第03讲 二次根式的运算 （6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第03讲 二次根式的运算 （6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点3．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点5．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型强化 题型一．二次根式的乘除法 1．（2021秋•黄浦区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•长宁区校级期末）计算：　　． 3．（2023秋•崇明区期中）计算：． 题型二．分母有理化 4．（2020秋•黄浦区校级期中）已知，，那么与的关系为　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根 5．（2023秋•闵行区校级期末）分母有理化：　　． 6．（2021秋•黄浦区期中）先化简，再求值：，其中． 题型三．二次根式的加减法 7．（2022秋•黄浦区校级月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）计算：． 题型四．二次根式的混合运算 10．（2023秋•浦东新区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024春•青浦区校级月考）计算：　． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）计算：． 题型五．二次根式的化简求值 13．（2014秋•上海期末）若，则的值为　　 A． B．0 C．2 D． 14．（2023春•黄浦区期中）已知，且，则的值为 　　． 15．（2022秋•静安区校级期中）已知，求的值． 题型六．二次根式的应用 16．（2022秋•静安区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 17．（2023秋•闵行区期中）不等式的解集是 　　． 18．（2022秋•嘉定区月考）解不等式：． 分层练习 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海闵行·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则与的关系是（    ） A．大于 B．小于 C．与互为相反数 D． 4．（22-23八年级上·上海虹口·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（上海静安·专题练习）已知a<0，那么可化简为（     ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（八年级下·全国·课后作业）若m，n为有理数，且，则mn= . 8． ． 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 10．（22-23八年级上·上海·单元测试）计算： ． 11．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）的有理化因式可以是 ． 12．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 13．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 14．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为 ． 15．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 16．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 17．（21-22八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 18．（22-23八年级上·上海·期中）已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值是 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 20．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：． 21．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： (1)． (2)． 23．（22-23八年级·上海·假期作业）如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    24．（22-23八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）． 26．（21-22八年级上·上海青浦·期末）计算： 27．（23-24八年级上·上海·阶段练习）计算：； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的运算 （6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点3．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点4．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点5．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点6．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型强化 题型一．二次根式的乘除法 1．（2021秋•黄浦区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可． 【解答】解：．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除等知识点，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 2．（2023秋•长宁区校级期末）计算：　2　． 【分析】直接利用二次根式的性质进而化简求出即可． 【解答】解：． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 3．（2023秋•崇明区期中）计算：． 【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法则是解题的关键． 题型二．分母有理化 4．（2020秋•黄浦区校级期中）已知，，那么与的关系为　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根 【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案． 【解答】解：，， ， 故与的关系为互为倒数． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及互为倒数的定义，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 5．（2023秋•闵行区校级期末）分母有理化：　　． 【分析】根据分母有理化的方法进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查分母有理化和二次根式的乘除法，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 6．（2021秋•黄浦区期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】根据分式的加法，先化简，再将值代入求值． 【解答】解：， ． ． 当，原式． 【点评】本题主要考查分式的加法、二次根式的化简、分母有理化，熟练掌握分式的加法法则、二次根式的性质、分母有理化是解决本题的关键． 题型三．二次根式的加减法 7．（2022秋•黄浦区校级月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的加减法的法则，平方根对各项进行运算即可． 【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的加减法，平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8．（2023秋•闵行区期中）计算：　　． 【分析】根据二次根式的加减法法则进行解题即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）计算：． 【分析】根据二次根式的性质将，，进行化简后，再根据二次根式加减法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式的性质以及二次根式加减法的计算方法是正确解答的关键． 题型四．二次根式的混合运算 10．（2023秋•浦东新区校级期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质对、选项进行判；据二次根式的乘法法则对选项进行判；据二次根式的减法运算对选项进行判． 【解答】解：．，所以选项不符合题意； ．，所以选项不符合题意； ，所以选项符合题意； ．，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 11．（2024春•青浦区校级月考）计算：　9　． 【分析】根据平方差公式直接计算即可． 【解答】解：； 故答案为：9． 【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键，是一道基础题． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）计算：． 【分析】先根据绝对值，零指数幂进行计算，同时分母有理化，再根据二次根式的加法和减法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 题型五．二次根式的化简求值 13．（2014秋•上海期末）若，则的值为　　 A． B．0 C．2 D． 【分析】把的值代入后，先分母有理化，再合并． 【解答】解： ．故选． 【点评】此题比较简单，直接把已知代入便可解答． 14．（2023春•黄浦区期中）已知，且，则的值为 　　． 【分析】根据题意得到，根据完全平方公式计算，得到答案． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 15．（2022秋•静安区校级期中）已知，求的值． 【分析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式，接着分母有理化得到，利用倒数的定义得到，然后把它们代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ， ， 原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：正确进行分式的加减运算是解决问题的关键． 题型六．二次根式的应用 16．（2022秋•静安区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【解答】解：，不是互为倒数，选项错误； ．若，由于，则，选项错误； ．若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； ．由可得，结合可得，，则，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 17．（2023秋•闵行区期中）不等式的解集是 　　． 【分析】将原式变形，判断与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出的解集． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型． 18．（2022秋•嘉定区月考）解不等式：． 【分析】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1解答即可． 【解答】解：， ， ， ． 【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据解一元一次不等式的解法解答． 分层练习 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：， 则的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 2．（22-23八年级上·上海闵行·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 3．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则与的关系是（    ） A．大于 B．小于 C．与互为相反数 D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减运算法则求出的值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则． 4．（22-23八年级上·上海虹口·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则，计算即可判定． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算正确，符合题意； D、，故计算错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 5．（上海静安·专题练习）已知a<0，那么可化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件、分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出b的取值范围，然后根据二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：由题意可知： 解得：b＞0 ∴=== 故选D． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 6．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 二、填空题 7．（八年级下·全国·课后作业）若m，n为有理数，且，则mn= . 【答案】1 【分析】利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解. 【详解】=m+n       3= m+n 4= m+n 16+1=4m+4 n ∴4m=1,    4n=16, ∴m=，  n=4，mn=4= 1. 故答案为1. 【点睛】本题考查二次根式的化简求值. 8． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键． 【详解】解： 故答案为：． 10．（22-23八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】/ 【分析】先化简各二次根式，再进行计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 11．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）的有理化因式可以是 ． 【答案】 【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答． 【详解】解：∵， ∴与互为有理化因式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．解决本题的关键是掌握二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 12．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，掌握运算法则是解题的关键． 13．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x和y的符号，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴，， 原式 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的除法运算，解题关键在于掌握运算法则． 14．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为的小数部分，则输出的数值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：程序所代表的代数式为，再由x为的小数部分，可得到，代入即可求解．本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为是解题的关键． 【详解】解：程序所代表的代数式为， ∵x为的小数部分， ∴， 当时， 输出的值为． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 16．（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解． 【详解】解： ． 17．（21-22八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 18．（22-23八年级上·上海·期中）已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】先估算出的值的范围，从而可得的值范围，进而求出的值，然后代入式子中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海静安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，先根据分式的性质，结合完全平方公式化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，利用积的乘方和平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 21．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，算术平方根，熟练掌握完全平方公式“”是解题的关键. 【详解】解： ①； ②； ①－②得， . 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1） ； （2） ． 23．（22-23八年级·上海·假期作业）如图所示，在面积为的正方形中，截得直角三角形的面积为，求的长．    【答案】 【分析】先求出正方形的边长为，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 24．（22-23八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 25．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）． 【答案】． 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据法则计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则的应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 26．（21-22八年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算，即可解题． 【详解】解：原式          ． 27．（23-24八年级上·上海·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$