小升初典型奥数：逆推还原问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学通用版

逆推还原问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 1．逆推问题内容： 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算． 2．解题方法： （1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义． （2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义． 【解题方法点拨】 解题思路： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理． ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算． ③列式时注意运算顺序，正确使用括号． 第二部分 典型例题 例题1：甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 【答案】甲5乙13． 【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可． 解： 周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的， 那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13． 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题． 例题2：池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？ 【答案】9天后． 【分析】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，得出结果． 【详解】每天增长1倍，就是前一天的2倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么它的前一天正好是一半，即9后池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面． 10﹣1=9（天）， 答：9天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面． 例题3：三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？ 【答案】260元； 160元；300元 【分析】用倒推法，求每个人原来各有存款多少元，可以从最后结果三个人各有240元开始，把给出的钱数加上，收到的钱数减去，就得到各人原有存款的钱数。 【详解】甲：240＋40－20＝260（元） 乙：240－40＋30－70＝160（元） 丙：240－30＋20＋70＝300（元） 答：甲、乙、丙三人原来分别有存款260元、160元、300元。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 例题4：美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？ 【答案】380台 【分析】此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数． 【详解】[（105-20）×2+20]×2 =[85×2+20]×2 =190×2 =380（台） 答：美红商店原有380台洗衣机． 第三部分 高频真题 1．一篮苹果，取篮中的一半又一个给第一人，再取余下的一半又一个给第二人，又取第二人余下的一半又3个给第三人，篮中苹果正好分完，问篮中原有苹果多少个？ 2．办公室有一桶水，第一天喝掉一半多1升，第二天喝掉剩下的一半多2升，第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水。问：原来桶里有多少升水？ 3．甲、乙、丙3人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加两倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果3人的钱数一样多．如果他们3人共有81元，那么3人原来的钱数分别是多少元? 4．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？ 5．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 6．3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌。第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番。第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍。第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍。结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的。细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元。你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？ 7．小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？ 8．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 9．商店里进了一批香蕉，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下部分的，这时还剩下48千克．这批香蕉共有多少千克？ 10．有铅笔若干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，这些铅笔原有多少支？ 11．某工厂有、、、、五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？ 12．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的，乙车间加工余下的，丙车间再加工余下的，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？ 13．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？ 14．牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗？ 15．思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？ 16．一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”。小刚这次竞赛得了多少分？ 17．淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢？ 18．某商场春季优惠出售洗衣机，上午售出了总数的一半，下午售出剩下的一半后，还剩10台．这个商场原来有洗衣机多少台？ 19．甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书．问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？ 20．桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个。这时桃园里还只有100个桃了。那么园中原有多少桃？ 21．小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小到原来的，再加1岁后才10岁．小刚的奶奶今年多少岁？ 22．甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 23．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？ 24．有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？ 25．修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？ 26．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？ 27．老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？ 28．滨海市少先队员在城乡学校“手拉手”的活动中，为山区学校捐献了一批图书．按计划把这批书的又6本送给青山小学的；把余下的一部分送给少年宫，送给少年宫的比送给青山小学的3倍还多136本；又把第二次余下的75%又80本送给春苗幼儿园；最后还余下300本，作为山区小学数学竞赛的奖品．问滨海市少先队员一共捐献了多少本图书？ 29．甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的又81个，乙组取了甲组取后所剩下的又81个，丙组取了乙组取后所剩下的又81个，最后丁组取了丙组取后余下的和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？ 30．有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆。现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆。照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个。问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？ 31．学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘4，除以6得16，求这个数。小朋友，你知道答案吗？ 32．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 33．三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？ 34．程才到书店买书，他先用所带的钱的一半少8元买了本《数学大世界》，接着用剩下的钱的一半多1元买了本《数学探秘》，最后用剩下的钱的一半多2元买了本《趣味数学》，买完后还剩下13元。程才一共带了多少钱？ 35．两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72．问另一个加数原来是多少? 36．有一个数，把它乘4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4．问：这个数是几？ 37．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 38．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 39．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？ 40．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 41．同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？ 42．有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m．问这根电线原来有多少米？ 43．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？ 44．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 45．三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多。原来每棵树上各有几只鸟？ 46．便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果．求水果店里原来一共有多少个芒果？ 47．妈妈买回来一些鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天吃了第二天余下的一半又半个．这时还剩下1个鸡蛋，妈妈一共买回多少个鸡蛋？ 48．甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、丙三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数和保持不变） 49．甲、乙、丙3人共有192张邮票。从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？ 参考答案： 1．30个 【分析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个苹果；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个苹果；若干苹果，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个苹果． 【详解】[(3×2+1)×2+1]×2 =[7×2+1]×2 =15×2 =30（个） 答：篮中原有苹果30个． 2．50升 【分析】已知第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水，说明剩下的一半是（2＋3）升水，说明第三天原来一共有[（2＋3）×2]升水，也就是10升水；第二天喝掉剩下的一半多2升，剩下10升水，说明剩下的一半是（10＋2）升水，第二天原来一共有[（10＋2）×2]升水，也就是24升；第一天喝掉一半多1升，剩下24升水，说明一半是（24＋1）升水，第一天原来一共有[（24＋1）×2]升水，据此解答。 【详解】（2＋3）×2 ＝5×2 ＝10（升） （10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（升） （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（升） 答：原来桶里有50升水。 【点睛】用倒推法求解还原问题是，每一步都要变成原来的逆运算，也可以画图帮助理解问题。 3．55,19，7 【详解】我们逐步还原： 甲 乙 丙 丙分后 27 27 27 乙分后 27÷(2+1)＝9 9 81－9－9＝63 甲分后 9÷(2+1)＝3 81－3－21＝57 63÷(2+1)＝21 甲分前 81－19－7＝55 57÷(2+1)＝19 21÷(2+1)＝7 即甲、乙、丙三人原来的钱数分别55、19、7元． 4．12% 【详解】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为． 5．26 【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙 堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系． 6．260元；80元；140元 【分析】根据题意，假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，又在每一局重新变化后，三个人钱袋里的钱的总数是一个不变的数，由此，可从最后3人手中的钱是完全一样的出发进行倒推，求每一局重新变化以前三个人各自的钱的份数，再根据甲输掉了100元，求出每份代表的钱数，即可求他们三个人刚开始各有多少。列表倒推如下。 【详解】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，列表解答如下： 甲 乙 丙 第三局后 8 8 8 第二局后 4 16 4 第一局后 2 8 14 开始 13 4 7 从开始到最后甲的份数少了：13－8＝5（份）， 每份的钱数是：100÷（13－8） ＝100÷5 ＝20（元） 13×20＝260（元） 4×20＝80（元） 7×20＝140（元） 所以刚开始时，甲有260元，乙有80元，丙有140元。 【点睛】本题考查了“还原问题”，我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理。 7．147 【分析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了：9−6＝3；②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10×（9−6）＝30；这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数。”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174＋（9−6）−10×（9−6）＝147。 【详解】174＋（9−6）−10×（9−6） ＝174＋3−30 ＝147 答：正确的结果应该是147。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 8．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个） 出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个） 第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个） 这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个） 答：盒内原有珠子25个．   【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决． 9．256千克 【分析】这道题目出现了两个分率，它们所对应的单位“1”是不一样的．所对应的“1”是全部香蕉，而对应的“1”是全部香蕉减去第一天卖出的香蕉．48千克这个量同这两个单位1都可以联系上．把全部香蕉减去第一天卖出的香蕉当做“1”，就易求出48千克所对应的分率是，进而，求出全部香蕉减去第二天卖出的香蕉是（千克）．这192千克香蕉占全部香蕉的分率是，则全部香蕉的总重量就是（千克．） 【详解】 答：这批香蕉共有256千克． 10．26支 【详解】（4+2）÷=12（支） （12+1）÷=26（支） 答：这些铅笔原有26支． 11．11人；38人；33人；32人；36人。 【分析】最后每个车间都是30人，逆着调入的顺序，列表倒推，逐步求出原来的状态。 【详解】采用倒推法，列表如下 单位：人 A车间 B车间 C车间 D车间 E车间 调整结束后 30 30 30 30 30 E往D调前 30 30 30 24 36 D往C调前 30 30 22 32 36 C往B调前 30 19 33 32 36 B往A调前 11 38 33 32 36 所以原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人。 答：原来A车间有11人，B车间有38人，C车间有33人，D车间有32人，E车间有36人。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 12．10000个 【详解】3600÷(1-)÷(1-)÷(1-)=10000(个) 答：这批零件一共有10000个． 13．85枚 【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。 【详解】第三次分之前有： 1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（枚）， 第二次分之前有： 5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（枚）， 第一次分之前有： 21×4＋1 ＝84＋1 ＝85（枚） 答：原来至少有85枚棋子。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 14．38岁 【分析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推。这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数。没加上8时应是：38−8＝30；没除以2时应是：30×2＝60；没减去16时应是：60＋16＝76；没乘2时应是：76÷2＝38。 【详解】[（38−8）×2＋16]÷2 ＝[30×2＋16]÷2 ＝76÷2 ＝38（岁） 答：牛老师今年38岁。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 15．32米 【分析】由“第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米；可知第二次剪钱是（8×2）米，那么第一次剪前是（8×2×2）米。 画图分析如下：                   即：（米）；        即：（米）。 【详解】8×2×2＝32（米） 答：这段五彩布原来长米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 16．86分 【分析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算。扩大倍是分，没有扩大倍之前应是： （分），加上后是分，没有加上前应是：（分），缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是：（分），减去后是分，没有减去前应是：（分）。综合列式为：（分），所以，小刚这次竞赛得了分。 【详解】（100÷2－10）×2＋6 ＝（50－10）×2＋6 ＝40×2＋6 ＝80＋6 ＝86（分） 答：小刚这次竞赛得了86分。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 17．188 【分析】根据题意，减数个位上的9看成了3，也就是减数小了6；十位上的4看成了7，也就是减数大了30。故原数是：164＋30－6＝188。 【详解】164＋30－6＝188 答：正确的答案应该是188。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 18．40 【分析】我们可以根据题意，画出线段图进行分析思考． 结合上图，从“下午售出剩下的一半后还剩10台”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的台数就是10×2＝20台；而20台又正好是总数的一半，那么原有洗衣机的台数就是20×2＝40台． 【详解】10×2＝20台 原有洗衣机的台数：20×2＝40台． 答：这个商场原来有洗衣机40台． 19．33,32,25 【详解】尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）．根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有30＋3＝33（本）， 乙组有30—3＋5＝32（本）， 丙组有30—5＝25（本）． 20．807个 【分析】根据题意，从最后只有100个向前倒推如下：第三群猴没吃，相应有桃：（100＋0.5）×2＝201（个）,第二群猴没吃，相应有桃：（201＋0.5）×2＝403（个）,第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）：（403＋0.5）×2＝807（个）。所以园中原有807的桃子。 【详解】（100＋0.5）×2＝201（个） （201＋0.5）×2＝403（个） （403＋0.5）×2＝807（个） 答：园中原有807个桃子。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 21．88 【分析】我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法． 从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小到原来的之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁． 【详解】10－1＝9岁 9×9＝81岁 81＋7＝88岁 答：小刚的奶奶今年88岁． 22．35棵；21棵 【分析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（28÷2）棵，即14棵；乙班有（28＋14）棵，即42棵；如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（42÷2）棵，甲班原有树（14＋21）棵。 【详解】列表倒推如下： 甲班 乙班 35 21 14 42 28 28 （28＋28÷2）÷2 ＝（28＋14）÷2 ＝42÷2 ＝21（棵） 28÷2＋21 ＝14＋21 ＝35（棵） 答：甲班原有树棵；乙班原有树棵。 【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。 23．600人 【详解】×（1-）×（1+30%） =××130% = 156÷=600（人） 答：这个厂全厂共有600人． 24．3角 【分析】画线段示意图倒推分析如下： ； 从上面的线段图可以看出： 最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是：2×2＝4（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是：5×2＝10（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是：11×2＝22（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2＝22（个）；再求每个苹果平均值多少钱：66÷22＝3（角），每个苹果平均值3角钱。 【详解】{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2 ＝11×2 ＝22（个） 66÷22＝3（角） 答：每个苹果平均值3角钱。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 25．168米 【分析】画倒推示意图如下： ； 从图中可知（30＋18−12）米，即36米是第一周修后余下的一半，（36×2−12）米，即84米是下水道全长的一半。 【详解】[（30＋18−12）×2＋12]×2 ＝[36×2＋12]×2 ＝84×2 ＝168（米） 答：这条下水道长168米。 【点睛】画图法的关键：标好有倍数关系的位置。 26．259个 【分析】如果没有多3个的话，分了四次，答案应是4×4×4×4=256个，现在多了3个，所以结果是256+3=259个． 【详解】4×4×4×4+3 =256+3 =259（个） 答：堆桃子至少有259个． 27．1 【分析】由于最后黑板上三个数的和为159，又第三个数是前两个数的平均数，所以最后一个数为159÷3＝53，可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860. 下面说明没有其它答案：如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1 【详解】最后一个数为159÷3＝53， 可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138， 由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008， 所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860. 如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1 【点睛】利用倒推法，根据所给条件进行分析完成是完成本题的关键。 28．2800本 【分析】本题我们可以尝试运用倒推的思路来解题． 【详解】将总共捐献的图书作为单位1，则给青山小学的图书为总图书的多6本，送给少年宫的图书是送给青山小学的3倍还多136本，即总图书的多18+136本，题意表明，第二次余下的图书的25%为（300+80）本，因此第二次余下的图书为（300+80）÷25%=1520（本） 送给青山小学和少年宫的图书是总图书的多160，因此总图书为（1520+160） ÷（1-）=2800（本） 答：滨海市少先队员一共捐献了2800本图书． 29．256个 【分析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。 同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。 同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。 同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。 甲组取的苹果个数＝全部的苹果个数×＋81。 【详解】81÷（1－） ＝81÷ （个） （108＋81）÷（1－） ＝189÷ ＝ ＝252（个） （252＋81）÷（1－） ＝333÷ ＝ ＝444（个） （444＋81）÷（1－） ＝525÷ ＝ ＝700（个） 700×＋81 ＝175＋81 ＝256（个） 答：甲组取了256个苹果。 【点睛】解决复杂的还原问题，已知多个对象的变化过程和结果，求开始时各自的量，这类问题是较复杂的还原问题，常涉及倍数变化。一般情况下可以结合列表法来解决。 30．个；个 【分析】我们从最后一步倒着分析。因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有（个）棋子，而甲堆的棋子数是（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向。所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子。 【详解】32÷2＝16（个） 32＋16＝＝48（个） 48÷2＝24（个） 24＋16＝40（个） 40÷2＝20（个） 20＋24＝＝44（个） 根据题意列表法解答：（单位：个） 甲 乙 结果 32 32 第三次交换前 48 16 第二次交换前 24 40 第一次交换前 44 20 答：甲堆棋子原来各有44个，乙堆棋子原来各有20。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题一般是从最后一步结果出发向前倒推，也可以根据已知条件列表逐步分析，直到解决问题。 31．26 【分析】根据题意画倒推示意图如下： 。 【详解】16×6÷4＋5−3 ＝96÷4＋5−3 ＝24＋5−3 ＝29−3 ＝26 答：这个数是26。 【点睛】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算。 32．16，10，7 【详解】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子．由此列表逆推如下表： 老大 老二 老三 初始状态 14-（2÷2）＝13 8-（2÷2）＝7 2×2＝4 老三分过后 16-（4÷2）＝14 4×2＝8 4-（4÷2）＝2 老二分过后 8×2＝16 8-（8÷2）＝4 8-（8÷2）＝4 老大分过后 8 8 8 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁． 33．168毫升；88毫升；32毫升 【分析】为了使每一步之间的关系一目了然，列表从后面向前倒推如下；先在第一行填上三个96，第二行的前2个数是：，第3个数是：，第三行的第1个数是：，第3个数是：，第2个数是：，第四行第2个数是：，第3个数是：，第1个数是：，所以三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。 【详解】列表解答如下： 容器1 容器2 容器3 最终结果 96 96 96 第三次倒之前 48 48 192 第二次倒之前 16 176 96 原来 168 88 32 答：三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 34．108元 【分析】可以用逆推还原的方法。程才到书店买了三本书，第一本是《数学大世界》，第二本《数学探秘》，第三本是《趣味数学》。按照题目的意思画出线段图。 从线段图中可以得出买完《数学探秘》剩的钱是30元。 从线段图中可以得出买完《数学大世界》剩的钱是62元。 程才带了108元。 【详解】（13＋2）×2 ＝15×2 ＝30（元） （30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（元） （62－8）×2 ＝54×2 ＝108（元） 答：程才一共带了108元。 【点睛】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 35．48 【详解】另外一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1后，其与73的和只能是172，不然和为272、372、472、…，则原来的另一个加数的位数超过2位． 所以，原来的另一个加数为172－73－5×10－1＝48． 36．22 【详解】这个问题是由 （□×4—46）÷3—10＝4， 求出□．我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22． ［（4＋10）×3＋46］÷4＝22． 答：这个数是22． 37．31个 【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 【详解】第五次后有：32÷2=16（个） 第四次后有：（32+16）÷2=24（个） 第三次后有：（32+24）÷2=28（个） 第二次后有：（32+28）÷2=30（个） 第一次原有：（32+30）÷2=31（个） 答：财迷身上原有31个铜板． 38．180个 【分析】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 利用逆推还原法，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班，二班分得余下苹果数的一半是48个，那么余下的苹果就是96个。一班分得总个数的一半少6个是96个，则一班分得总个数的一半是90个，则这批苹果的总个数就是180个。 【详解】40＋8＝48（个） 48×2＝96（个） 96－6＝90（个） 90×2＝180（个） 答：这批苹果共有180个。 39．8个、19个、30个 【分析】第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙数为60×=30（个）．所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个． 【详解】57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个） 原来第一袋：15－7=8（个） 原来第二袋：15+4=19（个） 原来第三袋：15×2=30（个） 答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个． 40．米 【分析】根据题意，画图倒推分析如下：                         即：（米）；             即：（米）；    即：（米）； 【详解】[（15＋9－10）×2＋2]×2 ＝[14×2＋2]×2 ＝30×2 ＝60（米） 答：这根绳子全长60米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 41．甲班原有67袋，乙班原有73袋 【分析】通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算： 甲 乙 这时 70 70 第2次 70－8 70＋8 第3次 70－8＋5 70＋8－5 【详解】由分析可得， 最后甲、乙两班各有：140÷2=70（袋） 甲班原有：70－8＋5=67（袋） 乙班原有：70＋8－5=73（袋） 答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋． 42．38米 【分析】由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）． 【详解】（6×2+5）×2+4 =（12+5×2）+4 =17×2+4 =34+4 =38（米） 答：这根电线原来有38米． 43．61本；55本；48本；36本 【分析】用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数。 【详解】（1）张原有读物的本数：50＋13－2＝61（本） （2）王原有读物的本数：50＋18－13＝55（本） （3）李原有读物的本数：50＋16－18＝48（本） （4）赵原有读物的本数：50＋2－16＝36（本） 答：张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。 【点睛】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本。后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是50本。 44．15 【详解】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个） 第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×1=3（个） 第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×3 =7（个） 原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×7=15（个） 答：篮中原有鸡蛋15个． 故答案为15． 45．6只；16只；14只 【分析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是：（36÷3）只，即12只；第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数。 【详解】现在一样多的：36÷3＝12（只）； 第一棵树上的小鸟只数：12－10＋4＝6（只）； 第二棵树上的小鸟只数：12＋8－4＝16（只）； 第三棵树上的小鸟只数：12＋10－8＝14（只）； 答：第一棵树上有6只小鸟；第二棵树上有16只小鸟；第三棵树上有14只小鸟。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 46．88个 【分析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）． 【详解】{[(11－1)×2+1]×2+2}×2 =[（10×2+1）×2+2]×2 =（21×2+2）×2 =44×2 =88（个） 答：水果店里原来一共有88个芒果． 47．15个 【分析】根据最后篮内的鸡蛋个数是1，那第三天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×（1+0.5），第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×[2×（1+0.5）+0.5]，同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，那原有鸡蛋的个数即可求出． 【详解】第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+0.5）=3（个） 第一天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+0.5）=7（个） 原有鸡蛋的个数是：2×（7+0.5）=2×7.5=15（个） 答：妈妈买回15个鸡蛋． 48．260点 【分析】翻了一番即扩大到原来的2倍的意思，可以设最后的数量为未知数，从后往前进行倒推，表示出找出三人各自的数量，根据甲输了100点列方程求解。 【详解】解：设三局后每人手中都是点； 根据题意列表 甲 乙 丙 点数总和 第三局后 3 第二局后 2 3 第一局后 3 开始时 3 因为三局后甲手中的点数比开始时减少了100点，即 －＝100 ＝160 于是160×＝260（点） 答：开始时，甲手上有260点。 【点睛】本题考查的是多个量的还原问题，用列表法进行倒推是求解此类问题最常用的方法。 49．88张；56张；48张 【分析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：（192÷3）张，即64张。第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票（64÷2）张，丙有邮票：（64＋64÷2）张，依此类推，就可以推出答案了。 【详解】192÷3＝64（张） 丙有邮票：（64＋64÷2）÷2 ＝（64＋32）÷2 ＝96÷2 ＝48（张） 乙有邮票：（64＋48）÷2 ＝112÷2 ＝56（张） 甲有邮票：64÷2＋56 ＝32＋56 ＝88（张） 最后相等时各有64张，列表倒推如下： 甲（张） 乙（张） 丙（张） 最后 64 64 64 前次 32 64 96 再前次 32 112 48 原来 88 56 48 答：甲、乙、丙原有邮票数依次为88张、56张、48张。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$