精品解析：湖南省2024届高三仿真模拟考试（五）数学试题

2024届高三仿真模拟考试（五） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 6. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（ ） （次数/分钟） 20 30 40 50 60 （℃） 25 27.5 29 32.5 36 A. 的值是20 B. 变量，呈正相关关系 C. 若的值增加1，则的值约增加0.25 D. 当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃ 7. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. （多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 11. 已知均为正实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______________． 14. 在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______. 15. 点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是___________. 16. 已知关于x的方程有4个不等实数根，则a的取值范围是______． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列. （1）求和的通项公式； （2）证明：. 19. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表： 若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率. （1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望； （2）在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率. 20. 已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 21. 已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求四边形AMBN面积的最大值． 22. 已知函数. （1）若，求函数的最大值； （2）若恒成立，求的值； （3）令，过点作曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三仿真模拟考试（五） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质解出集合M，再由二次不等式的解法求出集合N，最后求交集即可. 【详解】解：由得， 又函数在R上单调递增，则，即， 又由得，即， 所以. 故选：D. 2. 若复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，所以， 故复数的虚部为. 故选：A. 3. 九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理求出基本事件总数，再求出符合题意的基本事件数，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有2种情况，所以一共有种情况， 他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为. 故选：B. 4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，解得， 故 故选：B 5. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，设，，由题意中等式得到，，，结合数量积运算得到参数值； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得. 设，，由，即，据此可得， 故，同理可得，， 据此可得， 则，整理可得， 由于，故. 故选：D. 6. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（ ） （次数/分钟） 20 30 40 50 60 （℃） 25 27.5 29 32.5 36 A. 的值是20 B. 变量，呈正相关关系 C. 若的值增加1，则的值约增加0.25 D. 当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃ 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可. 【详解】由题意，得， ， 则，故A正确； 由线性回归方程可知，，变量，呈正相关关系，故B正确； 若的值增加1，则的值约增加0.25，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：D. 7. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性及中间值比大小. 【详解】，，，故. 故选：C 8. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断区间单调性，根据解析式知恒过且，进而确定区间值域，再由对数函数性质求的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减， 由，即恒过且， 所以上，上， 而在上递增，且上，上， 所以的解集为. 故选：C 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. （多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，即可判断AB；利用圆的弦长公式求出，即可判断CD. 【详解】由题意可得，设，则， 所以圆的圆心为，半径长为， 双曲线的渐近线方程为，即，故A错误，B正确； 圆心A到渐近线的距离， 所以弦长， 可得是边长为的等边三角形，即有，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件根据函数的图象变换规律得到变换之后的函数解析式，再根据正弦函数的单调性判断即可． 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得， ∵，∴， ∴函数在上单调递增，故选项B正确； 因为，所以， 所以函数在上单调递减，故选项C正确， 故选：BC. 11. 已知均为正实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解判断. 【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，故正确； 由得，同理，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 满足题意，但，故C错误； 由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以，故D正确. 故选：ABD. 12. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D. 【详解】因为为偶函数， ，故函数图象关于直线对称， 为奇函数，1），函数图象关于对称， 对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确； 对于A，，令，故， 又，故A正确； 对于C，，当时，，即函数在上递增， 函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增， 所以，故函数不是偶函数，故C错误； 对于D，，故D错误， 故选：AB. 【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质； 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解. 【详解】依题意，设，由，得， 即，整得得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 14. 在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______. 【答案】60 【解析】 【分析】利用赋值法，令，则的展开式各项系数之和为，即可求得n；再由二项展开式的通项求得含常数项. 【详解】由题可知：，所以， 展开式通项为， 令，得4，常数项为. 故答案为：60. 15. 点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，由A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小求解. 【详解】因为抛物线方程为， 所以抛物线的焦点坐标为准线方程为：， 如图所示： 由抛物线的定义得：点p到的焦点的距离与到准线的距离相等， 所以当A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小， 最小值为， 故答案为： 16. 已知关于x的方程有4个不等实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由因式分解可将问题转化为直线与曲线有4个不同的交点，利用导数求解的单调性即可根据图象进行求解. 【详解】由得, 由于，所以问题转化为和共有4个不同的实根， 记，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增， 故，又因此，当时，，当时，，故的图象如图所示， 要使和共有4个不同的实根，则需要且， 解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，判断函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，借助正弦和角公式求得，即可求出； （2）先由面积公式求得，再结合余弦定理求得，进而求出，即可求出周长. 【小问1详解】 由正弦定理，可得，故，即， ，化简得，又，故. 【小问2详解】 由得，又，即得， 则，故的周长为. 18. 已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列. （1）求和的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2） 由（1）得，则， 可知是以首项，公比为的等比数列， 则 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知是首项为，公比为的等比数列，即可得，根据等比中项结合等差数列通项公式运算求解，即可得； （2）分析可知是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】 由得， 两式相减可得，即. 当时，，即， 则，解得， 且，可知是首项为，公比为的等比数列， 可得. 设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 略 19. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表： 若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率. （1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望； （2）在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出甲同学两分球和三分球投篮命中的概率，即可求出甲同学通过测试的概率，可得通过测试的人数，则可求出期望； （2）求出乙同学通过测试的概率，利用条件概率公式即可求出. 【小问1详解】 甲同学两分球投篮命中的概率为， 甲同学三分球投篮命中的概率为， 设甲同学累计得分为， 则， 则， 所以甲同学通过测试的概率为. 设这300名学生通过测试的人数为，由题设， 所以. 【小问2详解】 乙同学两分球投篮命中率为， 乙同学三分球投篮命中率为. 设乙同学累计得分为，则，. 设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲､乙两位同学均通过了测试”为事件， 则， ， 由条件概率公式可得. 20. 已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得， 所以，由勾股定理知. 折叠后，则有，，因为，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，由已知可得，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得平面平面； （2）分析可知即为二面角的平面角，以为坐标原点，、所在的方向分别作为、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，则即为二面角的平面角. 以为坐标原点，、所在的方向分别作为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 于是、、，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 有，即，令，则，. 所以即为平面的一个法向量. . 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 21. 已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求四边形AMBN面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点，离心率， 之间的勾股关系即可求出答案；（2）利用设而不求联立椭圆和直线方程，利用韦达定理解出根与系数的关系，对面积表达式进行化简，利用参数的范围得出最终答案. 【小问1详解】 由题意可得 解得, 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时 , 的坐标分别为, 四边形面积为 当直线斜率存在时 , 设其方程为 点 , 点 到直线的距离分别为 则四边形 面积为, 得, 则 所以 ， 因为 所以 中点 , 当 时 , 直线 方程为 , 解得 所以 . 当 时 , 四边形 面积的最大值 综上四边形 面积的最大值为 . 22. 已知函数. （1）若，求函数的最大值； （2）若恒成立，求的值； （3）令，过点作曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内. 【答案】（1）0 （2） （3）因为，设两切点为，,，不妨设在的右边，则，， 所以，两点处的切线方程分别为，， 令，解得，， 因为，所以， 要证明，即证明，因为，即证， 设，则， 所以在上是增函数，所以，则， 所以，故点一定在第一象限内. 【解析】 【分析】（1）当时，可得，利用导数即可求解单调性求解； （2）令，可得，通过对的讨论，可知，进一步分析可得的取值； （3），设两切点为，，进而得，两点处的切线方程分别为，，令，解得，，利用分析法可证得点一定在第一象限内． 【小问1详解】 当时，的定义域为， 令，得，令，得． 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以. 【小问2详解】 令，, 若，存在，与恒成立矛盾， 所以必有，，，设方程两根分别为，则，所以方程必有一正根，记作， 所以函数在单调递增，在,单调递减，若满足条件，必有，注意, 则有，代入式，解得， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明 不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $