精品解析：重庆市南开中学校2023-—2024学年七年级上期数学期末模拟试题（三）

重庆南开中学2023－2024学年度（上）学期期末模拟三 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答案填写在答题卡对应的表格中． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 为了调查南开中学学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 1000名学生是总体 C. 样本容量是80 D. 被抽取的每一名学生称为个体 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直线可以无限延长 B. 同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直 C. 相等的两个角是对顶角 D. 有公共边且互为补角的两个角叫做邻补角 5. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，...，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ） A. 16 B. 19 C. 21 D. 23 6. 如图所示，若，，则射线表示的方向为（ ） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 7. 如图，学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，设安排名工人生产桌面，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. 300 C. D. 8. 如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 按如图所示的程序运算，如果输入x的值为12，那么输出的值为（ ）． A. 3 B. 0 C. D. 10. 已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（ ） A. 4 B. 0 C. D. 11. 将一块长a米，宽b米的长方形空地按如图所示的方式分为草坪和小路两部分，则小路（长方形内空白部分）的面积为（ ）． A. B. C. D. 12. 已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（ ） ①若，则；②若的值与的值无关，则；③若，则；④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共13小题，每小题3分，共39分）请将答案直接填写在答题卡相应的横线上． 13. 卡塔尔世界杯的卢赛尔体育场可容纳人，将数据用科学记数法可表示为____． 14. 单项式的系数为____． 15. 计算：_____． 16. 已知关于的方程与的解相同，则________． 17. 小北今年岁，妈妈的年龄是小北的3倍，则妈妈4年后的年龄为________岁．（用含的代数式表示） 18. 若，，则代数式________． 19. 若，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，则________． 20. 有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 21. 定义新运算：，例如：，则________. 22. 若关于的方程有无数个解，则的值为________． 23. 已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 24. 如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则__________． 25. 对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是__________． 三、计算题：（本大题共4小题，每题8分，共32分）解答时给出必要的演算过程． 26. 化简： （1）； （2）． 27. 计算： （1）； （2）． 28. 解方程： （1）； （2）． 29. 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题：（本大题共5小题，30题7分，31，32题每题8分，33，34题每题10分，共43分）解答时给出必要的演算过程． 30. 如图，，平分，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，连接，交于点； （2）已知：，求证：．请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ①________， 平分， ②________． ． ， ③________． ④________． ． 31. 网课期间，一些同学养成了一遇到难题，就喜欢上网查找答案的习惯.针对这种现象，北关中学随机调查了部分学生对这种习惯的意见（分为：赞成，无所谓，反对），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了________名学生，图2的扇形统计图中持“无所谓”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是________； （2）将图1的条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中有多少名学生持“赞成”意见． 32. 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图1，平分，，，求的大小； （2）如图2，平分，平分，，，求的大小． 33. 今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． （1）求11月份两种取暖器各购进多少台？ （2）在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知格力取暖器在原售价基础上提高，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ （3）今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施： 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的，再返现296元 已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 34. 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数，16，有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，线段以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）当时，点M表示的数为　　，点Q表示的数为　　． （2）在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为时所对应的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2023－2024学年度（上）学期期末模拟三 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请将答案填写在答题卡对应的表格中． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形是左视图成为解答本题的关键．根据从左边看得到的图形是左视图即可解答． 【详解】解：从左边看有两列，从左往右，第一列有三个小正方形，第二列有一个小正方形， 则它的左视图为 故选：C． 3. 为了调查南开中学学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 1000名学生是总体 C. 样本容量是80 D. 被抽取的每一名学生称为个体 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的收集，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意； B、1000名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意； C、样本容量是80，正确，故本选项符合题意； D、被抽取的每一名学生的身高情况称为个体．故本选项不合题意． 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直线可以无限延长 B. 同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直 C. 相等的两个角是对顶角 D. 有公共边且互为补角的两个角叫做邻补角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的直线的定义，对顶角的定义，作已知直线的垂线，邻补角的定义，根据定义与性质再分别判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A．直线是无限的，不需要延长，选项错误，故此选项不符合题意； B． 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项符合题意； C．相等的角不一定是对顶角，选项错误，故此选项不符合题意； D． 有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，选项错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，...，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ） A. 16 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解． 【详解】解：通过观察可得到 第①个图形中实心圆点的个数为：， 第②个图形中实心圆点的个数为：， 第③个图形中实心圆点的个数为：， …… ∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：， 故选：B． 【点睛】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 6. 如图所示，若，，则射线表示的方向为（ ） A. 南偏东 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】利用平角定义可得，然后利用角的和差关系求出的度数，即可解答． 【详解】如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线表示的方向为南偏东， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 7. 如图，学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，设安排名工人生产桌面，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. 300 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若x名生产桌面,则24-x名生产桌腿.再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可. 【详解】由题意得:x名生产桌面,则24-x名生产桌腿. 可列方程: . 故选C. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用,关键在于列等式是找数量一致,1块桌面配3条桌腿,要让数量相等就需要桌面的数量乘3. 8. 如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查补角、余角的概念，运用补角、余角概念列方程是解决问题的关键．设这个角为，依据题意列方程求解． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为，补角为 据题意得方程：； 解得； 故选：D． 9. 按如图所示的程序运算，如果输入x的值为12，那么输出的值为（ ）． A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先把x=12输入，按照程序进行运算，直到输出的结果小于0为止． 【详解】解：x=12时,y=×12-1=3＞0； x=3时，y=×3-1=0； x=0时，y=×0-1=-1＜0 故答案为：C 【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，根据程序图取值是解题的关键． 10. 已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（ ） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论． 【详解】∵ ∴， 当时，原方程无解； 当时，． ∵原方程的解是负整数，且k为整数， ∴或 ∴或， ∴整数k的所有取值之和为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键． 11. 将一块长a米，宽b米的长方形空地按如图所示的方式分为草坪和小路两部分，则小路（长方形内空白部分）的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据割补法以及小路的面积=长方形空地的面积-草坪的面积，即可计算出答案． 【详解】如图，根据割补法可知：草坪的面积， ∵长方形空地的面积， ∴小路的面积=长方形空地的面积-草坪的面积． 故选A． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与图形面积问题．根据题意，结合图形正确列出算式是解答本题的关键． 12. 已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（ ） ①若，则；②若的值与的值无关，则；③若，则；④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念． 代入多项式列方程求解即可判断①；先代入多项式化简，再利用结果与x的值无关得到、的值，即可判断②；代入多项式列绝对值方程求解即可判断③；代入多项式，得到，根据题意得到符合条件的非负整数m值，即可判断④． 【详解】解：，， ①， ， ， 或，①错误； ② ， 的值与x的值无关， 的值与x的值无关， ，， ，， ，②正确； ③ ，， 当时，， 当时，， 当时，， 若，即， 当时，满足条件，③正确； ④， ， ， 若关于x的方程的解为整数，且，则符合条件的非负整数m有1、2、3，6共4个，④错误， 故结论中正确的是②③， 故选：B． 二、填空题：（本大题共13小题，每小题3分，共39分）请将答案直接填写在答题卡相应的横线上． 13. 卡塔尔世界杯的卢赛尔体育场可容纳人，将数据用科学记数法可表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 单项式的系数为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数为， 故答案为：． 15. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角度数的加减计算法则，解题的关键是掌握角度数的加减计算法则． 根据角度数的加减计算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 已知关于的方程与的解相同，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：由，得， 由，得， 由关于的方程与的解相同，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于y的方程，根据同解的定义建立方程． 17. 小北今年岁，妈妈的年龄是小北的3倍，则妈妈4年后的年龄为________岁．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得妈妈今年的年龄岁，即可得妈妈4年后的年龄． 【详解】解：∵小北今年岁，妈妈的年龄是小北的3倍， ∴妈妈今年的年龄岁，妈妈4年后的年龄为岁 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意． 18. 若，，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】把已知式子变形后代入要求的式子即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 19. 若，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数、倒数以及绝对值的定义得到，，，，然后代入计算即可得出答案． 【详解】∵，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为2， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到绝对值、相反数、倒数，代数式求值，正确理解绝对值、相反数、倒数的定义是解题的关键． 20. 有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先推出，，，据此去绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 21. 定义新运算：，例如：，则________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：根据新定义，可得， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，理解新定义下运算是解题关键． 22. 若关于的方程有无数个解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】方程移项合并，令x系数等于0，求出的值，即可得到结果． 【详解】整理得， ∵有无数个解， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 23. 已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 【答案】##50度 【解析】 【分析】过G点作，过E点作．设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得 ，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作. ∵， ∴， 设，则． ∵平分， ∴． ∴． ∵, ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴． ∵, ∴ ∴, ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】作平行线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 24. 如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则__________． 【答案】2或14##14或2 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键． 由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可． 【详解】解：平分， ， 以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转， ①如图1中，当平分时， 解得； ②如图2，当平分时， 解得， 故答案为：2或14． 25. 对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是__________． 【答案】801 【解析】 【分析】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． 利用定义和已知列方程，分情况讨论得出m的所有的值，即可确定最值． 【详解】解：设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 ①＋②得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：801． 三、计算题：（本大题共4小题，每题8分，共32分）解答时给出必要的演算过程． 26. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算．掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键． （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 27. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）根据有理数加减混合运算的法则计算即可； （2）先计算乘方，将除法变为乘法，利用乘法分配律计算，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 28. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【小问1详解】 解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； 【小问2详解】 解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 29. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，12 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 四、解答题：（本大题共5小题，30题7分，31，32题每题8分，33，34题每题10分，共43分）解答时给出必要的演算过程． 30. 如图，，平分，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，连接，交于点； （2）已知：，求证：．请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ①________， 平分， ②________． ． ， ③________． ④________． ． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求； （2） ；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据已知线段作线段即可； （2）根据平行线的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 31. 网课期间，一些同学养成了一遇到难题，就喜欢上网查找答案的习惯.针对这种现象，北关中学随机调查了部分学生对这种习惯的意见（分为：赞成，无所谓，反对），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了________名学生，图2的扇形统计图中持“无所谓”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是________； （2）将图1的条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中有多少名学生持“赞成”意见． 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如下， （3）有名学生持“赞成”意见． 【解析】 【分析】（1）用赞成和无所谓两项的人数和除以他们所占的百分比可求得此次抽样调查中，共调查了多少名学生，再用乘以“无所谓”意见的学生人数的百分比即可得持“无所谓”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； （2）用抽样学生人数减去赞成和无所谓的学生人数求得持反对意见的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用乘以持“赞成”意见的学生的百分比． 【小问1详解】 解：抽样调查的学生数：（名）， 持“无所谓”意见的学生所在扇形的圆心角， 故答案为：150，168； 【小问2详解】 解：持反对意见的学生：（名）， 【小问3详解】 解：（名）， 答：该校名学生中有名学生持“赞成”意见． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 32. 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线． （1）如图1，平分，，，求的大小； （2）如图2，平分，平分，，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，得到，由于，即可求出的大小； （2）根据题意求出，运用角平分线的性质，得出，则得，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键. 33. 今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． （1）求11月份两种取暖器各购进多少台？ （2）在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知格力取暖器在原售价基础上提高，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ （3）今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施： 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的，再返现296元 已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】（1）长虹取暖器购进180台，格力取暖器购进220台；（2）6.5元；（3）1064元或770元 【解析】 【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是400，两种日光灯的总价是22200，可得方程组，即可得解； （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额×（1-）+格力取暖器销售额=总销售额，根据等量关系列出等式即可； （3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出=节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的9700元的原价是否小于10000元． 【详解】解：（1）设长虹取暖器购进台，则格力取暖器购进y台． 由题意得： 解得： 答：长虹取暖器购进180台，格力取暖器购进220台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得： 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多6.5元． （3）当购买甲厂家150台，共支付． 设在甲厂家购买了台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的9700元的原价小于10000元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的9700元的原价大于10000元， 则可节约元． 答：商场可节约1064元或770元． 【点睛】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价×数量=总价，（售价-进价）•数量=利润，利用公式解决问题． 34. 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数，16，有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，线段以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）当时，点M表示的数为　　，点Q表示的数为　　． （2）在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为时所对应的t的值． 【答案】（1）8， （2）或2 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）当时，根据起点位置以及运动方向和运动速度，即可得点M表示的数为8、点Q表示的数为； （2）当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是，，此时，当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， （3）当从A向C运动时，或，当从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：依题意，∵， ∴当时，点M表示的数为8； ∵， ∴当时，点Q表示的数为； 故答案为：8，； 【小问2详解】 解：当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时 当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴当时，点M表示的数是或2； 【小问3详解】 解：当从A向C运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为 则 或， 解得或， 由 得， ∴当时，与的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（秒），Q到达C，此时， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4，表示的数， 当从C向A运动时， 由得，， 时，与开始有重合部分，有重合部分时， Q表示的数为，表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为， 或， 解得或， ∴重合部分长度为时所对应的t的值是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $