精品解析：江苏省南通市海门区海门区东洲国际学校2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

南通市海门区东洲国际学校2023-2024学年度 八年级上学期期末模拟考试 数学·试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 2. 下列为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，点、B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A. 8，7 B. 8，8 C. 8.5，8 D. 8.5，7 5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 6. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 7. 下列运算正确的是（ ） A. =±2 B. =-4 C. ﹣|﹣2|＝2 D. =-2 8. 如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　） A. PE＝6 B. PE＞6 C. PE≤6 D. PE≥6 9. 如果关于、的方程组无解，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线相交于点M，且与边分别相交于点D、E，连接、，则的周长（ ） A. 大于10 B. 等于10 C. 小于10 D. 不能确定 二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 图中点P的坐标可能是____________． 12. 如图，工人师傅砌窗时，为使长方形窗框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据________________． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 14. 若x、y满足方程，则的值是____________． 15. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元． 16. 如图，在中，，，是的中点，点在上，过点作，交于点．如果，则四边形的周长是__． 17. 如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______． 18. 如图，在直角三角形中，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则的最小值是_______． 三．解答题（共96分） 19. 计算 （1）． （2） 20. 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 21. 如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长． 22. 列方程(组)解应用题： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 23. 在中，是的角平分线，， （1）如图1，是边上的高，，，求的度数； （2）如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论． 24. 为转变教育管理方式并为学校教育教学提供参考，某区随机抽取八年级若干名学生参加2021年国家义务教育质量检测，并将测试中的数学成绩a（分数）分成A，B，C，D，E五个等级（A：90≤a≤100，B：80≤a＜90，C：70≤a＜80，D：60≤a＜70，E：a＜60），绘制出了如图两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出抽查的学生人数______，及m=______； （2）请补全条形统计图，该组数据的中位数在______等级； （3）若该区八年级共有学生8000人，数学成绩a≥80为优秀，请估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有多少人？ 25. 如图1，直线与坐标轴分别交于两点，过点的直线交轴于点． （1）求直线的解析式并判定的形状； （2）如图2，若点，是直线上的一动点，连接，当的值最小时，求点的坐标，并求出这个最小值； （3）如图3，将直线向上平移个单位，与坐标轴交于点，分别以为腰，点为直角顶点分别在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，求的长度． 26. 勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． 【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． 【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． 【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． 【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 27. 如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A作匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B作匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段向点B运动，点F运动到点B时，点E随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒（），正方形与重叠部分的面积为S． （1）当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； （2）当时，求S与t的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区东洲国际学校2023-2024学年度 八年级上学期期末模拟考试 数学·试题卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，熟知有理数的减法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 在直角坐标系中，点、B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵在直角坐标系中，点、B关于x轴对称， ∴点B的坐标是， 故选：B． 4. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A. 8，7 B. 8，8 C. 8.5，8 D. 8.5，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数与中位数的定义可以直接得到答案． 【详解】解：因为全班抽取了人，所以一共有40个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据分别为8，8，所以这一组数据的中位数是， 这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7． 故选A． 【点睛】本题考查的是中位数与众数的概念，掌握这两个概念是解题的关键． 5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，做题时要根据已知条件进行选择运用．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法： 第二块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 6. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 7. 下列运算正确的是（ ） A. =±2 B. =-4 C. ﹣|﹣2|＝2 D. =-2 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值及立方根的意义逐项计算即可. 【详解】A. =2，故不正确； B. =4，故不正确； C. ﹣|﹣2|＝-2，故不正确； D. =-2，故正确； 故选D. 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、负整数指数幂、绝对值及立方根的意义是解答本题的关键. 8. 如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　） A. PE＝6 B. PE＞6 C. PE≤6 D. PE≥6 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解． 【详解】解：过P点作PH⊥AB于H，如图， ∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，PH⊥AB， ∴PH＝PD＝6， ∵点E是边AB上一动点， ∴PE≥6． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及点到直线的距离中，垂线段最短，理解题意是解题的关键． 9. 如果关于、的方程组无解，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】方程组无解，即直线与平行，那么，求出k的值，进而求解即可． 【详解】解：∵方程组无解， ∴直线与平行， 即直线与平行， ∴ 解得， ∴直线 ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象与系数的关系，求出k的值是解题的关键． 10. 如图，中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线相交于点M，且与边分别相交于点D、E，连接、，则的周长（ ） A. 大于10 B. 等于10 C. 小于10 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=EC，可知的周长等于BC长，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线和边的垂直平分线相交于点M，且与边分别相交于点D、E， ∴AD=BD，AE=EC， 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出的周长等于边长． 二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 图中点P的坐标可能是____________． 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】本题主要考查了第三象限内的点的坐标特点，根据第三象限内的点横纵坐标都为负数写出符合题意的坐标即可． 【详解】解：∵点P在第三象限， ∴点P的横纵坐标都为负数， ∴点P的坐标可能是， 故答案为：． 12. 如图，工人师傅砌窗时，为使长方形窗框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据________________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构． 【详解】解：工人师傅砌窗时，为使长方形窗框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 14. 若x、y满足方程，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法把两个方程相减即可得到答案． 【详解】解： 得：， 故答案为：． 15. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元． 【答案】210． 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决． 【详解】设当时，对应的函数解析式为， ，得， 即当时，对应的函数解析式为， 当时，， 由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元）， （元）， 即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元， 故答案为210． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 16. 如图，在中，，，是的中点，点在上，过点作，交于点．如果，则四边形的周长是__． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，EF，根据AAS证明△AED≌△CFD，再根据勾股定理可得EF的长，由△DEF是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CD，EF， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=45°， ∵D是AB的中点， ∴CD=AB=AD． ∴∠DCA=∠A=∠DCB=45°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF=90°， ∴∠DEF+∠DFC=180°， ∵∠AED+∠DEF=180°， ∴∠AED=∠DFC， 在△AED和△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF，AE=CF=2cm， ∴CE=AC-AE=6-2=4（cm）， ∴EF=（cm）， ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴DE2+DF2=EF2， ∴2DE2=EF2， ∴DE=DF=EF=， ∴四边形CEDF的周长是CE+CF+DE+DF=CE+AE+2DE=AC+2DE=（6+2）cm． 故答案为：（6+2）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 17. 如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______． 【答案】225° 【解析】 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【详解】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 18. 如图，在直角三角形中，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则,当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】如图，连接， ， 四边形是矩形， ， ∵点P是的中点， ∴点P是和的交点， ， ， ， 当时，取得最小值， ， ． ． 即的最小值是 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 三．解答题（共96分） 19. 计算 （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算零指数幂，算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【答案】 如图所示：点即为所求 ∵仓库到大学和大学的距离相等， ∴仓库应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离的相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴连接，分别以点，为圆心，大于为半径画圆弧，两圆弧相交于，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画圆，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画圆，两圆相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线，角平分线的知识，解题的关键是根据题意，仓库到大学和大学的距离相等，应在线段的垂直平分线上，点到公路，的距离的相等，应该在公路，的角平分线上，仓库点即为两条线段的交点，即可． 【详解】略 21. 如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF， 即AF＝CE， ∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC， 在△ADF和△CBE中，， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论； （2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）∵∠CEB＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE＝3， ∴CF＝AE＝3， ∴AC＝AE＋EF＋CF＝3＋2＋3＝8． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 22. 列方程(组)解应用题： 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 【答案】有人，该物品价值元． 【解析】 【分析】设有人，该物品价值元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】设有人，该物品价值元， 根据题意得： 解得：． 答：有人，该物品价值元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 23. 在中，是的角平分线，， （1）如图1，是边上的高，，，求的度数； （2）如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 解：结论：． 理由：如图2，过作于， ， ， ， 由（1）可得，， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题． （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到． 【小问1详解】 解：如图1 平分， ， ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 略 24. 为转变教育管理方式并为学校教育教学提供参考，某区随机抽取八年级若干名学生参加2021年国家义务教育质量检测，并将测试中的数学成绩a（分数）分成A，B，C，D，E五个等级（A：90≤a≤100，B：80≤a＜90，C：70≤a＜80，D：60≤a＜70，E：a＜60），绘制出了如图两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出抽查的学生人数______，及m=______； （2）请补全条形统计图，该组数据的中位数在______等级； （3）若该区八年级共有学生8000人，数学成绩a≥80为优秀，请估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有多少人？ 【答案】（1）200，15 （2） 补全图形如下： B （3）估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有4800人． 【解析】 【分析】（1）由D等级人数及其所占百分比可得被抽查的学生人数，用A等级的人数除以总人数即可得出m的值； （2）用总人数分别乘以B、C等级所占百分比可得其人数，再补全统计图；根据中位数的定义即可得出答案案； （3）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占百分比可得答案． 【小问1详解】 解：抽查的学生人数为20÷10%=200（人）； m%=×100%=15%，即m=15． 故答案为：200，15； 【小问2详解】 解：B等级人数为200×45%=90（人）， C等级人数为200×27.5%=55（人）， ∵共有200人，中位数是第100、101个数的平均数， ∴该组数据的中位数在B等级； 故答案为：B； 【小问3详解】 解：估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有8000×=4800（人）． 答：估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有4800人． 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 25. 如图1，直线与坐标轴分别交于两点，过点的直线交轴于点． （1）求直线的解析式并判定的形状； （2）如图2，若点，是直线上的一动点，连接，当的值最小时，求点的坐标，并求出这个最小值； （3）如图3，将直线向上平移个单位，与坐标轴交于点，分别以为腰，点为直角顶点分别在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，求的长度． 【答案】（1），△ABC为直角三角形；（2）的最小值为，此时点；（3）． 【解析】 【分析】（1）分别令、，解得直线与轴的交点，再设直线的解析式为：，代入点与，即可解得直线的解析式，在中，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形； （2）过点作轴于点，则可得，解得，根据两点之间线段最短，可得的最小值即为线段的长，根据勾股定理可解得线段的长，设直线为：，代入与，可解得直线的解析式，再求得直线与直线的交点的坐标； （3）根据平移的性质，可得直线的解析式为：，分别解得与轴的交点的坐标，继而可知的长，过点作GQ⊥y轴于点，证明≌，再根据全等三角形的性质解得，，继而得到点的坐标，根据等腰直角三角形的性质解得，利用待定系数法解得直线的解析式，最后求得其与轴的交点，即可解题． 【详解】（1）当时，即，解得， ∴ 当时，， ∴ 设直线的解析式为：且与x轴交于点 ∴， 解之 所以直线BC为： 在Rt中，， ∴ 在Rt中，， ∴ 又∵ 在中， ∴为直角三角形； （2）如图2，由（1）知，为直角三角形， ∴点关于直线的对称点在线段的延长线上，且 过点作轴于点，则可得 ∴, ∴ ∴的最小值即为线段的长： 设直线为：， 则， 解之： ∴ 联立方程组， 解之得： ∴此时，点 综上，的最小值为，此时点 （3）如图3，将向上平移个单位后， 直线的解析式为： ∴， ∴， 过点作GQ⊥y轴于点， ∵是以点为顶点的等腰直角三角形 ∴， 又 ∴ ∴≌ ∴， ∴ ∵是以点为顶点的等腰直角三角形 ∴ ∴ 设直线为： 则有： 解之： ∴直线为 ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及勾股定理及其逆定理、二元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键． 26. 勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题． 【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）． 请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）． 【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________． 迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________． 【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________． 迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________． 【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？ 【答案】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab； 图③的面积为c2+2ab=c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， 即a2+b2=c2； 【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47； 【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30； 【探究四】绳索长为尺． 【解析】 【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题． 【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3； 迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积； 【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小； 迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解； 【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】【探究一】：略 【探究二】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3=c2，S1=a2，S2=b2， ∴S1+S2=a2+b2=c2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47； 故答案为：47； 【探究三】S1+S2=S3． 证明如下： ∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2， ∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3； 故答案为：S1+S2=S3； 迁移应用： 阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab， ∵a=5，c=13， ∴12， ∴阴影部分面积和=×5×12=30， 故答案为：30； 【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得： x2-（x-3）2=82， 解得：x=， 答：绳索长为尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． 27. 如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A作匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B作匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段向点B运动，点F运动到点B时，点E随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒（），正方形与重叠部分的面积为S． （1）当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； （2）当时，求S与t的函数关系式． 【答案】（1）3； 8. （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，.等腰三角形的判定与性质，正方形的性质．恰当分类并正确表示动点运动的线段的长是解题的关键． （1）当时，根据即可求出EF的值，当时，点E运动到点A后返回，，由此即可求出的值； （2）当点H在线段上时，可求出，可分两种情况讨论：当时，，只需用t的代数式表示出即可解决问题；当时，，只需用t的代数式分别表示出即可解决问题． 【详解】解：（1）当时，． 当时，． （2）当点H在线段上时， 则有，即， 解得： ． ①当时， ， 则； ②当时， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ = =． 综上所述：S与t的函数关系式为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $