小升初典型奥数：工程问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学通用版

工程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效； 工作总量÷工效＝工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 第二部分 典型例题 例题1：修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？ 【答案】天 【分析】设这项工程为单位“1”，则甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为，据此可以求出甲和乙的工作效率之和，然后求出甲、乙合作36天后，剩下的工程量是多少，再除以甲、乙、丙、丁的工作效率之和即可。 【详解】甲＋乙＋丙的工作效率为，甲＋乙＋丁的工作效率为，丙＋丁的工作效率为； 那么甲＋乙的工作效率为： 甲＋乙＋丙＋丁的工作效率为； 因此剩下的工程还需要： （天） 答：还需60天可完工。 【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。 例题2：几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 【答案】20名 【分析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草。由于这些人在下午能割完乙地的草，也就是甲地草的，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地 的草。 【详解】设甲的草量是“1”，那么乙的草量是“”； 有些人上午在甲地，下午在乙地割草，这些人在下午能割完乙地的草，所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草； 每人每天割草为，全部的草为甲地草的，，所以共有20名学生。 答：共有20名学生。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以设下午在乙地割草的人数是未知数，根据总草量列方程求解。 例题3：有一批零件共450个。 （1）师徒俩一起加工这批零件，如果徒弟完成了全部的，师傅需要加工多少个零件才能全部完成任务？ （2）已知师傅单独完成需要12天，徒弟单独完成需要18天。现在，由徒弟先做3天，再由两人合作。两人需要再合作几天才能完成任务？ 【答案】（1）270个 （2）6天 【分析】（1）先用零件总数乘求出徒弟完成的数量，再用总数减去徒弟完成的数量即可； （2）把这批零件总数看作单位“1”，那么师傅的效率为，徒弟的效率为，根据：工作总量＝工作效率×工作时间，求出徒弟3天完成的工作量，再用单位“1”减去徒弟完成的工作量，用剩下的工作量除以师徒效率和即可求出合作完成时间。 【详解】（1）450－450× ＝450－180 ＝270（个） 答：师傅需要加工270个零件才能全部完成任务。 （2（1－3×）÷（＋） ＝（1－）÷ ＝× ＝6（天） 答：两人需要再合作6天才能完成任务。 【点睛】此题考查了分数乘、除法的应用，关键能够掌握工程问题的解题思路。 例题4：希望小学用部分捐款给同学们买体育用品，如果只买篮球可以买50个，如果只买足球或只买排球都可以买40个．现在买篮球和足球各15个，剩下的钱可以买多少个排球？ 【答案】13个 【详解】解法一：买15个篮球的钱可以买足球：15×40÷50=12（个） 等于只买足球：15+12=27（个） 40-27=13（个） 答：剩下的钱可以买13个排球． 解法二：[1-（+）×15] ÷ =[1-] ÷ =×40 =13（个） 答：剩下的钱可以买13个排球． 第三部分 高频真题 1．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，问丙帮助甲、乙各多少时间？ 2．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成。问甲休息了几天？ 3．甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 4．某项工程，甲队单独施工需要72天，乙队的工作效率是甲队的1.5倍，丙队总是先施工3天，然后休息3天，施工3天，再休息3天，……，三队同时施工，20天完成整项工程。那么丙队单独完成整项工程需要多少天？ 5．某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？ 6．甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现领工资共180元，按工作量分配，甲、乙、丙应各领多少元？ 7．一堆煤，原来每天烧 1.8 吨，可以烧 30 天，技术革新后，这堆煤能多烧 6 天，技术革新后每天少烧多少吨煤？ 8．有一项工程，由小熊和小猴合做6天就能完成。若小熊、小猴分别单独做，则小熊完成该工程的与小猴完成该工程的所用的时间相同。如果按小熊、小猴、小熊、小猴……的顺序每位轮流做一天，则需要多少天才能完成任务？ 9．抄一份书稿，甲的工作效率等于乙、丙二人的工作效率之和；丙的工作效率相当于甲、乙二人工作效率和的；如果三人合抄需要8天就能完成。那么乙一个单抄需要多少天才能完成？ 10．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 11．一段地下管道预计 15 个工人每天工作 4 小时，18 天可以完成，后来要求加快速度，每天增加 3 人，并且每天工作时间增加 1 小时，那么，可以提前几天完成？ 12．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 13．一个水池有甲、乙、丙三个排水管，要把水池里的水全部排完，原计划按甲、乙、丙、甲…的顺序每个排水管打开一小时，恰好整数小时排完；若按乙、丙、甲、乙…的顺序轮流打开三个排水管，则比原计划多用30分钟；若按丙、甲、乙、丙…的顺序轮流打开三个排水管，则比原计划多用20分钟。已知单独打开甲排水管22小时可以将水排完。请问原计划多少小时能将水池里的水排完？ 14．一项工程，甲、乙两队合做12天完工，如果由甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天，刚好完成，若由乙队单独完成，需要多少天？ 15．完成一件工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天．问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？ 16．蓄水池有一条进水管和一条出水管。要灌满一池水，单开进水管需要5小时，排光一池水，单开排水管需三小时。现在池内有半池水，如按进水，排水的顺序，轮流各开一小时，问多少时间后水池的水排完？（精确到分） 17．一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的，乙只能完成原来的，现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 18．有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 19．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？ 20．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次．每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？ 21．制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？ 22．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 23．4月20日，甲、乙两个工程队同时从两侧挖山洞，甲队每天挖23米，乙队每天挖25米，山洞长480米。5月1日前能完成这项工程吗？ 24．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 25．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 26．一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 27．某工厂的一个车间，组装一批电脑．当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可完成这项任务；如果交换工人A与B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项任务；如果交换工人C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项任务．问：如果同时交换A与B及C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少时间完成这项任务？ 28．一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 29．有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间晚20分钟完成．已知甲车间加工1个零件和乙车间加工3个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多长时间？ 30．师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 31．一项工程，甲队独做要120天完成，如果甲队先做10天，乙队再做5天，就可以完成这项工程的，乙队单独做这项工程需要多少天？ 32．一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 33．一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做20天可以完成，现在两队合作，期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（不存在两队同一天休息）。问：整个工程共用了多少天？ 34．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？ 35．一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 36．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 37．一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的草地比小的大一倍．全体组员先用半天时间割大的草地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完；另一半到小草地去割，到傍晚时还剩一小块，这一小块由1人去割，正好1天割完．问这组共有多少人？ 38．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔。用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用小时分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用分钟将水箱灌满。那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？ 39．一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要( )天。 40．某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升．现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完．计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等．那么水池中原有多少水？ 41．一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？ 42．张师傅加工540个零件．他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务．当他完成任务的45％时，恰好是上午9点．张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？ 43．一项工作，如果甲、乙合做，15天可以完成；如果甲先单独做5天，剩下的乙单独做，还需要45天。现在乙先单独做12天，剩下的甲单独做，还需要多少天？ 44．师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 45．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天。已知甲单独完成这件工作需天。问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？ 46．规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 47．李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％．这批零件共有多少个？ 48．一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成。两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？ 49．2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的，8个蟹将和10虾兵在同样的时间里就能打扫完全部龙宫，如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多几个？ 50．有一批工人完成某项工程，如果能增加 8个人，则 10天就能完成；如果能增加3个人，就要20天才能完成．现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？ 51．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 52．一项工程，甲、乙单独做分别需要 18 天和 27 天．如果甲做若干天后，乙接着做，共用 20 天完成．求甲、乙完成工作量之比． 53．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天? 54．刘军、王强、李明三人合修一面墙。刘、王合修，6天修好围墙的；王、李合修，2天修好余下的；剩下的三人又合修5天才完成。他们共得工资1800元，根据按劳分配的原则，每人应分多少钱？ 55．一项工程，甲单独做工12小时完成，乙单独做要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙1小时，……，两人如此交替工作，问完成任务时共用了多少小时？ 参考答案： 1．甲：3小时；乙：5小时 【分析】把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，设他们搬完货物花了x小时，根据“工作效率×工作时间＝工作量”列方程即可解答。 【详解】解：设他们搬完两个仓库货物花了x小时。 （＋＋）×x＝2 x＝2 x＝8 （1－×8）÷ ＝÷ ＝3（小时） 8－3＝5（小时） 答：丙帮助甲搬运了3小时，帮乙搬运了5小时。 【点睛】把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，这是解答本题的关键。 2．天 【分析】在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了27天，可以求出乙完成了多少，剩下的即为甲完成的，用甲完成的工程量除以甲的工作效率，得到甲工作的时间，进而求得甲休息的时间。 【详解】乙完成了全部工程的 还有是甲做的 所以甲干了（天） 休息了（天） 答：甲休息了5天。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以假设甲没有休息，求出甲乙合作27天完成的工程量，求出多完成的部分，除以甲的工作效率，得到甲休息的时间。 3．甲队单独做需要天；乙队单独做需要天 【分析】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，那么合作的工作效率是，合作完成需要12天，而实际情况是甲比12天少了8天，乙比12天多了4天，也就是甲队做8天相当于乙队做4天，根据这个关系可以求出甲和乙各自的工作效率。 【详解】甲、乙合作完成工程的需要：（天）。甲队先做天，比合作少了（天）；乙队后做天，比合作多了（天），所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是。甲队单独工作需要：（天）；乙队单独工作需要：（天）。 答：甲队单独做需要90天；乙队单独做需要45天。 【点睛】工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。 4．69天 【分析】甲队单独施工需要72天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队的1.5倍，则乙队的工效是。丙队总是先施工3天，然后休息3天，施工3天，再休息3天，从头到尾20天甲乙没有停，则这个20天完成了这项工作的，剩下的是丙完成的。丙在工作的20天里面将每6天看成一个整体，里面有3个6天，则剩下的2天丙是工作的。即丙总共工作了11天完成了这项工作的，即工效＝工作总量÷工作时间。则丙单独做需要36天完成。丙的工作习惯是施工3天休息3天，则36里面有12个3天，则将6天看成一个整体，则需要72天，最后的6天中其中前3天完成工作，则最后要减去3天。 【详解】1÷72＝ ＝ ＝ 20÷（3＋3） ＝20÷6 ＝3（组）……2（天） 3×3＋2 ＝9＋2 ＝11（天） （天） 36÷3＝12（组） 12×6－3 ＝72－3 ＝69（天） 答：丙队单独完成整项工程需要69天。 【点睛】工程问题的含义：在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作三个量，它们之间的基本数量关系是：工作量＝工作效率×时间、工作时间＝工作量÷工作效率、工作效率＝工作量÷工作时间 工程问题有很多种类型，本题属于间隔休息型，解题思路是：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理。 5．6天 【分析】我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和。因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍。再由此效果得出天数即可。 【详解】由分析可知，我们有以下公式： （一＋二＋三＋四＋五）×3＝（一＋二＋三）＋（一＋三＋五）＋（二＋四＋五）×2＋（一＋三＋四）。 所以，5支小队效率和为： ＝ ＝ 1÷＝6（天） 答：这五个小队一起合作需要5天才能完成这项工程。 【点睛】解决本题的关键是求出5支小队效率和。 6．甲：33元    乙：91元    丙：56元 【分析】此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率． 由已知条件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙两人的工作效率和，即，同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和．从而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工作天数（即工作量）求出他们应领到的工资． 【详解】因为甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙两人的工作效率和为． 剩下的工作量为，剩下工作量的为，由乙、丙两天完成，所以乙、丙的工作效率和为． 最后剩下的工作量为，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三个的工作效率和为．因此，甲的工作效率为． 因此，甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为．进而，甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，丙完成的工作量为． 所以，甲应领工资，乙应领工资，丙应领工资 7．0.3吨 【详解】1.8×30=54（吨） 30+6=36（天） 54÷36=1.5（吨） 1.8-1.5=0.3（吨） 答：技术革新后每天少烧0.3吨煤. 8．15天 【分析】工作量÷工作时间＝工作效率，据此求出小熊和小猴工作效率的比是2∶3，再分别求出小熊和小猴单干时需要的天数，和小熊与小猴合作完成工程需要的时间，经计算是天。可知合干天数整数部分的2倍即14天可以看作是小熊、小猴轮流工作的天数。根据剩余的天，求出剩下的工作量是多少，看由小熊单干是否一天内能完成。据此解答。 【详解】小熊和小猴的工作效率比： ∶＝＝2∶3 单独做小熊需要的天数： （天） 单独做小猴需要的天数： （天） 小熊和小猴合干需要的天数： （天） 剩余的工作量： 说明由小熊再单干一天能够完成。 一共的天数： （天） 答：按小熊、小猴、小熊、小猴……的顺序每位轮流做一天，需要15天才能完成任务。 【点睛】本题考查工程问题，关键是弄清交替干活的顺序，再利用“工作量、工作效率、工作时间”三者间的关系解答。 9．24天 【详解】将工程作为单位1，因为三人合作需要8天可以完成工作，因此每天的总工作效率为， 那么根据题意，甲的工作效率为，乙、丙二人每天的工作效率之和也为；同时，丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率的，即丙的工作效率为总工作效率的，因此丙的工作效率为，由此可以得出乙的工作效率为，乙单独做要1÷＝24（天） 答：乙一人单抄要24天才能完成。 10．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率，按照每次交替工作的时间，先大概估算出完成工作所需要的时间，再求出具体的时间。 【详解】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，， 此时剩下的工作量为： 还需甲做（小时）， 所以共需（小时） 答：完成任务共需小时。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，需要注意的是甲、乙每次工作的时间是不一样的。 11．6天 【详解】18-15×4×18÷（15+3）÷（4+1） =18-1080÷18÷5 =18-12 =6（天） 答：可以提前6天完成。 12．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率之和，再按比例分配，得到各自的工作效率，然后求出乙完成一半需要的总时间，减去5小时，得到还需要的时间。 【详解】乙小时完成总工作量的； 乙每小时完成总工作量的； 乙需要完成的总工作量为； 乙要完成这个任务还需要的时间： （小时） 答：乙还要5小时才能完成分配的任务。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，按比例分配的问题可以设份数求解。 13．28小时或者29小时 【分析】无论是按照哪种顺序排水，都是按照3个小时为一个周期。按甲、乙、丙、甲、…的顺序每个排水管打开一小时，恰好整数小时排完，所以最后1小时由甲排水管或乙排水管完成，不能由丙排水管完成，如果那样的话，三种排水顺序需要的时间是相同的。这样就分两种情况： （1）最后1小时由甲排水管完成 【甲、乙、丙、甲、乙、丙、…、甲、乙、丙、】甲 【乙、丙、甲、乙、丙、甲、…、乙、丙、甲、】乙、丙 【丙、甲、乙、丙、甲、乙、…、丙、甲、乙、】丙、甲 甲＝乙＋丙＝丙＋甲，设甲的工作效率为3份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。 根据丙＋甲＝甲，得出丙的功效是2份，根据乙＋丙＝甲得出乙的功效也是2份。单独打开甲排水管22小时可以将水排完，甲的工效是3份，则整个排水的工作总量是66份，将66份的水按照原计划甲乙丙的顺序，工效总和是7份，需要完成9份这样的周期，还剩下3份的工作未完成，给甲正好1个小时完成。9份的周期里面，每个周期是3的小时，一共是27小时，加上最后甲排的1小时，原计划的时间是28小时。 （2）最后1小时由乙排水管完成 【甲、乙、丙、甲、乙、丙、…、甲、乙、丙、】甲、乙 【乙、丙、甲、乙、丙、甲、…、乙、丙、甲、】乙、丙、甲 【丙、甲、乙、丙、甲、乙、…、丙、甲、乙、】丙、甲、乙 甲＋乙＝乙＋丙＋甲＝丙＋甲＋乙，设甲的工作效率为4份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。将甲＋乙＝乙＋丙＋甲＝丙＋甲＋乙进行简化，则甲＝丙＋甲，乙＝丙＋乙。根据甲＝丙＋甲，得出丙的功效是2份，根据乙＋丙＝丙＋甲得出乙的功效是3份。单独打开甲排水管22小时可以将水排完，甲的工效是4份，则整个排水的工作总量是88份，将88份的水按照原计划甲乙丙的顺序，工效总和是9份，需要完成9份这样的周期，还剩下7份的工作未完成，给甲正好1个小时完成4份，乙1个小时完成3份。9份的周期里面，每个周期是3的小时，一共是27小时，加上最后甲、乙各排的1小时，原计划的时间是29小时。 【详解】30分钟＝小时，20分钟＝小时 （1）最后1小时由甲排水管，设甲的工作效率是3份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。 y＋＝3 y＝3－1 y＝2 x＋＝3 x＝3－1 x＝2 22×3＝66（份） 3＋2＋2＝7（份） 66÷7＝9（组）……3份 9×3＋3÷3 ＝27＋1 ＝28（小时） （2）最后1小时由乙排水管完成，设甲的工作效率是4份，乙的工效是x份，丙的工效是y份。 4＝y＋ y＝4－2 y＝2 x＝2＋ ＝2 x＝ x＝3 22×4＝88（份） 4＋3＋2＝9（份） 88÷9＝9（组）……7（份） 9×3＋2 ＝27＋2 ＝29（小时） 答：原计划28小时或者29小时能将水池里的水排完。 【点睛】需要理解题目中的意思，无论是怎么样的循环方式，完成3个小时的工作总量是一样的。 14．30天 【分析】把已知条件中“甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天”转化为“甲、乙两队合做了6天，乙队又做了15天”，问题即可解决． 【详解】甲、乙两队合做6天后，还项工程还剩下：1－×6= 乙队每天完成这项工程的：÷（21－6）=÷15= 乙队单独完成这项工程需要：1÷=30（天） 答：若由乙队单独完成，需要30天． 15．甲8天 乙16天 【详解】甲需要(7*3-5)/2=8(天) 乙需要(6*7-2*5)/2=16（天） 16．7小时54分钟 【分析】根据题意，把一池水看作单位“1”，则进水管的工作效率为，出水管的工作效率为，则进水1小时、排水1小时后，池中的水会减少：，排干半池水所需事件为：（小时），即进水3小时、排水3小时后，水池中剩余水量：，然后进水1小时，水池中的水量：，排水所需时间：（小时），7.9小时＝7小时54分，据此解答。 【详解】 ＝3.75（小时） ＝ ＝ ＝0.9（小时） 3×2＋1＋0.9＝7.9（小时） 7.9小时＝7小时54分钟 打：7小时54分钟后水池的水刚好排完。 【点睛】本题主要考查工程问题，关键根据工作总量、工作时间和工作效率之间的关系做题。 17．5天 【详解】设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成3×0.8+2×0.9=4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 18．12天 【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 19．260米 【分析】由于甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；同理乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，用单位“1”减去甲乙丙的占比和，即是丁队的占比，然后乘总长度1200米即可解答。 【详解】所以丁筑路为：1200×（1－－－） ＝1200×（1－－－） ＝1200× ＝260（米） 答：丁队筑路260米。 【点睛】此题考查学生对比例分配应用题的掌握，需要注意各队占比与总占比之间的关系。 20．400吨 【分析】把一堆黄沙的重量看作单位“1”，用大卡车装要50辆，如果用小卡车装要80辆．一辆大卡车装黄沙的，小卡车装货物的，3对应的分率是（-），用3除以（-）就是黄沙的总吨数． 【详解】解：3÷（-） =3× =400（吨） 答：这堆黄沙有400吨． 21．4200个 【详解】略 22．10个 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高； 在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高； 由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。 答：工作时间内下了10天雨。 【点睛】本题考查的是工程问题，这里将工程问题与比例问题相结合，求出晴天和雨天的天数比是解题的关键。 23．能 【分析】用总长度除以甲、乙两个工程队每天挖的米数之和，就是两队合作完成这项工作需要的天数。然后再根据完成这项工作需要的天数、开工日期，推算出5月1日前能否完成这项工程。 【详解】 （天 4月20日＋10天－1天 ＝4月30日－1天 ＝4月29日 4月20日这天开始，工作10天到4月29日，还不到5月1日。 答：5月1日前能完成这项工程。 【点睛】准确求出两队合作完成这项工作需要的天数是解答此题的关键。 24．4分钟 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 25．26天 【详解】略 26．小时 【分析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符。所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的。 【详解】乙甲甲，得乙甲； 甲、乙工作效率之和为： 甲的工作效率为： 所以甲单独做的时间为（小时） 答：甲单独做，要用21小时才能完成。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，解题的关键是判断轮流工作的顺序。 27．小时 【分析】工作效率问题的基本关系式，即工作效率×工作时间=工作量 虽然很简单，但是实际的生产问题要复杂得多．这是因为实际生产中一项任务的完成要涉及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其他环节的工作效率也相应地随之发生改变． 在本例题中，我们不可由已知“A与B交换工作岗位后，可提前1小时完成任务；C与D交换工作岗位后，也可提前1小时完成任务”，简单地得出，同时交换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）完成这项任务．事实上，A与B交换工作岗位后，还有一个条件是“其他工人的生产效率不变”，也就是说，交换岗位的工人们是两两互相影响对方的，而对其他工人的效率不发生影响；C与D交换岗位的情形也一样．同时交换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只交换A与B，或者只交换C与D的情形是不一样的．下面我们给出本题的三种解法． 【详解】☆解法一：（1）设总工作量为1，原来全车间每小时完成． （2）A与B交换后，8小时完成．全车间每小时完成．由于其他工人工作效率不变，所以，A与B每小时多了；同时，C与D交换后，每小时也多干了． （3）A与B、C与D同时交换后，这四人每小时多干，全车间每小时完成，所以，完成这项任务需要 （小时） 比原来提前（小时） ☆解法二：题目中8和9的最小公倍数是72，所以把这项任务分成72份，原来每小时全车间完成72÷9＝8（份），每份需要60÷8=7．5（分钟） A与B交换后，每小时完成72÷8=9（份），比原来多干了1份，由于其他工人工作效率不变，所以这一份是A、B两人干的． 同理，C与D交换后，这两人每小时也多干了1份任务． 同时交换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只要60÷10=6（分钟）即可完成．所以，每干1份任务，可提前7．5-6=1．5（分钟），72份任务一共可提前72×1．5＝108（分钟）（小时）． ☆解法三：A与B交换后，全车间在8小时内完成原来9小时的工作．由于其他工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原来全车间1小时的工作；同时，C与D交换后，这二人在8小时中也多干了原来全车间1小时的工作． A与B、C与D同时交换后，他们四人就在4小时内多干了原来全车间1小时的工作．这就是说，A与B、C与D同时交换后，全车间在4小时内干了原来全车间在5小时内干的工作，缩短工作时间． 原来9小时的工作，在A与B、C与D同时交换后，就可以缩短（小时） 答：可以提前小时完成这项任务． 28．1100方土 【分析】先求出两队同时施工的工作效率之和，以及遇到地下水后的工作效率之和，求出47.25方土，占总的工程量的几分之几，然后根据量率对应求出总的工程量。 【详解】甲、乙合作时工作效率为： （＋）×（1＋20%） ＝ ＝ 则的工程量需÷＝（天） 则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10－＝（天） 则此时甲、乙合作的工作效率为÷＝ 遇到地下水前后工作效率的差为：－＝ 则总工作量为47.25÷＝1100（方） 答：整工程要挖1000方土。 【点睛】本题考查的是工程问题，需要注意的是施工过程中，工作效率是变化的。 29．甲：3分钟   乙：1分钟 【详解】解：设乙车间加工一个零件的时间为X分钟，则甲车间为3X分钟 3小时=180分 160÷2=80（个） 80×3X-80X=180-20 160X=160 X=1 3×1=3 答：甲车间加工1个零件需3分钟,乙车间需1分钟. 30．100个 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件个。 31．40天 【分析】要求乙队独做这项工程需多少天，就要求出乙的工作效率，要求乙的工作效率，就要从乙队做5天的工作量入手．甲10天做了×10=，两人共做，则乙5天做-，由此求出乙的工作效率，解决问题． 【详解】1÷[（-×10）÷5] =1÷[（-）÷5] =1÷[×] =1÷ =40（天） 答：乙队单独做这项工程需40天． 32．4天 【详解】解法一：甲做了3天，完成的工作量是 =，乙还需要完成的工作量是1-= 乙每天能完成的工作量（工作效率）是，完成余下工作量所需时间是+=4（天） 解法二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解法三：甲与乙的工作效率之比是6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 答：乙需要做4天可完成全部工作. 33．9天 【分析】现在两队合作，期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（不存在两队同一天休息），可以看作甲队单独工作了5天，乙队单独工作了1天，剩下的任务由两队合作完成；把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷10和1÷20求出甲队和乙队的工作效率，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，分别用5×和1×求出甲队工作5天的工作量、乙队工作1天的工作量，然后用工作总量1减去甲队工作5天的工作量以及乙队工作1天的工作量，即可求出剩余的工作量，最后用剩余工作量除以两队的工作效率和，即可求出合作的天数，再加上1天和5天即可求出完成工程需要的实际天数。 【详解】1÷10＝ 1÷20＝ 甲队单独做5天，乙队单独做1天，共完成工作量： 5×＋1× ＝＋ ＝ 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 （1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝3（天） 3＋5＋1＝ 9（天） 答：整个工程共用了9天。 【点睛】本题考查了工程问题，注意合作问题中，如果有一队休息，证明另一队在单独工作。 34．5天半 【详解】解法一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半. 解法二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解法三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）. 35．天 【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，据此求出乙的工作效率，再计算工作时间。 【详解】甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的； 乙单独做每天能完成总量的； （天） 答：乙单独做20天能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，在工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。 36．54分钟 【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90， 其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 37．8人 【分析】本题实际上隐含着每个人的工作效率相同这个条件．要求出有多少人，关键是求出1个人的工作效率，也就是1个人1天的工作量，还要求出全组人1天的工作量． 【详解】设大片草地的面积为单位“1”，则小片草地的面积为．根据题中条件，可以知道，一半组员半天割，则一天割了，全组人员1天割了．由此还知道所剩的一小块面积应是：，也就是1人1天的工作量为．所以全组人数是． 38．分钟 【分析】三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满，那么进水的效率是，然后根据开一个出水孔和开两个出水孔的情况，求出一个孔出水的效率和孔的位置，然后再考虑开三个孔的情况。 【详解】设进水管每小时进水单位，那么水箱灌满后水的总量为，进水管每分钟进水量为。由于打开一个出水孔，则需要用分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这分钟内的出水量等于进水管分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：，同理可知打开两个出水孔时两个孔出水量为：，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了分钟水，所以一个孔每分钟出水量为：，那么开一个孔的实际出水时间为：（分钟）。这说明在前面的分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水。，即在进水管进了的水后出水孔才开始出水，此时还需进的水。所以，开三个出水孔所需的时间为： ＝30＋÷ ＝30＋52.5 ＝82.5（分钟） 答：需要用82.5分钟才能将水箱灌满。 【点睛】本题考查的是工程问题中的注水问题，求出一个孔出水的效率和孔的位置是求解问题的关键。 39．40 【分析】设1个人做1天的量为1，设原来的人数是未知数，根据题目的两种情况，表示出总的工程量，根据总工程量相等列方程，求出原来的人数，然后求出工程量是多少，再计算调走2人后所需的时间。 【详解】解：设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程； 解得： 如果调走2人，需要 （天） 所以调走2人后，完成这项工程需要40天。 【点睛】本题考查的是工程问题，列方程求解应用题时要合理设未知数，并找准等量关系。 40．3000 【详解】甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升．因此池中原有水3000升． 41．天 【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，求出甲、乙的工作效率之和，再计算合作的工作时间。 【详解】甲每天完成总量的，乙每天完成总量的； 两人合作每天能完成总量的 （天） 答：甲、乙合作需要12天。 【点睛】本题考查的是工程问题，当多人合作时，需要用合作的工作效率进行计算。 42．8时30分45秒 【详解】平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分．由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12=（分）．到9点时加工所用的时间为27+=（分）=29分15秒．所以开始时是8时30分45秒． 43．16天 【分析】甲先单独做5天，剩下的乙单独做，还需要45天，可以理解为甲乙合作5天，乙又单独做（45－5）天。甲、乙合做的效率是，根据“效率＝工作量÷天数”先求出乙的效率。再用合作效率减去乙的效率就是甲的效率。最后用乙先单独做12天后的剩余工作量除以甲的效率解答。 【详解】 （天） 答：剩下的甲单独做，还需要16天。 【点睛】本题考查工程问题的解法，需要灵活应用公式“工作总量＝工作效率×时间”。 44．400 【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件 45．天 【分析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期＋1天，第二种可能是完整周期 ＋2天，分情况进行讨论。 【详解】如果是第一种可能，有，得。然而此时甲、乙、丙的效率和为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。 再看第二种可能： 完整周期 不完整周期 完成总工程量 第一种情况 个周期 甲1天，乙1天 “1” 第二种情况 个周期 乙1天，丙1天，甲天 “1” 第三种情况 个周期 丙1天，甲1天，乙天 “1” 可得，所以，。因为甲单独做需天，所以工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为。 于是，一个周期内他们完成的工程量为。则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成。所以第二种可能是符合题意的。于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天。 答：完成工作要用天。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，此类问题通常与周期问题相结合。 46．小时 【分析】每人轮流做1小时，如果甲、乙轮流做，需要9.8小时，那么甲做了5小时，乙做了4.8小时；如果乙、甲轮流做，需要9.6小时，那么甲做了4.6小时，乙做了5小时；也就是甲做0.4小时完成的工程量乙需要0.2小时，可以求出二者工作效率的关系，进而求出乙的工作效率是多少，然后求工作时间。 【详解】根据题意，有： 可知，甲做小时与乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量。 所以，乙单独工作需要小时。 答：乙单独做这个工程需要7.3小时。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，求解问题的关键是找出两个人工作效率的关系，然后转化成一个人的工程问题。 47．180 【详解】48×[1＋125％×（1＋105％）]÷95％＝180（个）． 48．天 【分析】根据题目的条件，可以求出甲的工作效率，再根据甲、乙的关系，求出乙的工作效率，然后求出合作2天后剩下的工程量是多少，再计算所需要的时间。 【详解】 ； （天） 答：还要天才能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，也可以根据甲、乙的工作效率的关系，按照比例问题求解。 49．18个 【分析】我们把打扫完全部龙宫的工作量看作“1”，那么由题目知，2个蟹将和4个虾兵完成，8个蟹将和10个虾兵完成“1”．两相比较可知，当把第一个条件转化成2×4个蟹将和4×4个虾兵完成，就能消去蟹将，得出（4×4－10）个虾兵完成．这既可看作（4×4－10）个虾兵能打扫完全部龙宫的，也可看作（4×4－10）个虾兵占所需虾兵总数的．根据后者就可以比较简捷地求出单让虾兵打扫需要多少个，进而求出单让蟹将打扫需要多少个，使问题得到解决． 【详解】单让虾兵打扫所需要的个数为： 单让蟹将打扫所需要的个数为 所以，虾兵与蟹将要多30－12=18（个）． 50．25天 【详解】将1人1天完成的工作量称为1份．调来3人与调来8人相比，10天少完成（8-3）×10=50（份）．这50份还需调来3人干10天，所以原来有工人50÷10－3＝2（人），全部工程有（2+8）×10=100（份）．调来2人需100÷（2+2）=25（天）． 51．天 【分析】对比两种情况，可以发现甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量；根据二者的关系，转化成一个人求解。 【详解】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 从图中可以直观地看出：于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要（天）完成，即乙的工作效率是。 又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，为； 那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为： （天） 答：甲、乙合作，天可以完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是找出甲、乙工作效率的关系。 52．7：2 【详解】假设这20天都是乙做的，那么×20= 少做：1-= 甲工作的天数：÷（-） =÷ =14（天） 乙工作：20-14=6（天） 完成工作量的比是：（×14）：（×6）=7：2 53． 【详解】见下表：说明在第五天没有全天干活，那么第四天干完以后剩下：300－231.25＝68.75米， 那么共用时间为4+68.75÷210.625＝天． 天数 1 2 3 4 5 甲 10 20 40 80 160 乙 10 15 22.5 33.75 50.625 已挖 20 35 62.5 113.75 210.625 共挖 20 55 117.5 231.25 441.375 54．李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元 【分析】把这项工程看作单位“1”，已知刘、王合修，6天修好围墙的，则剩余这项工程的（1－），王、李合修，2天修好余下的，根据分数乘法的意义，得王、李2天修好这项工程的（1－）×，也就是；剩下的三人又合修5天才完成，三人5天完成了这项工程的（1－－），也就是，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷6即可求出刘、王的工作效率和，用÷2即可求出王、李的工作效率和，用÷5即可求出三人的工作效率和；然后用三人的工作效率和减去刘、王的工作效率和，即可求出李的工作效率；用王、李的工作效率和减去李的工作效率，即可求出王的工作效率；用刘、王的工作效率和减去王的工作效率，即可求出刘的工作效率；又已知刘军工作了（6＋5）天，王强工作了（6＋2＋5）天，李明工作了（2＋5）天，根据工作总量＝工作时间×工作效率，代入数据分别求出三人各自的工作量占总工作量的几分之几；然后把总工资看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总工资分别乘每个人工作量对应的分率，即可求出三人各自应得的工资。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 1－－＝ 刘、王的工作效率和： ÷6 ＝× ＝ 王、李的工作效率和： ÷2 ＝× ＝ 三人的工作效率和： ÷5 ＝× ＝ 李的工作效率：－＝ 王的工作效率：－＝ 刘的工作效率：－＝ 李的工作量： ×（2＋5） ＝×7 ＝ 王的工作量： ×（6＋2＋5） ＝×13 ＝ 刘的工作量： ×（6＋5） ＝×11 ＝ 李分得的工资：1800×＝560（元） 王分得的工资：1800×＝910（元） 刘分得的工资：1800×＝330（元） 答：李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元。 【点睛】解答本题的关键是求出每个人各自的工作量占总工作量的分率，然后根据分数乘法进行按劳分配。 55．小时 【详解】交替工作的问题，要注意“取整”的问题． 第一组工效为，第二组工效为 取整，所以第一组与第二组先各做7小时，共完成，余下的由第一组完成． 所以总时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $$