新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

八一中学2023—2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.66 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．直线与平行，则　　 A． B．0 C．1 D．2 2．点到直线的距离为　　 A． B．2 C． D．1 3．圆的圆心和半径分别为　　 A．，2 B． C．，2 D． 4．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为　　 A． B． C． D． 5．已知（1），则（2）　　 A．1 B．2 C．4 D．8 6．将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为,若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为　　 A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为，，分别为棱，的中点，若，，则　　 A． B．2 C．或 D．2或 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知曲线的方程为，则　　 A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 10．设，为不同的平面，，，为不同的直线，下列命题不正确的是　　 A．若，，则 B．若，，．则 C．著，，，，则 D．若，，．则 11．已知事件，满足（A），（B），则下列结论正确的是　　 A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 12．已知函数，则　　 A．为奇函数 B．不是函数的极值点 C．在，上单调递增 D．存在两个零点 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，，若，则的值为 　　． 14．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 　　． 15．求圆上的动点到直线距离的最大值 　　． 16．已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为 　　． 四、解答题（共6小题，共70分） 17．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 18．一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90． （1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少？ （2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少？ （3）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）？ 19．已知在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面，，为中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 21．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍． （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求． 22．已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）设，讨论函数在，上的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．直线与平行，则　　 A． B．0 C．1 D．2 【解答】解：直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也是2，即． 故选：． 2．点到直线的距离为　　 A． B．2 C． D．1 【解答】解：点到直线的距离为：． 故选：． 3．圆的圆心和半径分别为　　 A．，2 B． C．，2 D． 【解答】解：，即， 圆心为，半径为． 故选：． 4．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意各路口没有遇到红灯的概率分别为，，， 所以经过三个路口没有遇到红灯的概率． 故选：． 5．已知（1），则（2）　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：根据题意，（1），其导数（1）， 令可得：（1）（1），变形可得（1）， 则有，（2）； 故选：． 6．将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 扇形的弧长为， 则，，母线， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积． 故选：． 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设点关于直线的对称点，设军营所在区域的圆心为， 根据题意，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，，直线的斜率为1， 故直线为， 由，联立得，， ，则， 故， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故选：． 8．如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为，，分别为棱，的中点，若，，则　　 A． B．2 C．或 D．2或 【解答】解：取的中点， 连接、， 因为，分别为棱，的中点， 则，， 又异面直线与所成的角为， 则或， 又，， 由余弦定理可得：或， 即或． 故选：． 二．多选题（共4小题） 9．已知曲线的方程为，则　　 A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【解答】解：当，可得，所以不正确； 当，可得，所以不正确； 当，可得，时，可得表示在轴上的椭圆，所以正确； 当且，可得时，所以正确； 故选：． 10．设，为不同的平面，，，为不同的直线，下列命题不正确的是　　 A．若，，则 B．若，，．则 C．著，，，，则 D．若，，．则 【解答】解：选项：若，，则，或与异面，故错误； 选项：若，，，则，或与异面，故错误； 选项：根据面面垂直的性质定理可得正确； 选项：若，，，则，或与异面，或与相交，故错误． 故选：． 11．已知事件，满足（A），（B），则下列结论正确的是　　 A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【解答】解：对于选项，，故错误； 对于选项，如果，那么（A），故正确； 对于选项，如果与互斥，那么（A）（B），故正确； 对于选项，如果与相互独立，那么 ，故正确． 故选：． 12．已知函数，则　　 A．为奇函数 B．不是函数的极值点 C．在，上单调递增 D．存在两个零点 【解答】解：对于：函数的定义域为，又，， 则， 所以不是奇函数，故错误； 对于、：因为， 所以在上单调递增， 所以函数不存在极值点，故与正确； 对于：因为，， 又在上单调递增，且， 所以仅有一个零点0，故错误． 故选：． 三．填空题（共4小题） 13．已知向量，，若，则的值为 　　． 【解答】解：，且，， ， 解得，， ． 故答案为：． 14．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：将整理可得， 因为该方程表示双曲线， 所以，即实数的取值范围是． 故答案为：． 15．求圆上的动点到直线距离的最大值 　3　． 【解答】解：圆可化为，其圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为． 故答案为：3． 16．已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为 　，　． 【解答】解：由题意得， 函数在区间，上单调递减， 在，上恒成立，即在，上恒成立， 又，， ，即实数的取值范围为，． 故答案为：，． 四．解答题（共7小题） 17．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 【解答】解：由题意可知米，米，米，所以（米． （1）圆锥部分的侧面积为（平方米）． 圆柱部分的侧面积为（平方米）． 所以该蒙古包的侧面积为（平方米）． （2）圆锥部分的体积为（立方米）， 圆柱部分的体积为（立方米）． 所以该蒙古包的体积为（立方米）． 18．一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90． （1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少？ （2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少？ （3）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）？ 【解答】解：（1）由题意，得到85分的学生有2人，所以概率为，即概率为． （2）由题意，得分超过80分的学生有7人，所以概率为． （3）由题意，分数都在80分以上的学生有7人（得分为85、90、88、92、82、85、， 所以概率为． 19．已知在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 【解答】解：（1）设圆的方程为，因为点，，在圆上， 所以，解得，， 所以圆的方程为，整理得圆的标准方程为； （2）由题意，可知圆心到直线的距离． 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，符合题意； 若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，即， 根据题意，可得，解得，所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面，，为中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，3，，，3，， 因为，， 所以，所以； 解：（2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，即，令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即，令，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 所以． 21．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍． （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求． 【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 所以， 解得， 则的方程为； （2）易知， 不妨设，，，， 因为线段的中点坐标为， 所以，， 因为，两点在椭圆上， 所以， 整理得， 即， 解得， 经检验，点在椭圆内． 故． 22．已知函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）设，讨论函数在，上的单调性． 【解答】解：（1）因为， 所以，即切点坐标为， 又因为， 所以切线斜率， 则切线方程为，即． （2）因为， 所以， 令， 则， 所以在，上单调递增， 所以， 所以在，上恒成立， 所以在，上单调递增． 箱：15001564865；学号：25891992 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$高（二）年级（数学）学科期末试卷命制细目表（简） 题号 知识点 题型 分值 难度系数 1 两直线的位置关系 选择题 5 0.9 2 点到直线的距离公式 选择题 5 0.9 3 圆的一般方程 选择题 5 0.8 4 相互独立事件的概率公式 选择题 5 0.8 5 导数的运算 选择题 5 0.7 6 圆锥的体积 选择题 5 0.6 7 直线与圆的位置关系 选择题 5 0.6 8 异面直线及所成的角 选择题 5 0.6 9 曲线与方程 多选题 5 0.8 10 空间直线与平面的位置关系 多选题 5 0.7 11 相互独立事件、互斥事件、对立事件 多选题 5 0.6 12 函数的极值与导数 多选题 5 0.6 13 空间向量与线性运算 填空题 5 0.8 14 双曲线的性质 填空题 5 0.7 15 直线与圆的位置关系求最值 填空题 5 0.6 16 函数的导数与单调性 填空题 5 0.6 17 棱、柱、锥、台体积与表面积 解答题 10 0.7 18 古典概型及概率公式 解答题 12 0.6 19 直线与圆的位置关系 解答题 12 0.6 20 二面角平面角的求法 解答题 12 0.6 21 直线与椭圆的综合 解答题 12 0.4 22 导数与单调性 解答题 12 0.4 总体难度系数 0.66 考试时间：120分钟