第1章 集合与常用逻辑用语（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修第一册）

第1章 集合与常用逻辑用语（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 知识点1：集合的含义 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 知识点2：集合的元素 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合的表示方法 (1)自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合， （2）用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法 （3）用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． （4）图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部表示集合.集合{12}用图示法表示如图所示 3.集合的分类 按集合中元素个数的多少,可将集合分为有限集和无限集.(1)有限集:含有有限个元素的集合.例如,集合 A={a,b,c}是有限集. (2)无限集:含有无限个元素的集合.例如,所有自然数组成的集合是无限集. 知识点4：Venn图 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. (1)表示集合的 Venn 图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线; (2)用Venn图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显 知识点5：子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 知识点6：集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 知识点7：真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 子集、真子集个数的确定 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点8：空集的含义 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集． 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 知识点9：并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 知识点10：交集 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 知识点11：全集与补集 1.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 2．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 知识点12：充分条件与必要条件 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 二、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 三、从不同角度理解充分条件、必要条件和充要条件 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点13：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点14：存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 知识点15：全称量词命题和存在量词命题的否定 一、全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，﹁p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 二、存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 1、 数形结合思想 【例题1】（多选）（2023秋•无锡期末）已知全集为，则如图阴影部分表示正确的为　　 A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2023秋•淄博期末）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为　　 A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 2、 分类讨论思想 【例题2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，且，则实数的取值范围是 【变式1】已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【变式2】.集合且，用列举法表示集合________ 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 3、 补集思想（逆向思维） 【例题3】.设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 【变式】.已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 4、 转化与化归思想 【例题4】（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 1、 集合的含义与表示 【例题1】（全国·高考真题）已知集合,则中所含元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（山东·高考真题）设集合,则集合中元素的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（广东）在集合，，，上定义两种运算⊕和如下： 那么⊕　　 A． B． C． D． 【变式3】（江西·高考真题）若集合中只有一个元素，则=（ ） A．4 B．2 C．0 D．0或4 2、 集合间的基本关系 【例题2】（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【变式1】（2020·浙江·高考真题）已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 【变式2】（全国·高考真题）设集合，．若，则       (　  　) A． B． C． D． 【变式3】（湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3、 集合的基本运算 【例题3】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4、 充分条件与必要条件的判断 【例题4】（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式2】（湖南·高考真题）若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3】（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、 全程量词命题和存在量词命题 【例题5】（四川·高考真题）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） A．﹁p：∃x∈A，2x∈B B．﹁p：∃x∉A，2x∈B C．﹁p：∃x∈A，2x∉B D．﹁p：∀x∉A，2x∉B 【变式1】（湖北·高考真题）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【变式2】（安徽·高考真题）命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A．对任意实数x, 都有x > 1 B．不存在实数x，使x1 C．对任意实数x, 都有x1 D．存在实数x，使x1 【变式3】（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 1、数学抽象 （1）新定义中的“概念”问题 【例题1】（2023秋•鼓楼区校级月考）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合，23，81，153，254，，是自恋数，则的真子集个数为　　 A．7 B．15 C．31 D．63 【变式1】（2023秋•江阴市校级期中）用（A）表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 （2） 新定义中的“运算”问题 【例题2】（2023秋•新吴区校级月考）已知集合，，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为　　 A．3 B．4 C．5 D．10 【变式1】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 2、逻辑推理 【例题3】（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（　　） A．“”是“”的充分条件但不是必要条件 B．“”是“”的必要条件但不是充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）若是的必要非充分条件，是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是的 条件，γ是的 条件． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·单元测试）设集合，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知集合，集合B满足，则集合B个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．M，N互不包含 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 11．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．是的必要不充分条件 B．“”是‘’成立的充分条件 C．命题，则 D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件 三、填空题 12．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知命题p：，，则命题的否定为 . 13．（23-24高一上·江苏·课前预习）存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为： . 14．（20-21高一上·江西九江·阶段练习）设集合或，，，则a的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 16．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 18．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 19．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与常用逻辑用语（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 知识点1：集合的含义 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 知识点2：集合的元素 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2．集合中元素的特征：确定的，互不相同的，无序的． 3．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合的表示方法 (1)自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合， （2）用列举法表示集合 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法 （3）用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． （4）图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部表示集合.集合{12}用图示法表示如图所示 3.集合的分类 按集合中元素个数的多少,可将集合分为有限集和无限集.(1)有限集:含有有限个元素的集合.例如,集合 A={a,b,c}是有限集. (2)无限集:含有无限个元素的集合.例如,所有自然数组成的集合是无限集. 知识点4：Venn图 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. (1)表示集合的 Venn 图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线; (2)用Venn图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显 知识点5：子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 知识点6：集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 知识点7：真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 子集、真子集个数的确定 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点8：空集的含义 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集． 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 知识点9：并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 知识点10：交集 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 知识点11：全集与补集 1.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 2．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 知识点12：充分条件与必要条件 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 二、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 三、从不同角度理解充分条件、必要条件和充要条件 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点13：全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点14：存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 知识点15：全称量词命题和存在量词命题的否定 一、全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，﹁p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 二、存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，﹁p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 1、 数形结合思想 【例题1】（多选）（2023秋•无锡期末）已知全集为，则如图阴影部分表示正确的为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合韦恩图及集合的交并及补集运算即可求解． 【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分为或． 故选：． 【点评】本题主要考查了韦恩图的应用，属于基础题． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知阴影部分表示的集合为，根据已知条件求出，再求. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为，所以， 因为，所以. 故选：D 【变式2】（多选）（2023秋•淄博期末）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可． 【解答】解：在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以，阴影部分可表示为，故正确； 且，阴影部分可表示为； 且，阴影部分可表示为，故正确； 显然，阴影部分区域所表示的集合为、的真子集，故、错误． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 【变式3】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 2、 分类讨论思想 【例题2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，且，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用集合的包含关系，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【详解】由，得， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式1】已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，， 因此，若都为正数，则； 若两正一负，则； 若一正两负，则； 若都为负数，则. 所以代数式表示的所有的值的集合是. 【变式2】.集合且，用列举法表示集合________ 【答案】 【详解】由题意，集合且，可得，则， 解得且， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，此时分母为零，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 综上可得，集合. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集进行讨论，即可得出实数m的取值范围为． 【详解】解不等式可得， 由可知是的子集， ①当时，， 所以； ②当时，即时， 且， 所以，所以． 综上，实数m的取值范围为． 3、 补集思想（逆向思维） 【例题3】.设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 【详解】当A∩B＝∅时，如图所示， 则解得－1≤a≤1. 即A∩B＝∅时， 实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}． 而A∩B≠∅时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1，或a＞1}． 【变式】.已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 解　若A∩B＝A，则A⊆B. 又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}， 所以解得2≤k≤3. 又k∈R，所以当A∩B≠A时， 实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}在R中的补集，即k的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)． 4、 转化与化归思想 【例题4】（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用作差法的方法比较大小； （2）由题意是的充分条件，，考虑和两类情况进行讨论.. 【详解】（1）， 所以； （2）因为是的充分条件，设, 则是的充分条件，即 若，当，即时，满足条件, 若，要使, 则,即 , 综上，实数的范围是 1、 集合的含义与表示 【例题1】（全国·高考真题）已知集合,则中所含元素的个数为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】列举法得出集合，共含个元素． 故答案选 【变式1】（山东·高考真题）设集合,则集合中元素的个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C． 【变式2】（广东）在集合，，，上定义两种运算⊕和如下： 那么⊕　　 A． B． C． D． 【分析】先计算⊕的结果，再计算⊕的值． 【解答】解：由上表可知：⊕， 故⊕， 故选：． 【点评】本题考查集合的含义、新定义，正确理解2种运算⊕和，是解题的关键，属于基础题． 【变式3】（江西·高考真题）若集合中只有一个元素，则=（ ） A．4 B．2 C．0 D．0或4 【答案】A 【详解】 考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系. 2、 集合间的基本关系 【例题2】（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式1】（2020·浙江·高考真题）已知集合P=，，则PQ=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式2】（全国·高考真题）设集合，．若，则       (　  　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 集合，，   ∴是方程的解，即   ∴   ∴，故选C 【变式3】（湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】求解一元二次方程，得 ，易知. 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合的子集个数，即有个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 3、 集合的基本运算 【例题3】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 【变式1】（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 【变式2】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 【变式3】（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 4、 充分条件与必要条件的判断 【例题4】（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件， 由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件， 综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2】（湖南·高考真题）若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，非空集合， 所以， “或”即， 所以“或”是“”的必要条件. 故选：A 【变式3】（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5、 全程量词命题和存在量词命题 【例题5】（四川·高考真题）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） A．﹁p：∃x∈A，2x∈B B．﹁p：∃x∉A，2x∈B C．﹁p：∃x∈A，2x∉B D．﹁p：∀x∉A，2x∉B 【答案】C 【详解】由题意得命题的否定为；故选C. 【变式1】（湖北·高考真题）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B 【详解】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数． 考点：命题的否定 【变式2】（安徽·高考真题）命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A．对任意实数x, 都有x > 1 B．不存在实数x，使x1 C．对任意实数x, 都有x1 D．存在实数x，使x1 【答案】C 【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是 “对任意实数x，都有x≤1” 故选C． 【变式3】（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 1、数学抽象 （1）新定义中的“概念”问题 【例题1】（2023秋•鼓楼区校级月考）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合，23，81，153，254，，是自恋数，则的真子集个数为　　 A．7 B．15 C．31 D．63 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合，进而即得． 【解答】解：，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数． 所以集合，153，． 所以真子集个数：个． 故选：． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 【变式1】（2023秋•江阴市校级期中）用（A）表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由条件可得（A），结合，易得（B）或（B），由定义分类讨论方程的根计算即可． 【解答】解：由已知得（A），因为，所以（B）或（B）． 当（B）时，若要满足题意，则有一个实根，即， 此时没有实根，所以符合题意； 当（B）时，若要满足题意，，有两个不等实根， 则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且△，所以， 此时的三个根为，符合题意． 综上，或，故． 故选：． 【变式2】（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【分析】根据题意，得到伙伴关系集合为，共有4组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. （2） 新定义中的“运算”问题 【例题2】（2023秋•新吴区校级月考）已知集合，，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为　　 A．3 B．4 C．5 D．10 【分析】先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，从而可求出两集合的交集，通过长度为4可求出的值，再求两集合的并集及其长度． 【解答】解：方程的两根为，，的两根为，， 当时，， 当时，，，则， 当时，，，则， 因为的长度为4， 所以或， 得或， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 所以的长度为10． 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【变式1】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【答案】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【分析】首先求和，再求. 【详解】∵，， ∴，， ∴ 2、逻辑推理 【例题3】（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，则，所以，故充分性满足； 若，则或，显然必要性不满足； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（　　） A．“”是“”的充分条件但不是必要条件 B．“”是“”的必要条件但不是充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件 【答案】ACD 【分析】由并集的概念，，但，再由充分、必要条件概念可判断选项. 【详解】∵非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集， ∴由， 即：“”是“”的必要条件. 由，或. ∵B不是A的子集，∴不一定有，即， 所以“”不是“”的充分条件.即仅有B正确． 故选：ACD. 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）若是的必要非充分条件，是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是的 条件，γ是的 条件． 【答案】 充分不必要 充分不必要 【分析】先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充分必要条件的定义，判断得出结论． 【详解】由是的必要非充分条件，得，不能推出； 由是的充要条件，得； 由是的必要非充分条件，得，不能推出； 因此，不能推出，， 不能推出， 因此是的充分不必要条件，是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要；充分不必要 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合运算即可求解. 【详解】，则， 故选：D 3．（24-25高一上·全国·单元测试）设集合，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合包含关系即可得结果. 【详解】因为， 若，则，所以a的取值范围是. 故选：D. 4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知集合，集合B满足，则集合B个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由题意可得集合B的个数等于集合的子集的个数，从而可求. 【详解】因为，， 则集合B的元素一定含有，剩下的元素构成的集合刚好是集合的子集， 所以集合B的个数等于集合的子集的个数，即个. 故选：B. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．M，N互不包含 【答案】B 【分析】先求集合N，再根据集合间的关系分析判断. 【详解】由题意可得：， 可知，即. 故选：B 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 【答案】BC 【分析】根据题意判断选项中对应集合为题干中集合的真子集，即可得答案. 【详解】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则下列结论正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】AB 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由已知得， 由此得且，A正确，C不正确； ，B正确； 且，D不正确． 故选：AB． 11．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．是的必要不充分条件 B．“”是‘’成立的充分条件 C．命题，则 D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C. 【详解】对于A，若，则，但由不能推出， 所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，时，一定成立， 所以是成立的充分条件，故B正确； 对于C，命题，则，故C错误； 对于D，当时，， 当时，为无理数， 所以为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知命题p：，，则命题的否定为 . 【答案】， 【分析】先改量词，再否定结论. 【详解】因为命题p：，，所以命题的否定为，. 故答案为：，. 13．（23-24高一上·江苏·课前预习）存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为： . 【答案】 存在量词 存在 14．（20-21高一上·江西九江·阶段练习）设集合或，，，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合的子集关系即可求解. 【详解】由题意可知， 因为，所以,因此， 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 16．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 17．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【答案】(1)，， (2)7个，，，，，，， 【分析】（1）根据的形式，先确定的取值，再代入验证； （2）根据（1）的结果，列举满足条件的集合. 【详解】（1）∵只有2个元素，且且， ∴可取2或3或4或5或7或13，代入， 当代入，得13，将13再代入，得2，满足双元素集合， 当代入，得7，将7再代入，得3，满足双元素集合， 当代入，得5，将5再代入，得4，满足双元素集合， 都是对应上述双元素集合中的元素，不需再代入，不合要求， 所以双元素集，，． （2）满足题设条件的集合共有（个），分别是，，，，，，． 18．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$