精品解析：吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷

2023—2024学年度下学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 十棱锥共有（ ） A. 10个顶点 B. 20个顶点 C. 10条棱 D. 20条棱 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以的实部与虚部之和为． 故选：B. 3. 已知向量，的夹角为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积公式求夹角即可． 【详解】因为，，所以. 故选：D 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理以及诱导公式即可求解. 【详解】由及正弦定理，得，因为， 所以． 反之亦成立，所以“”是“”的充要条件． 故选：A. 5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直观图还原成原图进行求解． 【详解】还原的原图，如图所示，直观图中的点，，分别对应原图中的点，，，直观图中的轴、轴分别对应原图中的轴、轴. 因为，所以，则，又， 所以. 故选：C 6. 若复数，且，则（ ） A. -32 B. -16 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则进行化简得出；再根据列出方程即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以，解得：. 故选：B. 7. 设向量，，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义结合函数单调性求解向量夹角余弦值的范围. 【详解】，令，则， 所以， 当时，， 则， 所以的取值范围是. 故选：A. 8. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与底面半径即可. 【详解】如图所示，设内切球与相切于点，因为，所以， 由内切球的表面积为，可得球的半径， 在直角中得，则圆锥的高为， 在直角中得，即圆锥的底面半径为3， 所以该圆锥的体积． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得对应的点，即可根据向量相等得，进而可判断A，根据复数模长公式即可求解B，根据共轭即可求解C，根据复数的除法运算即可求解D. 【详解】如图，由题意得，，， 由于,则，，A正确． ，B正确． ，C错误． ，D正确． 故选：ABD 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 空间中，4条不同的直线可能确定4个不同的平面 B. 在四面体中，为的中点，则直线与异面 C. 若一个平面内有3个不共线的点到另一个面的距离相等，则这两个平面平行 D. 正方体各面所在平面将空间分成27个部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面性质可判断A；根据异面直线的定义可判断B；根据点面关系可判断C；根据平面性质可判断D. 【详解】对于A，空间中，4条不同的直线交于一点，若恰有3条直线共面， 则这4条不同的直线只能确定4个不同的平面，A正确； 对于B，因为平面，平面，平面， 且，则直线与异面，B正确； 对于C，如图，，，三点不共线，且这3点到平面的距离相等， 显然，这两个平面不平行，C错误； 对于D，因为正方体有三对平行的面，所以每对平行的面都会将空间分为三层， 每层分成三个部分，总共是九个部分，这样，上、下两个底面和侧面的每 个部分都会被进一步分成三个部分，最终形成27个部分，D正确. 故选：ABD. 11. 若△ABC的内心与外心分别为N，O，且，，，则（ ） A. B. 点N到AB的距离为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理求出，同角三角函数的平方关系求出，再由正弦定理即可判断A；由等面积法可判断B；由投影向量的定义可判断C；由余弦定理求出，再由二倍角公式求出，结合的范围可判断D. 【详解】对于A，设△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R，r．因为， 且，所以， 则，所以，A错误； 对于B，因为△ABC的面积， 而， 所以，所以点N到AB的距离为，B正确． 对于C，向量在向量上的投影向量为，C正确． 对于D，因为，所以， 又，所以，则，因为， 且在上单调递减，所以，即，D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 在复数范围内，方程的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，或，即可求解． 【详解】由，得或，即或， 在复数范围内，方程的解集为. 故答案为： 13. 已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由棱台体积公式计算即可求解. 【详解】该正四棱台的体积为. 故答案为：. 14. 如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系写出点的坐标，计算得出向量的数量积再结合基本不等式得出最小值即可. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则.设，，其中，，且 ，，得. 因为，所以， 又因为，所以，则， 当且仅当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边分别是且向量满足. （1）求A； （2）若，求BC边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到，求出； （2）由余弦定理得到，根据三角形面积得到方程，求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 16. 在平行四边形中，. （1）若与交于点，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择，为一组基向量，设，，将分别用，的两种形式表示，根据平面向量基本定理可得关于的方程组，求解即得； （2）分别将用，表示，计算它们的数量积，整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象和的范围即可求得的取值范围. 【小问1详解】 设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. 【小问2详解】 因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. 17. 如图，在长方体中，，.点M，N分别在棱，上，且，直线平面. （1）请指出点的位置（不需要说明理由），并求平面四边形的周长； （2）求几何体的体积. 【答案】（1）为的中点， （2）72 【解析】 【分析】（1）由线线平行可得为的中点.再求出四边形的周长； （2）由，由两个四棱锥的体积求解． 【小问1详解】 依题意可得为的中点. 证明如下：在线段上取一点Q，使得， 取线段的中点，连接，而， 则，故四边形为平行四边形，得， 又，且， 则四边形为平行四边形，得，得， 则四点共面，故点E为与面交点，即为中点． 由，，， 可得，， 故平面四边形的周长为， 【小问2详解】 由题意可得. ， ， 故几何体的体积 18. 某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为两点为稻草人，为该圆形菜地边缘上任意一点，要求为的中点. （1）若，求； （2）设，试将表示为的函数； （3）若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点处观察稻草人时，观察角度的最大值不小于，试求两个稻草人之间的距离的最小值. 【答案】（1）10米； （2）； （3）米. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理解答即可. （2）利用余弦定理进行求解，根据已知条件，得出关系式. （3）首先找出观察角度最大时，取得最小值.利用余弦定理进行下一步计算. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则，所以米. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 因为，所以，即， 故所求关系式为. 【小问3详解】 当观察角度最大时，取得最小值. 在中，由余弦定理可得. 因为的最大值不小于，所以，解得， 即.故两个稻草人之间的距离的最小值为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 十棱锥共有（ ） A. 10个顶点 B. 20个顶点 C. 10条棱 D. 20条棱 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. 8 D. 6 3. 已知向量，的夹角为，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 6. 若复数，且，则（ ） A. -32 B. -16 C. 16 D. 32 7. 设向量，，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 空间中，4条不同的直线可能确定4个不同的平面 B. 在四面体中，为的中点，则直线与异面 C. 若一个平面内有3个不共线的点到另一个面的距离相等，则这两个平面平行 D. 正方体各面所在平面将空间分成27个部分 11. 若△ABC的内心与外心分别为N，O，且，，，则（ ） A. B. 点N到AB的距离为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 在复数范围内，方程的解集为______. 13. 已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为______. 14. 如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边分别是且向量满足. （1）求A； （2）若，求BC边上的高. 16. 在平行四边形中，. （1）若与交于点，求的值； （2）求的取值范围. 17. 如图，在长方体中，，.点M，N分别在棱，上，且，直线平面. （1）请指出点的位置（不需要说明理由），并求平面四边形的周长； （2）求几何体的体积. 18. 某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为两点为稻草人，为该圆形菜地边缘上任意一点，要求为的中点. （1）若，求； （2）设，试将表示为的函数； （3）若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点处观察稻草人时，观察角度的最大值不小于，试求两个稻草人之间的距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $