精品解析：重庆市八中渝北龙兴中学校2023-2024学年七年级上学期期末数学模拟试卷

渝北八中2023-2024学年七年级上数学期末模拟试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框黑． A卷 一、选择题 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列说法正确的是（     ） A. 的系数是 B. 的次数是次 C. 是多项式 D. 的常数项为 3. 若关于x的方程的解是，则a的值等于（　　） A. 8 B. 0 C. 2 D. 4. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 将去括号，应该等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中①绝对值等于本身的数是正数；②相反数等于本身的数是0；③平方等于本身的数是1和0；④倒数等于本身的数是1．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第个图形由( )个圆组成． A. 37 B. 61 C. 91 D. 127 8. 一件商品按成本价提高后标价，又以9折销售，这样每卖出一件商品可获利20元．设该商品一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ） A. 5 B. C. 或 D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第52次《中国互联网络发展状况统计报告》：截至2023年6月，我国网民规模达人，其中可用科学记数法表示为______． 12. 40°43′30″=__________度． 13. 一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角的度数为_____． 14. 如图，当时钟指向9点整时，时针与分针的较小夹角为90度，当时钟指向上午时，时针与分针的较小夹角为______度． 15. 若，，则代数式________． 16. 如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图②，则图②中的∠CFG的度数是_____________． 三、解答题（本大题共5小题，其中17题8分，18题6分、19题8分，20题8分，21题6分，共36分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知：关于的多项式的值与的取值无关． （1）求，的值； （2）求的值． 20. 完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据． 如图，已知：，，，求证：． 证明： _______（ ） _______（ ） 即， ． ， ___________． _______（ ） ． 21. 如图，在同一平面内有三个点A、B、C． （1）连接AC，画出直线AB，射线BC； （2）尺规作图（保留作图痕迹）：在线段AC上作一点D，使得． B卷（50分） 四．选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 22. 已知，，且，则的值为（ ） A. 1或7 B. 1或 C. 或7 D. 或 23. 我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为．则以下几种说法：①若，则；②方程的整数解为．③式子的最小值为9；④若，则的最小值为．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 五．填空题（本大题共3小题，每小题4 分，共12 分）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 24. 已知关于的方程的解为整数，且为整数，则满足条件的所有的值为 _____________． 25. 三位正整数，其各个数位上的数字均不为0，将的百位数字与个位数字交换后得到，规定，则______（用含的式子来表示）．若的十位数字，且．将的百位数字截去放在的个位数字的后面得到，的百位数字截去放在的个位数字的后面得到，若能被12整除，则所有满足条件的的和为______． 26. 已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当______时，的某一边平分（指不大于180°的角）． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）请将每个小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 27. 某商场分别购进了甲乙两种型号扫地机器人40台与20台，已知甲种型号扫地机器人每台的进价比乙种型号扫地机器人每台的进价便宜10%，甲种型号扫地机器人每台售价1100元，乙种型号扫地机器人每台售价1500元． （1）“双十一”期间商场促销，乙种型号扫地机器人按售价八折出售，甲种型号扫地机器人按原价销售．某公司一共花了10300元买了甲乙两种型号扫地机器人共9台．问某公司甲、乙两种型号扫地机器人各买了多少台？ （2）在（1）的条件下甲乙两种型号扫地机器人销售一空，甲种型号扫地机器人利润是乙种型号扫地机器人利润的2倍．问甲乙两种型号扫地机器人每台进价各是多少元？ 28. 如图，点C、D、E是线段AB上依次排列的三个点，，． （1）若，，求线段CE的长； （2）若点C、D、E在线段AB上运动，始终保持，．请问的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若改变，请说明理由． 29. 如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； （2）三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北八中2023-2024学年七年级上数学期末模拟试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框黑． A卷 一、选择题 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 下列说法正确的是（     ） A. 的系数是 B. 的次数是次 C. 是多项式 D. 的常数项为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式及多项式，熟练掌握单项式及多项式的相关概念是解题的关键．根据单项式次数、系数的定义，以及多项式的有关概念解答即可． 【详解】解：A、的系数是，故该选项错误； B、的次数是次，故该选项错误； C、是多项式，故该选项正确； D、的常数项为，故该选项错误； 故选：C． 3. 若关于x的方程的解是，则a的值等于（　　） A. 8 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解本题的关键在理解一元一次方程的解．根据题意，将代入，解出即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，可得， 解得． 故选：A． 4. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，则，不符合题意． B、若，则，不符合题意． C、若时， 才成立，符合题意． D、若，则，不符合题意． 故选：C． 5. 将去括号，应该等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据去括号规则：括号前是“+”号,去括号时连同它前面的“+”号一起去掉,括号内各项不变号；括号前是“－”号,去括号时连同它前面的“－”号一起去掉,括号内各项都要变号. 本题主要考查了去括号,关键是注意符号的变化，尤其是括号前是“－”号时. 【详解】解： 故选：D 6. 下列说法中①绝对值等于本身的数是正数；②相反数等于本身的数是0；③平方等于本身的数是1和0；④倒数等于本身的数是1．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数、有理数的乘方，根据绝对值、相反数、倒数、有理数的乘方逐项判断即可得出答案，熟练掌握绝对值、相反数、倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：绝对值等于本身的数是正数和0，故①错误，不符合题意； 相反数等于本身的数是0，故②正确，符合题意； 平方等于本身的数是1和0，故③正确，符合题意； 倒数等于本身的数是1和，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 7. 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第个图形由( )个圆组成． A. 37 B. 61 C. 91 D. 127 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，所构成的图形是轴对称图形，沿中间的一排分开，两边对称，最上边的一行是个圆，下面一排比上边的一排多一个，直到中间的一排，中间的一排是个．中间的下边的每排依次减少． 【详解】解：最上边的一排是，第二排是，第三排是，，第排是； 第排以下，各排的个数分别是，，． 则第个图形的圆的个数是： ． 当时，， 故选：C． 8. 一件商品按成本价提高后标价，又以9折销售，这样每卖出一件商品可获利20元．设该商品一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该商品一件的成本价为元，根据售价减进价等于利润得到关于x的方程即可．此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该商品一件的成本价为元，根据题意可得， ． 故选：A． 9. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案． 【详解】解：去分母得：； 故选：C． 【点睛】去分母时，方程两端同时乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 10. 已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ） A. 5 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，求得，设，当点E在线段之间时，得到，求得，进而即可求出；当点E在线段之间时，同理可求出与条件不符，故舍去； 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴． 设， 当点E在线段之间时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段之间时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍； 综上可得． 故选B． 【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第52次《中国互联网络发展状况统计报告》：截至2023年6月，我国网民规模达人，其中可用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 40°43′30″=__________度． 【答案】40.725 【解析】 【分析】根据小单位化大单位除以进率，可得答案． 【详解】解：∵1′=60″， ∴30″=0.5′， ∴43′30″=43.5′， ∵1°=60′， ∴43.5′=0.725°， ∴40°43′30″=40.725°． 故答案为：40.725 【点睛】本题考查了度、分、秒的换算，掌握大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率是解题的关键． 13. 一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角的度数为_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．设这个角为，根据一个角的补角比它的余角的3倍还多，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角为，由题意得 ， 解得． 即：这个角的度数为 故答案为：． 14. 如图，当时钟指向9点整时，时针与分针的较小夹角为90度，当时钟指向上午时，时针与分针的较小夹角为______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据分针一分钟转，时针一分钟转，进行计算即可． 【详解】解：1到12把圆周分为12份，一份为； ∴分针一分钟转，时针一分钟转：， 当时钟指向上午时，分针10分钟转动了；时针10分钟转动了：； ∴时针与分针的较小夹角为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查钟面角的度数．熟练掌握分针1分钟转，时针一分钟转，是解题的关键． 15. 若，，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】把已知式子变形后代入要求的式子即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 16. 如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图②，则图②中的∠CFG的度数是_____________． 【答案】130° 【解析】 【详解】∵AD∥BC，∠DEF=25°， ∴∠BFE=∠DEF=25°， ∴∠EFC=155°， ∴∠CFG=155°-25°=130°． 故答案为130°． 点睛：本题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质． 三、解答题（本大题共5小题，其中17题8分，18题6分、19题8分，20题8分，21题6分，共36分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2）1 【解析】 【分析】（1）先去掉绝对值，然后算乘方，最后算加减即可求出答案； （2）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的即可求出答案． 【详解】解：（1） = =0； （2） = = = =1． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）x=2；（2）x=10． 【解析】 【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项合并得：- x=-2， 解得：x=2； （2） 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：-8x=-80， 解得：x=10． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法，正确去分母合并同类项是解题关键． 19. 已知：关于的多项式的值与的取值无关． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据多项式的值与的取值无关得出，，进行计算即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再代入，进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：原式， 关于的多项式的值与的取值无关， ，， ，； 【小问2详解】 解：原式， 当，时，原式． 20. 完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据． 如图，已知：，，，求证：． 证明： _______（ ） _______（ ） 即， ． ， ___________． _______（ ） ． 【答案】，两直线平行，内错角相等；，垂直的定义，，，内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （垂直的定义）， 即， ． ， ． （内错角相等，两直线平行）， ． 故答案为：，两直线平行，内错角相等；，垂直的定义，，，内错角相等，两直线平行 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 如图，在同一平面内有三个点A、B、C． （1）连接AC，画出直线AB，射线BC； （2）尺规作图（保留作图痕迹）：在线段AC上作一点D，使得． 【答案】（1） 直线AB，射线BC；如图所示， （2） 点即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据题意作出线段，直线，射线即可； （2）在线段上截取，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图-作线段等于已知线段，画线段、射线、直线，掌握线段、射线、直线的特点是解题的关键． B卷（50分） 四．选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 22. 已知，，且，则的值为（ ） A. 1或7 B. 1或 C. 或7 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出x和y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴或， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和平方运算，解题关键是理解绝对值的意义，能利用绝对值的情况判断式子的正负． 23. 我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为．则以下几种说法：①若，则；②方程的整数解为．③式子的最小值为9；④若，则的最小值为．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值与数轴的应用，根据数轴上两点之间的距离，绝对值的意义求解即可．解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义． 【详解】①若， ∴x表示的数到8的距离等于3 ∴或，故原说法错误， ②∵ ∴x表示的数到的距离加上x表示的数到4的距离等于6， ∵到4的距离为6 ∴x在和4之间及端点， ∴方程的整数解有，，0，1，2，3，4故原说法错误； ③式子表示的是a表示的数到的距离加上a表示的数到4的距离加上a表示的数到1的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时，故原说法正确； ④∵ ∴ ∵表示a表示的数到0的距离加上a表示的数到的距离， ∴当，时，最小值为2，此时a的最小值为， 表示b表示的数到1的距离加上b表示的数到4的距离， ∴当，时，最小值为3，此时b的最小值为1， 表示c表示的数到1的距离加上c表示的数到的距离， ∴当时，最小值为7，此时c的最小值为， ∵， ∴的最小值为，故原说法正确． 综上所述，正确的有2个． 故选：B． 五．填空题（本大题共3小题，每小题4 分，共12 分）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 24. 已知关于的方程的解为整数，且为整数，则满足条件的所有的值为 _____________． 【答案】5或3或1或 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程及数的整除，解方程得，根据方程的解为整数，得到3能被整除，列出所能整除3的数即可得出的值，解方程并列出3能被整除的所有情况是解本题关键． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得， 方程的解为整数，为整数， 3能被整除， ，或，或，或， ，或，或，或， 故答案为：5或3或1或． 25. 三位正整数，其各个数位上的数字均不为0，将的百位数字与个位数字交换后得到，规定，则______（用含的式子来表示）．若的十位数字，且．将的百位数字截去放在的个位数字的后面得到，的百位数字截去放在的个位数字的后面得到，若能被12整除，则所有满足条件的的和为______． 【答案】 ①. ## ②. 462 【解析】 【分析】本题是数字问题，考查了列代数式，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键．首先表示出三位正整数，，然后代入求解即可；首先表示出，，然后根据的十位数字，得到，然后分别代数求解即可． 【详解】∵三位正整数， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵的十位数字 ∴ ∵能被12整除， ∴设（t为正整数）， ∴ ∴通过逐个代数求解可得， 当，时，，此时，符合题意， ∴ ∴； ∴当，时，，此时，符合题意， ∴ ∴； ∴ ∴所有满足条件的的和为462． 故答案为：，462． 26. 已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当______时，的某一边平分（指不大于180°的角）． 【答案】t=2或t=30或t=54 【解析】 【分析】本题分情况讨论，当OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值， 当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况， 第一种情况：ON'没有旋转完360°， 第二种情况：ON'旋转完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t的值即可． 【详解】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180° 得：∠EOM=30° ，∠EON=150° ①OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE' ∠MOE'=30+9t ∠A'OE'=60+3t-9t ∴30+9t=60+3t-9t 解得t=2， ②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况， 第一种情况：ON'没有旋转完360°， ∠MON'=∠A'ON' ∠MON'=9t-180 ∠A'ON'=90+(9t-180)-3t ∴9t-180=90+(9t-180)-3t 解得t=30， 第二种情况：ON'旋转完了360° ∠MON'=∠A'ON' ∠MON'=180-9t+360， ∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360) 180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360) 解得t=54， 故答案为：t=3或t=30或t=54 【点睛】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解. 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）请将每个小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 27. 某商场分别购进了甲乙两种型号扫地机器人40台与20台，已知甲种型号扫地机器人每台的进价比乙种型号扫地机器人每台的进价便宜10%，甲种型号扫地机器人每台售价1100元，乙种型号扫地机器人每台售价1500元． （1）“双十一”期间商场促销，乙种型号扫地机器人按售价八折出售，甲种型号扫地机器人按原价销售．某公司一共花了10300元买了甲乙两种型号扫地机器人共9台．问某公司甲、乙两种型号扫地机器人各买了多少台？ （2）在（1）的条件下甲乙两种型号扫地机器人销售一空，甲种型号扫地机器人利润是乙种型号扫地机器人利润的2倍．问甲乙两种型号扫地机器人每台进价各是多少元？ 【答案】（1）甲5台，乙4台；（2）甲每台进价900元，乙每台进价1000元 【解析】 【分析】（1）设某公司甲种型号扫地机器人买了x台，则乙种型号扫地机器人买了台，根据题意，列出一元一次方程求解即可； （2）设乙种型号扫地机器人进价是y元，那么甲种型号扫地机器人进价是元，根据题意及利润公式列出方程求解即可得． 【详解】解：（1）设某公司甲种型号扫地机器人买了x台，则乙种型号扫地机器人买了台， 根据题意可得：， 解得：，， ∴某公司甲种型号扫地机器人买了5台，则乙种型号扫地机器人买了4台； （2）设乙种型号扫地机器人进价是y元，那么甲种型号扫地机器人进价是元，可得： ， 解得：，， ∴甲种型号扫地机器人每台进价是900元，乙种型号扫地机器人每台进价是1000元． 【点睛】题目主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题关键． 28. 如图，点C、D、E是线段AB上依次排列的三个点，，． （1）若，，求线段CE的长； （2）若点C、D、E在线段AB上运动，始终保持，．请问的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）21 （2） 的值不发生改变，理由如下： 设AC=x，BE=y，则CD=3x，DE=3y， ∴CE=CD+DE=3x+3y=3（x+y），AB=AC+CD+DE+BE=x+3x+3y+y=4x+4y=4（x+y）， ∴，是定值， ∴的值不发生改变． 【解析】 【分析】（1）根据，．可得DE=12，从而得到BD= 16，再由，可得AD=12，然后根据，可得CD=9，即可求解； （2）设AC=x，BE=y，则CD=3x，DE=3y，从而得到CE=CD+DE=3（x+y），AB=AC+CD+DE+BE=4（x+y），即可求解． 【小问1详解】 解：∵，． ∴DE=12， ∴BD=DE+BE=16， ∵， ∴AD=12， ∵， ∴ ， ∴CE=CD+DE=21； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键． 29. 如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． （1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； （2）三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 【答案】（1） （2） 解：当在外部时，，理由如下∶ ， ，， 当在内部时，，理由如下∶ ， ； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先根据平分得到，即可求出； （2）根据题意可得，作差即可求解； （3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可． 【小问1详解】 解：平分， ， 三角板旋转的角∶ ， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 射线平分，射线平分， ， 旋转前， 旋转前与的夹角为：， 与第一次相遇的时间为：秒， 此时旋转的角度为： 此时OC与的夹角为： 与OD第二次相遇的时间为：(秒)， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为， ①， 解得∶， ②， 解得∶， ③， 解得∶， ， ④， 解得∶， ． 在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或． 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $