精品解析：江苏省如皋市部分学校2025届高三诊断性测试数学试题

2025届高三诊断性测试 数学 姓名______ 准考证号______ 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 参考公式： 若事件A，B互斥，则 若事件A，B相互独立，则 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 柱体的体积公式，其中，S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式，其中R表示球的半径 选择题部分（共58分） 一、选择题1：本大题共8小题，每小题5分，共40分；每小题只有一项符合题意，不选、多选、错选均不得分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得. 【详解】集合， 集合， 所以. 故选：A. 2. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，直接利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】因为圆台上下底面半径分别为2 cm和5 cm，高为3 cm， 所以该圆台的体积为. 故选：C. 4. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆的圆心坐标为和半径为，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即，化简即可得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，可知， 故选：D. 5. 已知，函数在有三条对称轴和两个极小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数式，利用正弦函数的对称轴及极小值，按分类列出不等式组求解即得. 【详解】当时，由，得， 由函数的图象在上三条对称轴，得， 由函数在上有两个极小值点，得，显然无解； 当时，由，得， 则，解得， 故选：C 6. 已知数列的前n项和为，满足，，则可能同时为整数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】由，，推得，在此基础上，对各选项中的结论进行计算，即可判定可能同时为整数的选项； 【详解】依题意，由，不等于0，，可得： 当时，， ， 对于A，，，，， 则，，因为数列的每一项都不等于0，不是整数， 不可能同时为整数，和不可能同时取整数，故A错误； 对于B，，则，， 因为数列每一项都不为0，且不为负整数，不可能同时为整数， 和不可以同时取整数，故B错误； 对于C，，， 则，，因为数列每一项都不为0，且不为负整数， 不可能同时为整数，和不可以同时取整数，故C错误； 对于D，，则，， 当为负整数时，和可以同时取整数，故D正确； 故选：D. 7. 设，集合，集合，若中恰有个元素，则（ ） A. 集合中最小的元素一定等于 B. 集合中最小的元素一定等于 C. 集合中最大的元素一定等于 D. 集合中最大的元素一定等于 【答案】A 【解析】 【分析】分别举出选项B，C，D的反例说明其错误，然后使用分类讨论方法证明选项A正确. 【详解】考虑，，，此时直接计算可得. 而，集合中最大的元素为，故选项D错误； 由于，， 故关于的方程在上存在一根，且 ，. 考虑，，，此时， 且. 故，从而. 再根据，知选项B，C错误； 最后，假设的最小元素不等于： 由于，故我们有，， 且，. 据假设，集合的最小元素不等于， 所以的最小元素只能是，同时必有. 由于集合恰有个元素，且， 故只可能有或. 若，则方程组可变形为. 两式相乘即得，从而，得，矛盾； 若，则方程组可变形为. 由，，可得， 代入得，从而. 但由可得，故，矛盾. 综上，假设不成立，所以的最小元素一定等于，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用已知的不等关系，结合基本不等式比较相应的大小关系. 二、选择题2：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题有多个选项符合题意．全选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 8. 下列的函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合正、余弦函数的奇偶性逐项分析判断. 【详解】因为函数的定义域为， 对于选项A：因为， 可知不是偶函数，故A错误； 对于选项B：因为， 所以是偶函数，故B正确； 对于选项C：因为， 所以是偶函数，故C正确； 对于选项D：因为， 所以是偶函数，故D正确； 故选：BCD. 9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D. 【详解】由可得：①， 又因为，故C正确. 所以， 则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误； , ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若为直角三角形，则 D. 若，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出判断AB；确定直角顶点计算判断C；利用定义求出并求出三角形面积判断D. 【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误； 对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角， 由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令， 直线，由，得，即，则， 所以，C正确； 对于D，由椭圆定义得，而，解得， 而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误. 故选：AC 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分；请将答案直接填写在横线上． 11. 在二项式的展开式中常数项是______；的系数是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式定理写出二项展开式的通项公式，令的次数为，即可求得常数项；令的次数为，即可得的系数. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ， 令，得， 所以二项式的展开式中常数项为： ， 令，得， 所以二项式的展开式中的系数为： ， 故答案为：①，②. 12. 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义分析可知为等腰直角三角形，且，，结合勾股定理列式求解即可. 【详解】因为，则，， 且，可知为等腰直角三角形， 则，， 且，即， 整理可得，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 13. 已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知与的夹角为，从而根据正弦定理可得，再根据投影的定义表示出，最后对化简变形通过正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，与的夹角为， 所以与的夹角为， 所以根据正弦定理可得，， 所以，所以， 因为，所以， 所以在上的投影为， 在上的投影为， 所以 因为，所以，所以， 所以,所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的综合问题，考查向量投影，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据向量投影的概念表示出，考查计算能力，属于难题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分；解答应写出必要的演算步骤或文字说明． 14. 已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，． （1）求角B的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式，结合正弦函数单调性求出角B. （2）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求解即得. 【小问1详解】 在锐角中，，则，， 于是，即，而，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由正弦定理得 ， 而，则，， 所以的取值范围是. 15. 已知三棱锥，，，D，M，N分别是AP，AB，CP的中点，，，二面角的余弦值为． （1）证明：； （2）求直线MN与平面BCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取中点，中点，连接，则， 因为，， 所以平面， 所以平面，平面，所以，即是的中垂线， 所以，取中点，连接，所以， 所以就是二面角的平面角， 在中，由余弦定理可得：， 根据题意和线段的中点可知，, ，，， 代入解得或， 在中，，所以（舍）. 当时，， 所以，故，得, 连接，因为，是平面内两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，的中点，由题意可证得平面，取中点，可求得就是二面角的平面角，结合条件可得的值，由勾股定理可证得平面，即可证得结论； （2）建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接并延长至且有，连接， 由（1）知，是平面内两条相交直线， 所以平面，又因为是的中位线， 所以平面，计算得，， 如图，以为原点，射线方向为轴，射线方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 计算得 故，设平面的法向量为， 则，令，可取， 因为, 所以， 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知数列，，，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：，． 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 因为， 若，则； 若，则； 综上所述：. 又因为 ， 又因为，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据分析可得，进而可得，结合与的关系可得，结合等比数列运算求解； （2）根据积项可得，整理可得，即可证明. 【小问1详解】 因为，则， 两式相减可得，即， 又因为，则， 整理可得，则， 两式相减可得，则，且， 可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，所以. 【小问2详解】 略 17. 已知抛物线：，抛物线：．的焦点为，的焦点为，与交于两点． （1）证明：直线是的中垂线； （2）当时，求的正切值（用表示）． 【答案】（1）证明:抛物线化简为， 则焦点,即， 抛物线的焦点. 且的中点坐标为， 联立抛物线方程和得 ，且， 设， 所以， 又因为， ， 所以. 故. 又因为 ， 所以的中点坐标为， 所以， 所以. 所以直线是的中垂线. （2）当时，, 当时，. 【解析】 【分析】（1）计算抛物线的焦点，，联立两条抛物线，设，由韦达定理得及，再计算的中点及线段中点的坐标，然后求得，，即可证明； （2）先使用两点距离公式及斜率计算，再将转化为，然后代值即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当时，抛物线的焦点，如图所示， 抛物线的焦点. 则直线的方程为， 则， 由（1）得， ， ， 则 ， 当时，即时，. 当时，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的焦点、直线与抛物线的位置关系，第一问解题的关键是求出以及中点连线斜率，第二问解题关键是使用两点距离公式及斜率计算，再将转化为，然后代值即可求解. 18. 已知，函数，． （1）若，求的单调区间； （2）若函数有零点和极值点且极值点个数大于零点个数．求a的取值范围； （3）若有3个极值点．证明：对一切都有． 注：． 【答案】（1）此题答案与解析征集，联系QQ：824659080 （2） （3） 【解析】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三诊断性测试 数学 姓名______ 准考证号______ 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 参考公式： 若事件A，B互斥，则 若事件A，B相互独立，则 若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 柱体的体积公式，其中，S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式，其中R表示球的半径 选择题部分（共58分） 一、选择题1：本大题共8小题，每小题5分，共40分；每小题只有一项符合题意，不选、多选、错选均不得分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关 5. 已知，函数在有三条对称轴和两个极小值，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和为，满足，，则可能同时为整数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 设，集合，集合，若中恰有个元素，则（ ） A. 集合中最小的元素一定等于 B. 集合中最小的元素一定等于 C. 集合中最大的元素一定等于 D. 集合中最大的元素一定等于 二、选择题2：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题有多个选项符合题意．全选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 8. 下列的函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若为直角三角形，则 D. 若，则的面积为 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分；请将答案直接填写在横线上． 11. 在二项式的展开式中常数项是______；的系数是______． 12. 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是______． 13. 已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分；解答应写出必要的演算步骤或文字说明． 14. 已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，． （1）求角B的大小； （2）求的取值范围． 15. 已知三棱锥，，，D，M，N分别是AP，AB，CP的中点，，，二面角的余弦值为． （1）证明：； （2）求直线MN与平面BCD所成角的正弦值． 16. 已知数列，，，，设数列的前n项和为．数列的前n项积为，若，，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：，． 17. 已知抛物线：，抛物线：．的焦点为，的焦点为，与交于两点． （1）证明：直线是的中垂线； （2）当时，求的正切值（用表示）． 18. 已知，函数，． （1）若，求的单调区间； （2）若函数有零点和极值点且极值点个数大于零点个数．求a的取值范围； （3）若有3个极值点．证明：对一切都有． 注：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $