江西省新余市第四中学2023-2024学年高二下学期第4次周练数学试题

第 1页，共 6页 新余四中 2023~2024学年高二下学期第四次数学周练试卷 出题人： 审题人： ※聪明出于勤奋，天才在于积累。※ 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.记 nS 为等差数列{ }na 的前 n项和．若 4 5 24a a  ， 6 48S  ，则{ }na 的公差为( ) A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 2.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是( ) A. 1na n  B. 1 4n n a  C. 22 5 1na n n   D. 1 3, 2, 2 , 2n n n n a n     „ 3.若函数 ( )y f x 的导函数 ( )y f x  的图象如图所示，则函数 ( )y f x 的图象可能是( ) A. B. C. D. 4.设 nS 为等比数列{ }na 的前 n项和， 2 58 0a a  ，则 5 2 S S 等于( ) A. 11 B. 8 C. 5 D. 11 5.已知函数 ( ) ( )cos 2 sin 4 f x f x x   ，则 ( )f x 在 4 x  处的导数为( ) A. 2 6 B. 2 4 C. 2 2 D. 2 2  6.在等差数列{ }na 中， 10 0a  ， 11 0a  ，且 11 10a a ，则在 0nS  中，n的最大值为( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 7.已知函数 2( ) x axf x e   在区间 (2,3) 上为单调递增函数，则实数 a的取值范围是( ) A. (0, 1) B. [1, ) C.  2, D. ( ,1] 8.已知函数   lnx axf x x x e    有唯一的极值点 t，则 ( )f t 的取值范围是( ) A.  2,  B.  3,  C.  2, D.  3, 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抹驱虫剂.刚开始使用的时候，寄生 虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，寄生虫增加的幅度逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少.若已知 使用驱虫剂 t小时后寄生虫的数量大致符合函数 ( ) ( 47) 50(0 720)tf t t e t   „ ， ( )f t 为 ( )f t 的导数，则下列 说法正确的是( ) A. 驱虫剂可以杀死所有寄生虫 B. (100)f  表示 100t  时，寄生虫数量以 10052e 的速度在减少 C. 若存在 a、b， a b ，使 ( ) ( )f a f b ，则 96a b  D. 寄生虫数量在 48t  时的瞬时变化率为 0 10.已知函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，导函数为 ( )f x ，满足 ( ) ( ) ( 1) xxf x f x x e    ，(e为自然对数的底数 )，且 (1) 0f  ，则( ) A.    3 2 2 3f f B. (1) (2) ( )f f f e  C. ( )f x 在 2x  处取得极小值 D. ( )f x 无最大值 11.已知数列{ }na 满足 1=1a ， * n+1 n = (n N ) 2+3 naa a  ，则下列结论正确的有 ( ) A. 1{ +3} na 为等比数列 B. { }na 的通项公式为 1 1= 2 3n n a   C. { }na 为递减数列 D. 1{ } na 的前 n项和 +2=2 3 +4nnT n 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知四棱柱 1 1 1 1ABCD A BC D 的底面 1 1 1 1ABC D 为平行四边形，E为棱 AB的中点， 1 3 AF AD   ， 12AG GA   ，直 线 1AC 与平面 EFG交于点 M，则 1 AM AC  __________. 13.设等差数列{ }na ，{ }nb 的前 n项和分别为 nS ， nT ，且 3 1 3 n n S n T n    ，则 8 5 11 a b b   __________. 第 2页，共 6页 14.若函数 0.52 log ,0 x 1 ( ) 4 3, 1 x f x x x x       „ ，函数 ( ) ( )g x f x kx  有两个零点，则实数 k的取值是__________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题 13 分 ) 已知函数 2( ) xf x e x a   ， x R 的图象在 0x  点处的切线为 y bx 。 (Ⅰ )求 ,a b的值； (Ⅱ )设 2( ) ( )g x f x x x   ，求 ( )g x 最小值。 16. (本小题 15 分 ) 已知等差数列{ }na 满足 3 5a  ， 5 72 31.a a  (1)求 na ； (2)求数列{ 2 }nana  的前 n项和 .nS 17. (本小题 15 分 ) 已知 1F ， 2F 分别是双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左、右焦点， 1 2 2 10F F  ，点 1F 到 C的渐近线的距离为 3. (1)求双曲线 C的标准方程及其渐近线方程； (2)已知点 O为坐标原点，动直线 l与 C相切，若 l与 C的两条渐近线交于 A，B两点，求证： AOB 的面积为定值 18. (本小题 17 分 ) 已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 12 2nnS   ，数列{ }nb 满足： 1 3 22, 6b b b   ，数列{ }n b n 为等差数列． (1)求{ }na 与{ }nb 的通项公式； (2)设 ( 1) 1n n n n c a b    ，数列{ }nc 的前 n项和为 .nT 若对于任意 *n N 均有 k nT T„ ，求正整数 k的值． 19. (本小题 17 分 ) 已知函数 2( ) ln (1 2 ) 1.f x x mx m x     (1)若 1m  ，求 ( )f x 的极值； (2)讨论 ( )f x 的单调性； (3) 若对任意 0x  ，有 ( ) 0f x „ 恒成立，求整数 m的最小值． 第 3页，共 6页 数学第四次周练答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】A 解： 2 58 0a a  ，则公比 2q   ，         5 1 5 5 22 2 1 1 1 2 331 11. 31 1 2 1 a q S q S a q q            5.【答案】A 解：由已知可得 ( ) 2 ( )sin 2 cos 4 f x f x x     ， 所以 ( ) 2 ( )sin(2 ) cos 4 4 4 4 f f         ，所以 2( ) . 4 6 f   6.【答案】C 解：在等差数列{ }na 中， 10 0a  ， 11 0a  ， 又 11 10| |a a ， 11 10 0a a   ， 则 1 1919 10 19( ) 19 0 2 a aS a    ， 1 2020 10 11 20( ) 10 ( ) 0 2 a aS a a     ，故 0nS  时，n的最大值为19 . 7.【答案】D 解：   2x a axf x e     ， 若函数 ( )f x 在 (2,3) 上单调递增，且 0xe  ，则 2 0a ax  … 在 (2,3) 上恒成立， min 2 1 a x      „ ， 而 2 1 1x      ，则 21 2 1 x     1a „ ， 8.【答案】A 解：求导有    1 xxxf x ax ex e      ， 因为函数   lnx axf x x x e    有唯一的极值点 t， 所以，    1 0xxxf x ax ex e       有唯一正实数根， 因为  1 0f   ， 所以 0xax e  在  0,x  上无解， 所以， xea x   在  0,x  上无解或解为 1x  ， 记   xeg x x  ，则有    2 1xe x g x x    ， 所以，当  0,1x 时，   0g x  ， ( )g x 在  0,1 上递减， 当  1,x  时，   0g x  ， ( )g x 在  1, 上递增． 此时 1x  时，   xeg x x  有最小值  1g e ， 所以， a e „ ，即 a e… ， 经检验 a取 e 时符合题意，所以 a e… ， 所以    1 1 2af t f e    … ，即 ( )f t 的取值范围是  2,  9.【答案】BD 解： ( ) (48 ) tf t t e   ，故 D正确； 可得 ( )f t 在 [0, 48] 单调递增，在 [48, 720) 单调递减， 值域为 [3, (48)]f ，取不到 0，故 A错误； 100(100) 52f e   ，故 B正确； 借助函数的图象可知， 48 2 a b  ，即 96a b  ，故 C错误. 10.【答案】AD 解：设      0 f x g x x x   ，则        2 2 1 xxf x f x x e g x x x       ， 所以   xeg x c x   ，c为常数，则  1 0g e c   ，解得 c e  ， 故   xeg x e x   ，即   xf x e ex  ， 令   0g x  ，则 1x  ，故 ( )g x 在  1, 上单调递增，    2 3g g  ，即    2 3 2 3 f f  ，则    3 2 2 3f f ，A正确；   xf x e e   ，令   0xf x e e    ，解得 1x  ， 则 ( )f x 在  0,1 上单调递减，在  1, 上单调递增，      1 2f f f e   ， ( )f x 在 1x  处取得极小值，无极大值， B、C错误，D正确. 第 4页，共 6页 11.【答案】ABC 解：数列{ }na 满足 1 1a  ， * +1= ( )2+3 n n n aa n N a  ， 整理得： 1 12 3n n n na a a a   ，转换为 +1 1 1+3=2( +3) n na a ，故： +1 1 +3 =2( )1 +3 n n a a 常数 ， 所以 1{ +3} na 是以 1 1 +3=4 a 为首项，2 为公比的等比数列，A对； 故： -1 +11 +3=4 2 =2n n na  ，整理得 n n+1 1= 2 -3 a ，B对； 则：{ }na 为递减数列，C对； 进一步整理得： +11 =2 -3n na ，所以 1{ } na 的前 n项和： n n+2 n 4(2 -1)T = -3n=2 -3n-4 2-1 ，D错. 12.【答案】 2 13 解：设 1(0 1)AM AC      ， 由已知 1 1 32 3 2 AC AB AD AA AE AF AG             ， 所以 32 3 2 AM AE AF AG        ，因为 M，E，F，G四点共面， 所以 32 3 1 2     ，解得 2 . 13   13.【答案】 11 9 解：等差数列 { }na ， { }nb 的前 n项和分别为 nS ， nT ， 所以     1 15 8 8 1 15 15 1 155 11 5 11 1 15 15 15 21 1 1 1 1 3 15 1 112 152 2 2 2 2 15 3 9 2 a a a a a a S b bb b b b b b T                    . 14.【答案】 4 2 3 或 0 解：若 ( ) ( )g x f x kx  有两个零点， 即函数 ( )f x 与 y kx 有两个不同的交点， 作出函数 0.5 2 log ,0 x 1 ( ) 4 3, 1 x f x x x x       „ 与 y kx 的图象， 当 0k  时，显然符合题意， 当 0k  时， ( )y f x 与 y kx 只有一个公共点， 当 0k  时，由 2 4 3 y kx y x x       消去 y并化简得 2 ( 4) 3 0x k x    ， 由 2 2( 4) 4 3 8 4 0k k k         ， 解得 4 2 3k   或 4 2 3k   得切点为 ( 3,4 3 6) 或 ( 3, 4 3 6)(   舍去 ) 综上所述， ( ) ( )g x f x kx  有两个零点，则实数 k的值是 0 和 4 2 3 15.解： 2(1) ( ) xf x e x a   ， ( ) 2xf x e x   ， 由已知，得 (0) 1 0 (0) 1 f a f b        ，解得 1 1 a b     ， 函数 ( )f x 的解析式为 2( ) 1.xf x e x   2(2) ( ) ( ) 1xg x f x x x e x      ，则 ( ) 1xg x e   ， 令 ( ) 0g x  ，则 0x  ， 当 0x  时， ( ) 0g x  ，此时 ( )g x 单调递减; 当 0x  时， ( ) 0g x  ，此时 ( )g x 单调递增， min( ) (0) 0.g x g   16.解： (1) 设等差数列{ }na 的首项为 1a ，公差为 d， 由已知 3 5 7 5 2 31 a a a     得     1 1 1 2 5 2 4 6 31 a d a d a d        ，解得 1 1 2 a d    ， 2 1.na n   1 2 1 2(2) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n aa a n nS a a a      1 2 1 2( ) (2 2 2 )n aa a na a a      3 2 1(1 3 2 1) (2 2 2 )nn           (1 2 1) 2(1 4 ) 2 1 4 nn n      2 1 2 2 2. 3 n n     第 5页，共 6页 17.解： (1)因为 1 2 2 10 2F F c  ，所以 10c  ， 因为  1 ,0F c ，渐近线为 by x a   ，即 0bx ay  ， 则 1F 到 C的渐近线的距离为可表示为 2 2 3 bc bc b cb a      ，所以 2 2 1a c b   ， 所以双曲线 C的标准方程为 2 2 1 9 yx   ，渐近线方程为 3 .y x  (2)①当直线经过双曲线的顶点时直线 AB的斜率不存在，此时直线方程为 1x   ， 此时易得 6AB  ，点 O到直线 AB的距离为 1，所以此时 1 6 1 3 2AOB S     ， ②当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB为 y kx m  ， 由 22 1 9 y kx m yx       得    2 2 29 2 9 0k x kmx m     ， 因为直线于双曲线相切，所以 29 0k  且   2 2 2 24 4 9 9 0k m k m      ， 整理得 3k   且 2 2 9k m  ，即 2 2 9m k  ， 由 3y x y kx m     得 3 3 3 mx k my k         ，则 3, 3 3 m mA k k       ， 同理得到 3, 3 3 m mB k k       ， 所以 2 2 23 3 6 1| | ( ) ( ) 3 3 3 3 | | m m m m kAB k k k k m            ， 点 O到直线 y kx m  的距离 2 1 m d k   ， 所以 2 2 1 6 1 | | 3 2 | | 1 AOB k mS m k        ， 所以 AOB 的面积为定值 3. 18.解： (1)由题意知 12 2nnS   ， 当 1n  时， 1 2a  ， 2n… 时， 1 2nn n na S S    ， 显然 1a 也满足，故 2nna  ， 因为 1 2b  ，数列{ }n b n 为等差数列， 32 1 1 ( ) 2 2 1 3 bb b   ，则 3 2 3 2 6 2 3 b b bb       ，解得： 2 3 6 12 b b    ， 等差数列{ }n b n 的首项为 1 2 1 b  ，公差为 2 1 1 2 1 b b   ， 所以 2 ( 1) 1n b n n n      ，即 ( 1).nb n n  (2)由 (1)可得： 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( 1) 2 1 n n nc n n n n          ， 1 1[1 ( ) ] 1 1 1 1 1 12 2 [( ) ( ) ( )] 1 1 2 2 3 11 2 n nT n n              1 1 1 1 1 2 1[1 ( ) ] 1 ( ) . 3 2 1 3 2 3 1 n n n n              ①当 n为奇数时， 2 1 1 1( ) 3 1 3 2 n nT n      ，又 nT 随 n增加而增加，此时 min 1( ) 0nT T  ； ②当 n为偶数时， 1 1 2 1( ) 3 2 3 1 n nT n      ， 令 2 1( ) 3 1 f n n    ，则 1( ) (2) 3 f n f … ，当 n为偶数时，恒有 0.nT  综合①②知 min 1( ) 0nT T  ， 满足题意的 1.k  19.解： (1) ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 当 1m  时， 2( ) ln 1f x x x x    ， 令 1 ( 1)(2 1)( ) 2 1 0x xf x x x x          ，解得 1(x   舍去 )， 1 . 2 x  当 10 2 x  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 10, 2       上单调递增； 当 1 2 x  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 1 , 2      上单调递减． 所以 ( )f x 在 1 2 x  时取得极大值为 1 1 ln 2 2 4 f        ，无极小值． (2)因为 21 2 (2 1) 1 (2 1)( 1)( ) 2 1 2 ( 0)mx m x mx xf x mx m x x x x                ， 第 6页，共 6页 当 0m„ 时， ( ) 0f x  在 (0, ) 上恒成立，此时 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 当 0m  时， ( ) 0f x  ，得 1(x   舍去 )， 1 2 x m  ， 当 10 2 x m   时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 10, 2m       上单调递增； 当 1 2 x m  时， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 1 , 2m      上单调递减； 综上：当 0m„ 时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 当 0m  时， ( )f x 在 10, 2m       上单调递增，在 1 , 2m      上单调递减． (3) 因为对任意 0x  ， ( ) 0f x „ 恒成立， 所以  2ln 1 2x x m x x  „ 在 (0, ) 上恒成立， 即 2 ln 1 2 x xm x x    … 在 (0, ) 上恒成立． 设 2 ln 1( ) 2 x xF x x x     ，则  22 ( 1)( 2ln )( ) 2 x x xF x x x       . 设 ( ) ( 2ln )x x x    ， 2( ) 1 0x x      ，则 ( )x 在 (0, ) 上单调递减， 因为 (1) 1 0    ， 1 1 1 12ln 2ln 2 0 2 2 2 2                  ， 所以 0 1 ,1 2 x       ，使得  0 0x  ，即 0 02ln 0x x  . 当  00,x x 时， ( ) 0x  ； 当  0 ,x x  时， ( ) 0x  . 所以 ( )F x 在  00, x 上单调递增，在  0 ,x  上单调递减， 所以   0 0max 0 2 0 0 0 ln 1 1( ) 2 2 x xF x F x x x x       . 因为 0 1 ,1 2 x      ，所以 0 1 1 ,1 2 2x      ， 故整数 m的最小值为1. 【解析】本题考查函数的极值，含参函数的单调性，以及恒成立求参问题，属于较难题目. (1)求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； (2)求导，分 0m„ ， 0m  讨论可得； (3) 参变分离，将问题转化为 2 ln 1 2 x xm x x    … 在 (0, ) 上恒成立问题，记 2 ln 1( ) 2 x xF x x x     ，利用导数求函 数 ( )F x 的最大值所在区间可得.