精品解析：江苏省苏州市名校联盟2024届高三下学期新高考考前指导数学试卷

2024届苏州市名校联盟新高考考前指导卷 数 学 2024.2 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（ ） A. 有99.5%的把握认为不成立 B. 有5%的把握认为的反面正确 C. 有95%的把握判断正确 D. 有95%的把握能反驳 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验的概念以及计算步骤，可得答案. 【详解】依题意，，因此有95%的把握反驳， 故选：D. 3. 设锐角与，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切的和角公式求出，再结合角，均为锐角，即可求出的值. 【详解】因为，，所以， 又因为角，均为锐角，所以，所以. 故选：A. 4. 设向量，向量，若且，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的坐标关系以及模长公式即可求解. 【详解】由和可得，解得， 故选：C 5. 设正实数a，b，m，n有，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将原式展开，再利用基本不等式即可求得最值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 故选：A. 6. 已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，计算出的大小，可得出，利用余弦定理求出，然后利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可解得该双曲线离心率的值. 【详解】如下图所示： 设，由题意可得，， 则，且，所以，， 因为，则， 由余弦定理可得， 所以，，由双曲线的定义可得， 即，故该双曲线的离心率为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 7. 设，，则中前的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，写出的展开式，利用二项式通项，写出展开式中前的系数，利用组合数的性质计算即得. 【详解】依题意，， 对于的通项为， 故中前的系数为： . 故选：D. 8. 把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A、C选项利用概率的乘法公式即可求解；B、D选项根据题意简化模型，结合全概率公式分析判断. 【详解】由题意得， 故AC均错误； 因为与其他牌无关，模型可以简化为4张A和一张红桃3， 可知翻出第一张A有如下4种可能：第一张为黑桃A、第一张为非黑桃A也非红桃3、 第一张为红桃3且第二张为黑桃A、第一张为红桃3且第二张为非黑桃A， 其相应的概率分别为， 则， 即，故B正确，D错误； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（ ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A. 4 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，要保证游戏的公平性，需要正n面体每个面出现的点数的可能性要要相同，据此选出正确选项. 【详解】第一步，根据题目，我们知道正n面体的骰子有 n个面，每个面的点数分别为1，2，...，n，投掷后每个点数出现的概率相等. 第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形. 第三步，设正n面体的每个面都是正m边形，每个顶点连接k条棱， 所以，则，所以， 又，且不能同时大于3，所以或， 解得或或或或， 我们可以得出n的取值应该是4 （正四面体）、6 （正六面 体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20 （正二十面体）. 故选：ABD 10. 随机变量X的分布列如下表，随机变量．设，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是（ ） X a 1 P p A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】当时，计算出，当时，根据得到方程，求出，A错误，BC正确；从而得到的可能取值和对应的概率，求出期望值. 【详解】由，故， ，， ， 当时，， 即， 当时，， 即，解得，A错误，BC正确； D选项，的可能取值为， ，， ， ， 故，D错误. 故选：BC 11. 从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转.某苏州地区（经纬度约120°E，31°N）的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的轨迹是（ ） A. 半圆形 B. 双曲线 C. 直线 D. 椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】在观测地建立空间直角坐标系，借助地理知识，推出在观测点的杆影的轨迹方程 【详解】根据题意可知，杆影可能的轨迹即太阳的视运动轨迹. 为了得到太阳投影轨迹的表达式，首先先建立竿测影时的观测站坐标系， 再计算太阳每个瞬间在天球（与地球同球心，并具有相同的自转轴，半径无限大的球体）上的位置和观测平面上的投影，为投影轨迹的整体推导做好单点公式计算. 苏州地区位于31°N，即太阳周年回归运动范围（23°26′N~0°~23°26′S）以北，全年太阳在正午时分位于该地的正南方. 设地理兴趣小组所在的观测地的右手正交坐标系，立测竿处为原点， 令分别是坐标轴的单位矢量，正南为轴，正东为轴，向上为轴（如下图）. 那么当测竿指向天顶（杆的正上方）时，其太阳投影在平面上. 结合苏州的纬度位置可知，正午时投影指向正北. 图中立竿测影观测站右手坐标系，黄色点为观测站的位置，纬度为； 轴指向正南，轴指向正东，轴指向天顶； 贯穿地球南北极的蓝色轴为地轴，从地心出发的红色轴与观测站的轴平行，是以存在如坐标系描述的互余赤经差计算方式. 球面三角形中，若已知两边弧角和夹角，求对边的弧角c的大小， 由球面三角边的余弦定理可得：（1） 由天文知识可知，赤经差（赤经差是指在天球赤道坐标系统中， 两个天体之间的赤经之差.赤经是描述天体在天球赤道上的位置的一个坐标值， 类似于地球上的经度.赤经差用于确定两个天体之间的相对位置）是绕天轴（地轴的无限延伸）的二面角， 于是有以下替换关系：（2） 如果天球上相同赤经的两点，赤纬分别为，点绕天轴旋转弧度到达点， 令两点间大圆弧角为，那么：（3） 如果太阳直射点纬度为，那么周日视运动即以地心为原点，围绕地轴以的夹角做圆周运动. 当与观测点的经度差为时，令太阳方向与观测点的三个坐标轴的夹角分别为， 则观测站到太阳的单位矢量为：（4） 应用（2）式时参数系列可得如下的对应关系： ，， 根据球面三角边的余弦定理的等价公式（3），代入上述对应关系， 则有：（5）， （6）， （7）， 令测竿投影与测竿矢量分别为：，（8）， 由于太阳距离地球距离较远，其光线可近似视作平行的直射光线， 从杆顶到投影点的指向：（9）， 与太阳方向矢量平行则有：， 解得投影坐标：（10）， （11）， 即立杆测影的太阳投影坐标表达式. 对立竿测影坐标计算公式（10）、（11），要得到这些坐标点的整体曲线方程， 其关键在于消除这个与时间相关参数，让投影轨迹只用测竿长度、观测站和太阳直射点的纬度来表示. 由（10）式可得：， 再由（11）式并使用上式结果，可得： ， 通过三角恒等式，代入时角正余弦的计算式， 则有：， 两边同时加上：， 化简可得：（12）， 即立竿见影时在观测平面上的太阳投影的轨迹公式. 苏州地区位于31°N，因此可以将代入式（12）中，得到双曲线型的太阳投影（如下左图）. 当，即直射赤道（即二分日）时，会出现结果是直线（如下右图）的特殊情况. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意建立空间直角坐标系，从而利用相关知识即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转化为求正四面体的高，正三角形的重心坐标公式即可． 【详解】由已知正四面体ABCD的棱长为1，所以D的竖坐标正四面体的高， 的外接圆半径为， 所以正四面体的高为， 而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标，， 所以， 故答案为：. 13. 等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层. 设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意，求出，设等差数列的公差为，则，即可解出数列的公差. 【详解】由题意的，设等差数列的公差为， 则， 即，解得. 故答案为：4. 14. 现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点飞行到B点，可能的飞行路径共有______种（用数字作答）． 【答案】296 【解析】 【分析】从高度为的顶点沿竖直向上的棱飞到高度为的顶点，一共有处，计算通过这条棱各自的情况总数，再相加即可. 【详解】 从高度为的顶点沿竖直向上的棱飞到高度为的顶点，一共有处，分别记为， 点下方的点记为，点上方的点记为. 从到有种路径，沿竖直的棱向上飞再到有种路径； 从到有种路径，沿竖直的棱向上飞再到有种路径； 从到到有种路径，从到到有种路径， 则从到有种路径，沿竖直的棱向上飞再到有种路径； 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径， 则从到有种路径，再到有种路径； 又到有种路径，则从到到有种路径. 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，沿竖直的棱向上飞再到有种路径， 则从到竖直向上再到有种路径. 从到到有种路径，从到到到有种路径， 沿竖直的棱向上飞再到有种路径， 则从到竖直向上再到有种路径. 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到到有种路径，从到到到有种路径， 再到有种路径， 则从到到有种路径. 因此从到可能的飞行路径共有种. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：排列组合复杂的问题关键在于做好分类讨论，如何找到合适的分类标准非常重要。本题找到高度1飞到高度2的路径，以此为分类方法去讨论，可以找到合适且清晰的思路. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等． （1）记的导数为，若，求； （2）若是的渐近线，则我们称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）． 【答案】（1） （2）当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，将与代入中化简求解即可； （2）根据题意要函数瞬时变化率最大，即转化为求的最大，利用函数导数求解分析即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 此时 因为， 所以 即，由， 所以，解得． 【小问2详解】 由题知， 要函数瞬时变化率最大，即求的最大值， 则令， 令，则， 解得（舍），，解得．因此可列表： x ＋ － ↗ ↘ 因此可得是的极大值点，也是最大值， 因此在时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量， 因此． 而，所以， 因此可知当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量． 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． （1）求证：是直角三角形； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 【答案】（1）设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设平面PAB平面PCD，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形； （2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值； （3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的知识可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为． 【小问3详解】 设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取， ，不妨设， ，，因此随增大而增大，因此． 17. 平面直角坐标系xOy中，有一直线与圆．过O作直线m交圆C与直线l分别于、两点．取射线OA上一点Q，使得．记Q的轨迹为E．设，，并设，． （1）分别用含的式子和含、的式子表示，并求E的方程； （2）设抛物线．直线交E于点M，记OM的中垂线为直线，若直线n与曲线Γ相切，求Γ的标准方程． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合，，，表示出即可； （2）将与E联立，得到线段的中点为，从而求出直线n与抛物线联立，即可解出，即可得Γ的标准方程. 【小问1详解】 ， 则． 因此．而且， 代入得，因此E的方程为 【小问2详解】 将与E联立：，得， 易知，线段的中点为， 则直线n：，即． 与抛物线联立：， 即，，解得或0（舍去） 因此． 18. 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． （1）求的面积； （2）设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案； （2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R. 【小问1详解】 可知，即，解得． 【小问2详解】 可知内接圆的半径． 连接IB、OB，设，则． 不妨设外接圆半径为R，则． 由角度关系，， 因此代入有 ， 整理：． 右式 由于，因此，解得． 19. 设平面内一圆，圆上有个点，将这个点两两连线，已知任意三条连线都不共点，设所有连线将圆分为了个区域． （1）在圆上画出的情形，并直接写出 ． （2）现希望求圆内所有弦交点的个数，数学小组位同学发表了以下观点． 小明：由于两条弦会交于一点，因此我用计算； 小红：我觉得不对，时显然不成立． 小红这么说的理由除了举反例，还可以怎么说明？从交点的形成方式的角度请给出你的计算方法． （3）数学小组同学发现，对于平面内任意无相交线的节点图，若其有个顶点，条连线并切割出了个区域，则一定有，如当平面内仅有一个点时，，，显然满足公式．利用本题给出的所有信息，求．你能解释为什么取到某些值时，是的次幂吗？ 【答案】（1） ； （2） 约定当非负整数满足时，有. 由于存在两条弦的交点不存在于圆内，因此不能直接用进行计算． 注意到由于每个交点都唯一对应圆上的一个由四个不同的点构成的四边形的对角线交点，因此计算交点数可以用． （3） 将每个交点及圆上的点看作整幅图的顶点，两两用线段连接后构成平面图，则，（从圆内的个区域中去掉最外层的个月形区域，再将整个外部视为个区域）. 同时，设是某个顶点，是某条线段，我们考虑所有满足“是线段的端点”的顶点-线段对的数量. 一方面，每条线段都有两个端点，所以这个数量显然是； 另一方面，每个圆内部的交点都引出条线段，每个圆上的点都引出条线段，所以这个数量是. 这就得到，所以. 由于，故，得. 由于，. 故当即时，可根据得出，这就说明了取到某些值时，是的次幂. 【解析】 【分析】（1）直接画图即可得答案； （2）由于存在两条弦的交点不存在于圆内，因此不能直接用进行计算，但每个交点都对应一个圆内接四边形，所以计算交点数可以用； （3）利用组合数的性质结合二项式定理即可求得答案. 【小问1详解】 如图；． ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系、数列及二项式定理的综合问题，属于较难题. 解决问题的关键在于能够准确画出直线与圆相交时将圆分成了多少块区域，从而结合二项式定理的知识即可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届苏州市名校联盟新高考考前指导卷 数 学 2024.2 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（ ） A. 有99.5%的把握认为不成立 B. 有5%的把握认为的反面正确 C. 有95%的把握判断正确 D. 有95%的把握能反驳 3. 设锐角与，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，向量，若且，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 或1 5. 设正实数a，b，m，n有，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则中前的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正n面体的骰子来进行游戏．下列数字可以作为n的取值的是（ ） 可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为，则. A. 4 B. 12 C. 16 D. 20 10. 随机变量X的分布列如下表，随机变量．设，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是（ ） X a 1 P p A. B. C. D. 11. 从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转.某苏州地区（经纬度约120°E，31°N）的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的轨迹是（ ） A. 半圆形 B. 双曲线 C. 直线 D. 椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是______． 13. 等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层. 设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为______． 14. 现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点飞行到B点，可能的飞行路径共有______种（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等． （1）记的导数为，若，求； （2）若是的渐近线，则我们称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）． 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． （1）求证：是直角三角形； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）求平面与平面的夹角余弦值的范围． 17. 平面直角坐标系xOy中，有一直线与圆．过O作直线m交圆C与直线l分别于、两点．取射线OA上一点Q，使得．记Q的轨迹为E．设，，并设，． （1）分别用含的式子和含、的式子表示，并求E的方程； （2）设抛物线．直线交E于点M，记OM的中垂线为直线，若直线n与曲线Γ相切，求Γ的标准方程． 18. 在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． （1）求的面积； （2）设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 19. 设平面内一圆，圆上有个点，将这个点两两连线，已知任意三条连线都不共点，设所有连线将圆分为了个区域． （1）在圆上画出的情形，并直接写出 ． （2）现希望求圆内所有弦交点的个数，数学小组位同学发表了以下观点． 小明：由于两条弦会交于一点，因此我用计算； 小红：我觉得不对，时显然不成立． 小红这么说的理由除了举反例，还可以怎么说明？从交点的形成方式的角度请给出你的计算方法． （3）数学小组同学发现，对于平面内任意无相交线的节点图，若其有个顶点，条连线并切割出了个区域，则一定有，如当平面内仅有一个点时，，，显然满足公式．利用本题给出的所有信息，求．你能解释为什么取到某些值时，是的次幂吗？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $