精品解析：广东省名校联盟2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题

高二数学期中检测 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章7.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的模为，实部为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ） A. 910 B. 900 C. 890 D. 880 7. 内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 8. 某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ） A. 960种 B. 836种 C. 816种 D. 720种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共l8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 是等差数列 D. 11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ） A. B与C相互独立 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______． 13. 已知向量，若，则______；若，则______． 14. 已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若，的面积为，证明：是等腰三角形． 16. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. （1）证明:平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． （1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； （2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b； （2）若，，求a的取值范围. 19. 已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中检测 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章7.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集及交集运算即可. 【详解】由题意得,所以. 故选：B. 2. 已知复数的模为，实部为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据条件得到，即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以. 故选：D. 3. 已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小正周期可求，可得，利用，可求对称中心的坐标. 【详解】由，得，所以． 令，则， 当时，， 所以图象的一个对称中心的坐标为． 故选：D. 4. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的关系求，即可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 5. 已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性，结合判断即可． 【详解】当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 因为， 所以的值域为. 故选：D. 6. 已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（ ） A. 910 B. 900 C. 890 D. 880 【答案】A 【解析】 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5， 所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 7. 内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ） A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h 【答案】B 【解析】 【分析】由已知有，可得，当时，解得，可求还需的时间. 【详解】由题意知，时，，可得． 设，则，解得， 因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4h． 故选：B. 8. 某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ） A. 960种 B. 836种 C. 816种 D. 720种 【答案】A 【解析】 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【详解】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共l8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线C：上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】BD 【解析】 【分析】联立方程组，结合根与系数关系应用求参. 【详解】设, 由题意得 , 得,, 解得或. 故选：BD. 10. 已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 是等差数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ） A. B与C相互独立 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D. 【详解】因为， 所以，所以B与C不相互独立，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】280 【解析】 【分析】根据二项式通项公式计算即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 已知向量，若，则______；若，则______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由垂直向量的坐标表示可求出的值；再由向量的夹角公式可得，解方程可得出答案. 【详解】若，则，所以． 若，则， 得， 所以（舍去）或，故． 故答案为：；. 14. 已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式计算，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为平均数为，所以． 因为方差， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以方差的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且． （1）求； （2）若，的面积为，证明：是等腰三角形． 【答案】（1） （2） 由（1）得． 由，得． 由余弦定理，得． 由，得或 即或，所以是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化再结合两角和差公式计算； （2）应用面积公式结合余弦定理计算边长即可证明. 【小问1详解】 由正弦定理得， 则， 即． 因为，所以，得． 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. （1）证明:平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 如图，设为在底面的射影，连接，则平面. 因为平面ABC，所以 又为BC的中点，，所以 因为平面平面， ∴平面. 又为的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由平行四边形的性质得到即可证明； （2）分别找到平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 建系， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系. 在三棱柱中，， 所以， 则. 由（1）知平面，则是平面的一个法向量， 因为，且，所以. 设平面的法向量为， 则即 设，得， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． （1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； （2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式计算可得； （2）由（1）可得，根据二项分布的概率公式求出相应的概率，即可得到分布列. 【小问1详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件， 由测试结果知，，，， 所以． 记“测试的个问题都回答正确”为事件，“测试的个问题中恰有个存在语法错误”为事件， 则， ， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得，则的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b； （2）若，，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）分、和讨论，分离参数，利用导数研究函数的单调性，进一步求得函数最值，最后求交集即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，由题意， 又即，两式联立解得. 【小问2详解】 由，得，即，当时，R， 当时，，当时，，记，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以，当时，，所以， 综上，a的取值范围为. 19. 已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）在x轴上存在点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）由已知,即可得到，，进而得到,即可得到椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，，，联立椭圆C的方程，写出韦达定理，设，化简，可得，若为定值，得，点R的坐标；再检验直线l的斜率不存在时，上述结论是否成立即可. 【小问1详解】 依题意，得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立椭圆C的方程，可得， 则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点R的坐标． ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 代入，得 不妨设，，若，则，， 所以． 综上，在x轴上存在点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $