精品解析：山东省临沂市河东区2023-2024学年高二下学期4月学科素养水平监测数学试卷

2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 32 2. 用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 180 B. 240 C. 280 D. 300 3. 的展开式的第5项的系数是（ ） A. B. C. D. 4. 若实数，则等于（ ） A. B. 32 C. D. 64 5. 某学校举办作文比赛，共5个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 6. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为，则，定义事件：，，，则（ ） A. B. C. D. 、相互独立 7. 已知函数（）图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 临沂动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A. 若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B. 若“绿水晶”去展馆，有7种安排方法 C. 若“绿水晶”不去展馆，有6种安排方法 D 若2种三角梅不能去往同一个展馆，有8种安排方法 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 有两个零点 C. 是奇函数 D. 曲线在点处的切线斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，，则______. 13. 的展开式中，的系数为______． 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求. 16. 某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差. 17. 已知函数. （1）若函数在处有极小值，求的值； （2）当时，求证 18. 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.2 0.3 0.3 0.2 比赛胜率 0.6 0.8 07 0.7 （1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； （2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率. 19. 已知函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案. 【详解】. 故选：B. 2. 用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 180 B. 240 C. 280 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 3. 的展开式的第5项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 则第5项公式为， 所以展开式的第5项的系数是. 故选：C 4. 若实数，则等于（ ） A. B. 32 C. D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理可求值. 【详解】由题意可得. 故选：D. 5. 某学校举办作文比赛，共5个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出甲、乙随机抽取一个主题的试验含有的基本事件数，甲、乙抽到不同主题的事件含有的基本事件数，再利用古典概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙随机抽取一个主题的试验含有的基本事件数为， 甲、乙抽到不同主题的事件含有的基本事件数为， 所以甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为. 故选：C. 6. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为，则，定义事件：，，，则（ ） A. B. C. D. 、相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，,、相互不独立，D错误； 故选：B. 7. 已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出切线方程，然后对进行讨论即可. 【详解】设切点为 , 对 求导可得： , 切线斜率为 , 可得切线方程为： , 把点 代入可得 , 化为 , 令 , , 令得;令得 所以函数 上单调递增, 在 上单调递减, 可得 时函数 取得极大值. 当 时 , 当 时, . 时， 与函数 的图象最多有一个交点, 不符合题意, 舍去. 时, 由过点 可以作曲线 的两条切线, 与函数 的图象有两个交点, . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 临沂动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ） A. 若展馆需要3种花卉，有4种安排方法 B. 若“绿水晶”去展馆，有7种安排方法 C. 若“绿水晶”不去展馆，有6种安排方法 D. 若2种三角梅不能去往同一个展馆，有8种安排方法 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,从4种精品花卉中安排3种花卉给展馆即可；对于B,若“绿水晶”去 展馆, 将剩下 3 种花卉分到 展馆即可；对于C,若“绿水晶”不去 展馆, 则其必须去 展馆;对于D,若 2 种三角梅不能去往同一个展馆, 则其分别在 两个展馆.根据排列组合计算即可. 【详解】对于,若展馆需要 3 种花卉, 4 种精品花卉选 3 种安排在展馆即可，有种安排方法,正确; 对于, 若“绿水晶”去展馆, 将剩下3 种花卉分到展馆即可,展馆必有一种,则有 种安排方法,正确; 对于, 若“绿水晶”不去展馆, 则其必须去展馆，同理选项，有7 种安排方法， 错误; 对于, 若 2 种三角梅不能去往同一个展馆, 则其分别在 两个展馆, 有 种安排方法, 将 2 种兰花安排在 两个展馆, 每种兰花都有 2 种安排方法, 则 2 种兰花共有 种安排方法, 则有 种安排方法, 正确. 故选: . 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D. 【详解】因为， 令，可得，故A正确； 令，可得①，故B错误； 令，可得②， 联立①②可得，，故C正确； 由题意可知展开式有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 有两个零点 C. 是奇函数 D. 曲线在点处的切线斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，极值，即可判断AB，根据函数的定义域，结合奇函数的性质，即可判断C，利用导数的几何意义，即可判断D. 【详解】A.在区间恒成立，所以在上单调递增，故A正确； B. ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最小值， 所以有1个零点，故B错误； C.函数的定义域是，所以不是奇函数，故C错误； D.，所以曲线在点处的切线斜率为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，，则______. 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率即可. 【详解】随机变量，， 所以. 故答案为：0.3 13. 的展开式中，的系数为______． 【答案】30 【解析】 【分析】建立组合模型求解 【详解】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案． 表示5个因式的乘积， 在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是. 故答案为：30 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. 显然当时，不等式不成立， 故我们只需讨论时，不等式的解集即可； ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时不存在； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求. 【答案】（1）216 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，先求出展开式中含，，的项，然后可得； （2）分别令，，两式相加可得结果. 【小问1详解】 ， ∵展开式中第项， ∴展开式中，，项分别为，， 故中含的项为 ， ∴中含项的系数为216， 【小问2详解】 ， 令，得，① 令，得，② 两式相加，得， 所以 16. 某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，再根据随机变量表示的意义，利用古典概型概率公式求概率，再写出分布列； （2）根据分布列求期望，再根据公式，求方差. 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为1，2，3，4. ；； ； ∴的分布列为 1 2 3 4 【小问2详解】的期望：， 又， ∴方差. 17. 已知函数. （1）若函数在处有极小值，求的值； （2）当时，求证. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据在处有极小值得求出，再检验即可； （2）根据，将问题转化为证明当时即可，利用导数求出的最小值可得答案. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵在处有极小值，∴.即， ∴. 检验：当时，， ∵，即， 当时，，， ∴，∴，∴单调递减. 当时，， ∴，∴单调递增. 综上，当时，在处有极小值； 【小问2详解】 当时，时，， 则有， 故只需证明当时，， 当时，在区间上单调递增， 又，， 故在区间上有唯一实根，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 从而当时，取得最小值， 由，得，， 故， 综上，当时，. 18. 某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.2 0.3 0.3 0.2 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 （1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； （2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率. 【答案】（1）0.71 （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即得出答案. （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件， “甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件. 则 . 【小问2详解】 . 19. 已知函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. 【小问2详解】 易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$