上可以看出，5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）. 因此每份是1440÷16=90（元）. 张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）. 答：张家收入720元，李家收入450元. 19．8米 【分析】将一个正方体一边减少20%，要使面积不变，另一边需要增加1÷（1－20%）－1＝25%，所以增加的2米是原边长的25%，用2÷25%即可求出原边长。 【详解】1÷（1－20%）－1 ＝1.25－1 ＝25% 2÷25%＝8（米） 答：原正方形的边长是8米。 【点睛】解答此题的关键是求出增加的2米占原来长度的几分之几，从而求出正方形的边长。 20．44厘米 【详解】两只蚂蚁在距点厘米的点相遇，说明乙比甲一共多走了(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，所以甲爬的路程是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)， 长方形的周长为(厘米)。 21．师傅：125个   徒弟：75个 【分析】由已知，师傅加工一个零件用3分钟，那么他每分钟可以加工个零件；徒弟加工一个零件要用5分钟，所以他每分钟可以加工个零件．从而师徒二人的工作效率之比为．在本题中，师徒二人的工作时间一样，是题中的不变量，由，所以工作量和工作效率成正比例关系． 【详解】解法一：由于师徒两人工作效率的比是．在本题中，所以他们的工作量之比也是．因此师傅加工的零件个数是，徒弟加工的零件个数是200-125=75（个）． 解法二：设师傅加工x个零件，则徒弟加工（200-x）个零件．当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例的关系，得 解法三：因为师傅每分钟加工个零件，徒弟每分钟加工个零件，所以每分钟师徒二人可加工个零件，因此当完成任务时，师徒二人所用的时间是． 师傅每分钟加工个零件，因此最终师傅加工的零件数是，徒弟加工的零件数是200-125=75（个）． 22．8升 【分析】本题的关键在乙容器．第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中，并不改变乙容器中酒精纯度．这是问题解决的突破口．由题意，“乙容器中纯酒精的含量即为25%”． 由此可知：第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器，乙容器中酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3 原来乙容器有水9升，可以知道第一次甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3（升），因此甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3． 把这时甲容器的液体看成两部分：一部分是原来的8升纯酒精；另一部分是从乙容器倒过来的混合液．由乙容器中酒精与水的比为1∶3，便可以求出混合液的体积． 【详解】解法一：由已知，第一次和第二次乙容器中酒精含量都为25%，故乙容器酒精与水的比为25%∶（1-25%）=1∶3，从而第一次从甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3（升）． 甲容器剩下的酒精为11-3=8（升）． 第二次倒后，甲容器中酒精与水的比为62.5%∶（1-62.5%）=5∶3． 设倒过来的这部分混合液中的酒精为1份，水看成3份，与混合后甲容器中纯酒精与水的比例5∶3比较知：8升酒精是5-1=4（份），混合液是1+3=4（份）或（3+5）-4=4（份）． 再由8升纯酒精是4份，反过来4份混合液是8升． 解法二：与解法一相同，可知乙容器中纯酒精与水的比是1∶3；甲容器中的纯酒精与溶液重量的比是5∶8．设第二次从乙容器中倒入甲容器中的混合液是x升，依题意，列出方程 答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是8升． 【点睛】找到乙容器酒精含量在第一次和第二次倒的过程中不变这一突破口；对于几分之几，要把它化成几份对几份．这种技巧类似于分数应用题和工程应用题中的假设单位1． 23．12千克 【详解】解法一：设丙缸酒精溶液的重量为千克，则乙缸为千克．根据纯酒精的量可列方程： ， 解得，所以丙缸中纯酒精的量是(千克)． 解法二：由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为． 那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有千克，丙缸中纯酒精的量是(千克)． 24．160 【分析】根据比的基本性质找到A与C的面积之比，A，与C，的面积之比，因为A与C的宽相等，A，与C，的宽相等，所以它们各自的长之比就等于面积之比；长方形 D' 的宽减去 D 的宽所得到的差与 D' 的长减去 D 的长所得到差之比为 1∶3 ，列出方程解答即可。 【详解】因为，，所以； 因为，，所以， 设长方形的宽为，长为，得：。 得。又，所以，。 所以长方形面积。 答：大长方形的面积是160。 【点睛】本题考查列比列解决问题、长方形，解答本题的关键是找到数量关系式，列比例解决问题。 25．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 26．1400个；1200个；1050个 【详解】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是，所以甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件。 27．4支 【分析】由于每个队的女队员人数是该队男队员人数的，所以原来全体女队员人数是全体男队员人数的，即原来女队员人数是全体队员人数的 ，当第一队调走一半队员，且全是男队员后，女突击队人数是剩下的全体男突击队员人数的，即总数的 ，这一过程中女队员人数没有发生变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比是 ∶ ＝7∶8，即调走的队员人数占总数的，而调走的队员人数占第一突击队的，且原来每支突击队的总人数相同，所以共有＝4支突击队。 【详解】原来女队员人数是全体队员人数的 ＝ ； 当第一队调走一半队员，女突击队人数是剩下总数的 ＝ ； 调走后的队员总数与调走前的队员总数之比是 ∶ ＝7∶8， 则共有： ÷ ＝ ＝4（支） 答：共有4支突击队。 【点睛】首先根据这一过程中女队员人数没有发生变化，根据前后女队员人数占总人数的分率求出前后总人数的比是完成本题的关键。 28．2690米 【分析】相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5︰6，所以所花时间的比为6∶5。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来单位时间行程V甲，由题意得：从A点到相遇点路程为40×6＝240，所以 V乙＝（490－50－240）÷6＝（米）。然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题。 【详解】以速度变化前后的比为1∶（1＋20%） ＝5∶6 所以所花时间比为6∶5 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意的： 6V甲＋5×V甲×（1＋25%）＝490 6V甲＋5×V甲×1.25＝490 6V甲＋6.25V甲＝490 12.25V甲＝490 V甲＝490÷12.25 V甲＝40（米） 从A点到相遇点路程为：40×6＝240（米） 所以V乙为：（490－50－240）÷6 ＝（440－240）÷6 ＝200÷6 ＝（米） 两人速度变化后，甲的速度为：40×（1＋25%） ＝40×1.25 ＝50（米） 乙的速度为：×（1＋20%） ＝×1.2 ＝40（米） 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行了一圈，所以甲一共跑了： 490÷（50－40）×50＋240 ＝490÷10×50＋240 ＝49×50＋240 ＝2450＋240 ＝2690（米） 答：甲一共跑了2690米。 【点睛】本题属于环形跑道问题，有一定难度，应认真分析，求出甲乙二人速度变化前后的速度就解答本题的关键。 29．74吨；37吨 【分析】本题可以理清题中数量关系，用方程方法求解；也可以用比例的方法分析求解。 【详解】法一： 解：设原来苹果有吨，则原来桃子有吨，得： 解得 所以原有苹果37吨； 原有桃子(吨) 答：原来苹果有37吨，桃子有74吨。 法二：原来苹果和桃子的吨数的比是，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是，剩下的桃子是，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是，先售出桃子12吨，苹果吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是，再售出吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为，所以这相当于份，最后剩下的桃子有吨，那么第一天后剩下的桃子有吨，原有桃子吨，原有苹果吨。 答：原来苹果有37吨，桃子有74吨。 【点睛】本题较为复杂，要仔细分析数量间的等量关系。 30．（1）50分钟；（2） 【分析】（1）通过题意可知，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，大巴车不停地驶向B地，已知如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地，则同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5，所以大巴车所花时间比轿车多花（6－5）份时间，据此根据比的应用，用（18－8＋2）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出6份和5份，也就是大巴与轿车分别行驶完全程需要的时间，轿车追上大巴时，大巴已离开C地，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，大巴与轿车的时间之比是6∶5，也就是两车的时间差是（6－5）份，根据比的应用，用（18－8）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出5份，也就是轿车追上大巴车需要的时间。 （2）把全程看作单位“1”，已知轿车出发追上大巴车时需要50分钟，而轿车行驶完全程需要60分钟，所以用50÷60即可求出轿车追上大巴车时行驶了全程的几分之几，也就是，剩下全程的（1－），也就是；如果轿车追上大巴后，速度增加，轿车现在的速度是原来的（1＋），据此可知大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]，也就是5∶7，根据时间相同，速度比＝路程比，可知大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程∶轿车开始增速到与大巴车相遇所行驶的路程＝5∶7，此时从增速到相遇时，两车的路程和占全程的2个，据此按比分配，用×2÷（5＋7）即可求出每份是多少，进而乘5即可求出大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的几分之几；再加上即可求出当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几。 【详解】（1）同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5， （18－8＋2）÷（6－5） ＝12÷1 ＝12（分钟） 大巴行驶完全程需要：12×6＝72（分钟） 轿车行驶完全程需要：12×5＝60（分钟） 轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟， （18－8）÷（6－5）×5 ＝10÷1×5 ＝50（分钟） 答：轿车出发50分钟后追上大巴。 （2）轿车追上大巴时，行驶了全程的50÷60＝ 剩下1－＝ 大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]， 5∶[6×（1＋）] ＝5∶[6×] ＝5∶7 时间相同，速度比＝路程比， 大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的： ×2÷（5＋7）×5 ＝×2÷12×5 ＝÷12×5 ＝××5 ＝ 当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的： ＋＝ 答：当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的。 【点睛】本题主要考查了较复杂的行程问题，明确路程相同，速度比等于时间的反比以及时间相同，速度比等于路程比是解答本题的关键。 31．甲仓库250吨，乙仓库350吨 【分析】根据题目中的“甲仓库的存粮比乙仓库少”，可以把甲、乙存粮用份数表示，乙仓库的存粮是7份，那么甲仓库的存粮就是（7－2）份，由此我们就可以根据按比例分配的知识，把600吨按5：7分配，就可以求出来甲、乙两仓库原来存粮的吨数． 【详解】解：甲：乙=（7－2）：7=5：7 每份数：600÷（5+7）=50（吨） 甲仓库存粮的吨数：50×5=250（吨） 乙仓库存粮的吨数：50×7=350（吨） 答：甲仓库存粮250吨，乙仓库存粮350吨． 32．180名；225名；210名 【详解】将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为，所以六年级学生人数为=180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人 33．160千米 【分析】因为汽车从甲地开往乙地又从乙地返回甲地，所走距离相同，所以时间比=速度的反比．据此可得，去时所用时间：返回所用时间=50:40=5:4. 去时所用时间为5份，返回所用时间为4份．去时所用时间比返回所用时间进多一份是48分钟，进而可得去时的时间为：48×5=240分钟=4小时；甲乙两地之间的路程为：4×40=160千米 【详解】去时所用时间：返回所用时间=50:40=5:4 去时所用时间：48×5==240（分钟）=4（小时） 甲乙两地之间的路程：4×40=160（千米） 34．176千米 【分析】甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6：5，相遇时甲车和乙车行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米，A、B两地的距离就是11×16=176千米． 【详解】2×8×（6+5）=176(千米) 答：A、B两地相距176千米． 35．840千米 【详解】35×2×（8+4）=840（千米） 【点睛】把“两车同时从A、B两城市出发，相向而行，8小时相遇，相遇后甲车继续行驶了4小时到达B地”转化成“甲、乙两车行驶相同的路程所用的时间比是1:2”，再将它转化成“甲、乙两车行驶的速度比是2:1”．这样就可以先求出甲车的速度，再求出两地相距的路程． 36．4500立方厘米 【分析】将宽与高的比的前项变成1，那么后项就是 ，所以长方体的长、宽、高的比是6：3：2，而长方体的棱长之和＝（长方体的长＋长方体的宽＋长方体的高）×4，那么长方体的长＋长方体的宽＋长方体的高＝220× ＝55厘米，然后根据长、宽、高占着三条边之和的几分之几，可以求得长、宽、高的值，再根据长方体的体积＝长×宽×高，作答即可。 【详解】由条件宽与高的比为，所以这个长方体的长、宽、高的比为2：1： ＝6：3：2 由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有条， 所以长方体的长为厘米； 宽为厘米； 高为厘米； 所以这个长方形的体积为立方厘米。 答：这个长方体的体积是4500立方厘米。 【点睛】此题解答关键是利用按比例分配的方法求出长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行解答。 37．36cm³ 【详解】由条件长方体的长、宽、高的比，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为，前面的面积为，左面的面积为，而，所以即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为． 38．72千米 【详解】三种方式相遇所行的路程都相等，典型的由时间比化速度比的题目，求出了速度再求总路程就简单了． 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的． 在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5＝2.5（小时），两次相遇时间比为3：2.5，路程一样，所以甲的速度成反比为2.5：3=5：6，又速度增加2千米每小时，所以甲原速为2÷（6－5）×5=10（千米/小时）． 在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5＝3.5（小时），与第一种情况相比较，两种相遇时间比为3：3.5，路程一样，所以乙的速度成反比为3.5：3=7：6，又速度减少2千米每小时，所以乙原速为2÷（7－6）×7=14（千米/小时）． 这样就可以求出A 、B两地的距离为（10＋14）×3＝72（千米）． 39．864∶875 【详解】略 40． h 【详解】总路程等于50，上坡、平路、下坡路程的比为1：2：3，所以上坡路程为 千米．又因为上坡速度为3km/h，所以上坡时间 （h） 又因为各段时间比为4：5：6，所以总时间为 （h） 答：总时间为h 【点睛】行程问题、比例问题 41．108级 【详解】解法一：小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍，而小明下楼梯跨了120级，上楼梯跨了90级，所以小明下楼和上楼所花的时间比为： 自动楼梯在相同的时间内运行相同的级数，假设在小明下楼梯过程中，自动楼梯运行了2x级，自动楼梯可见部分为：120-2x，而在小明上楼的过程中，自动楼梯运行了3x级，所以自动楼梯可见部分为：90+3x，由此可列得方程：120-2x=90+3x 解得x=6， 自动楼梯的可见台阶数为．120-6×2=108． 解法二：使用图示可将问题中的数量关系表示出来：将小明上楼期间自动扶梯上行台阶数看作2份，那么小明下楼期间，自动扶梯上行3份，那么5份的台阶数相当于120-90=30份．所以每份的台阶数为6，自动楼梯从底到顶的台阶数为90+6×3=108． 【点睛】 42．大小齿轮齿数最少要分别是25齿和8齿 【详解】记丙轮上大、小齿轮数分别为，甲转动15圈时丙轮所转的圈数为，由齿数与转数成反比，有．即 化为连比 所以 因此大小齿轮齿数最少要分别是25齿和8齿． 43．2千米 【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系． 由于两班速度相同，所以要使时间最少，必须同时出发，同时到达，因此行走的路程要相同，即AD=CB，画图如下： 在某一班行走BC的时间内，车行走的路程就是C—A—B，即CB+BA+AB，这样得出CB︰（CB+BA+AB）=4︰48=1︰12 该比例式可以化为：CB︰BA=1︰=1︰5.5 所以CB和总路程的比为1︰（1+5.5+1）=1︰7.5=2︰15 CB的长度为（千米） 所以每个班步行的距离为2千米． 【点睛】此题的解决主要有两个关键点： 1，两个班的行走路程一样． 2，找出步行与汽车在相同时间内行走的路程，根据路程与速度成正比的关系得出相应路程的比例关系，最终求出答案． 学科网（北京）股份有限公司 $$