专题01 抛物线的平移、对称变换6种类型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题01 抛物线的平移、对称变换 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、抛物线上下平移 4 类型二、抛物线左右平移 5 类型三、抛物线沿倾斜方向平移 6 类型四、沿x轴翻折 7 类型五、沿y轴翻折 8 类型六、旋转 9 压轴题能力测评 10 1 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 5 二次函数的图像和性质 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 类型一、抛物线上下平移 例．如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．    （1）抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 【变式训练1】．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．    【变式训练2】．如图，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，将抛物线向上平移2个单位长度，点的对应点为，点的对应点为，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．    【变式训练3】．设抛物线，其中a为实数． （1）不论a为何值，该抛物线必经过一定点 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 类型二、抛物线左右平移 例．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【变式训练1】．如果抛物线沿轴向左平移个单位长度后经过原点，那么 ． 【变式训练2】．若把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，且知抛物线的顶点为，且与轴交于点，抛物线的顶点为，则 ． 【变式训练3】．已知二次函数的图象与轴的交点为，点在函数的图象上．若点向左平移个单位得，点向右平移个单位得，当点都落在二次函数的图象上时，则点的坐标为 ． 类型三、抛物线沿倾斜方向平移 例．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【变式训练1】．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则 ． 【变式训练2】．将二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y＝2x+1上，则k的值为 ． 【变式训练3】．已知将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则 ， ． 类型四、沿x轴翻折 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 例．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【变式训练1】．将抛物线y＝2（x＋2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为 ． 【变式训练2】．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 【变式训练3】．已知抛物线． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为 ． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为 ． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为 ． 类型五、沿y轴翻折 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 例．将抛物线沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【变式训练1】．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（　　） A．将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象 B．将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象 C．将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象 D．将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象 【变式训练2】．已知抛物线的解析式为，则下列说法中错误的是(   ) A．若将该抛物线沿轴平移，则的值不变 B．若将该抛物线沿轴平移，则的值不变 C．若将该抛物线沿轴翻折，则的值不变 D．若将该抛物线沿轴翻折，则的值不变 【变式训练3】．已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（    ） A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变 C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变 类型六、旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 例．将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为 ． 【变式训练1】．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程： ． 【变式训练3】．如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，直至得C2019．若P（m，2）在第2019段抛物线C2019上，则m = ． 1．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 3．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点 A．①② B．①③ C．①③④ D．②③ 4．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 5．将函数的图像先绕原点旋转180°，再向上平移2个单位，向右平移2个单位，则所得函数表达式是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转180°，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则原抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 7．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： (1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______； (2)阴影部分的面积______； (3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______； 8．如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)若该抛物线过点； ①求该抛物线的表达式，并求出此时两点的坐标； ②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为点的对应点为，求平移后顶点坐标和线段的长； (2)点关于的对称轴的对称点的坐标为______（用含的代数式表示）． 9．定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式； (2)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 抛物线的平移、对称变换 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、抛物线上下平移 4 类型二、抛物线左右平移 8 类型三、抛物线沿倾斜方向平移 11 类型四、沿x轴翻折 13 类型五、沿y轴翻折 17 类型六、旋转 19 压轴题能力测评 22 1 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 5 二次函数的图像和性质 用配方法可化成：的形式，其中. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）: 顶点坐标是（﹣，）， 对称轴直线x＝﹣， 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上， x＜﹣时，y随x的增大而减小； x＞﹣时，y随x的增大而增大； x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， x＜﹣时，y随x的增大而增大； x＞﹣时，y随x的增大而减小； x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 类型一、抛物线上下平移 例．如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．    （1）抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键． （1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）由题意可知，当时，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：2； （2）当时，， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，    当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 【变式训练1】．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为 ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同， ∵， ∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值， 由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值， （I）当时， ①且， 解得， ②当且， 解得 （II）当时， ①且 无解； ②且， 无解， 故答案为：或． 【变式训练2】．如图，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，将抛物线向上平移2个单位长度，点的对应点为，点的对应点为，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．    【答案】2 【分析】连接，，如图，先解方程得，再利用抛物线的平移得到，所以抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积． 【详解】连接，，如图，    当时，，解得，， ， 抛物线向上平移2个单位长度，点的对应点为，点的对应点为， ， 抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 【变式训练3】．设抛物线，其中a为实数． （1）不论a为何值，该抛物线必经过一定点 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 【答案】 （-1，0） 2 【分析】（1）将抛物线解析式变形为，当x+1=0时，无论a为何值，抛物线恒过某一定点； （2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值． 【详解】解：（1）将抛物线解析式变形为， 当x+1=0即x=-1时，抛物线恒过定点（-1，0）． 故答案是：（-1，0）； （2）向上平移2个单位可得，， ∴， ∴抛物线顶点的纵坐标， ∵-＜0， ∴m的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单． 类型二、抛物线左右平移 例．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 【变式训练1】．如果抛物线沿轴向左平移个单位长度后经过原点，那么 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线的性质， 先把抛物线写成顶点式，再求平移后抛物线的解析式，把代入可得：，再解方程即可． 【详解】解：， ∴抛物线沿轴向左平移个单位长度， 平移后抛物线解析式为：， 把代入可得：， 解得：，； 故答案为：1或2． 【变式训练2】．若把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，且知抛物线的顶点为，且与轴交于点，抛物线的顶点为，则 ． 【答案】144 【分析】根据抛物线的平移规则，求出的值，进而求出两条抛物线的顶点坐标和点的坐标，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴， ∴平移以前的抛物线为，平移后的抛物线为， ∴，， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移，与轴的交点，求顶点坐标．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【变式训练3】．已知二次函数的图象与轴的交点为，点在函数的图象上．若点向左平移个单位得，点向右平移个单位得，当点都落在二次函数的图象上时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式，二次函数的性质；先求得抛物线的对称轴为直线，进而设的坐标为，得出的中点坐标横坐标，依题意可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设的坐标为，依题意，的中点坐标横坐标为 ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 类型三、抛物线沿倾斜方向平移 例．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答． 【详解】解：， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律． 【变式训练1】．把抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则 ． 【答案】 【分析】先求出函数的顶点坐标，再根据平移的特点得出原函数的顶点坐标，再写出原函数的顶点式，化为一般式，即可得，的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴所得图象的顶点坐标是， ∴移动前的抛物线的顶点坐标是，即， ∴根据顶点式抛物线解析式可得移动前的抛物线为， ∴，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式及二次函数图象的平移，正确找出平移后函数的顶点坐标，再根据平移得出平以前函数的顶点坐标是解答本题的关键． 【变式训练2】．将二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y＝2x+1上，则k的值为 ． 【答案】0 【分析】先求出二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象平移后的顶点坐标，再将它代入y＝2x+1，即可求出k的值． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的顶点坐标为（k，k+1）， ∴将y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为（k+1，k+3）． 根据题意，得k+3＝2（k+1）+1， 解得k＝0． 故答案是：0． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数y＝−（x−k）2＋k＋1的图象平移后的顶点坐标是解题的关键． 【变式训练3】．已知将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则 ， ． 【答案】 0 -6 【详解】将，化为顶点式，再逆向得出的解析式，通过系数对应法即可求出答案. 解：＝ 由题可知，将可得到的函数图象， ∴＝＝， ∴0，－6. 故答案为0；－6. 类型四、沿x轴翻折 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 例．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 【详解】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【变式训练1】．将抛物线y＝2（x＋2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】（-5，5） 【分析】利用顶点式解析式写出平移后抛物线的解析式，最后写出关于x轴对称的抛物线的解析式即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线y＝2（x＋2）2−5向左平移3个单位的顶点坐标为（−5，−5）， ∴得到新的图象的解析式y＝2（x＋5）2−5， ∴将图象沿着x轴翻折，则翻折后的图象对应的函数解析式为y＝−2（x＋5）2＋5． ∴变换后顶点的坐标为（−5，5）． 故答案为：（−5，5）． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化． 【变式训练2】．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 【答案】0＜b＜4． 【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4） 当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， 抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0）， 所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 故答案是：0＜b＜4． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【变式训练3】．已知抛物线． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为 ． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为 ． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）与翻折的规律（沿x轴翻折，x不变y变为相反数，沿y轴翻折，y不变，x变为相反数）分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】解， （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与翻折规律，熟练掌握二次函数图象的平移与翻折规律是解题的关键． 类型五、沿y轴翻折 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。 例．将抛物线沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把y=x2﹣6x+7配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣2），再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2），然后利用顶点式写出变换后的抛物线解析式． 【详解】∵y=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣2）． ∵点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2），∴抛物线y=x2﹣6x+7沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是y=（x+3）2﹣2，即y=x2+6x+7． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线翻折后的形状不变，故|a|不变，所以求翻折后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意三点翻折后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是考虑翻折后的顶点坐标和a的正负，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质． 【变式训练1】．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（　　） A．将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象 B．将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象 C．将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象 D．将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象 【答案】D 【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意; B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意; C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意; D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键. 【变式训练2】．已知抛物线的解析式为，则下列说法中错误的是(   ) A．若将该抛物线沿轴平移，则的值不变 B．若将该抛物线沿轴平移，则的值不变 C．若将该抛物线沿轴翻折，则的值不变 D．若将该抛物线沿轴翻折，则的值不变 【答案】D 【分析】利用抛物线的性质和抛物线的平移规律和翻折变换各选项分析判断，即可求解． 【详解】A. 若将该抛物线沿轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，则的值不变，故该选项正确，符合题意； B. 若将该抛物线沿轴平移，开口大小、开口方向不变，则的值不变，故该选项正确，符合题意； C. 若将该抛物线沿轴翻折，开口大小、开口方向不变，与轴的交点不不变，则的值不变，故该选项正确，符合题意； D. 若将该抛物线沿轴翻折，由于开口方向变化，对称轴没有变化，则的值变为，故该选项不正确，不符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质． 【变式训练3】．已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（    ） A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变 C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变 【答案】D 【分析】根据二次函数图像的平移规律分别判断A，B，根据翻折前后的开口方向，对称轴以及与y轴交点情况判断C，D． 【详解】解：A、若将图象沿y轴平移m个单位， 则， ∴a值不变，b值不变，故正确，不符合题意； B、若将图象沿x轴平移m个单位， 则， ∴a值不变，b值变化；故不符合题意； C、若将图象沿y轴翻折， 则开口方向不变，对称轴变化，与y轴交点不变， ∴a值不变，b值变化，c值不变，故正确，不符合题意； D、若将图象沿x轴翻折， 则开口方向变化，对称轴不变，与y轴交点变化， ∴a值变化，b值变化，c值变化，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，平移规律，以及翻折前后各部分的变化情况． 类型六、旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 例．将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再根据绕顶点旋转后的图象与原图象开口相反，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为， 即． 故答案为：． 【变式训练1】．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答． 【详解】解： 所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为； 可设新抛物线的解析式为， 代入得：， 把抛物线绕顶点旋转180°， 可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变， 所以，所求的抛物线解析式为：， 故答案为：． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程： ． 【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线． 【分析】由抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，此时正好与关于直线对称，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，正好与关于直线对称， ∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到的， 故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式训练3】．如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，直至得C2019．若P（m，2）在第2019段抛物线C2019上，则m = ． 【答案】6055或6056 【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【详解】∵（0≤x≤3）， ∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0）， ∴OA1=3， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； ∴OA2=2×3=6， 同理可得OA3=3×3=9， … ∴OA2019=2019×3=6057， ∴第2019段抛物线C2019可看作第1段抛物线y=-x2+3x（0≤x≤3）向右平移(6057-3)个单位， 当y=2时，-x2+3x=2，解得x1=1，x2=2， ∴点（1，2）和点（2，2）向右平移6054个单位所得对应点的坐标为（6055，2），（6056，2）， ∴m的值为6055或6056． 故答案为：6055或6056． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了从特殊到一般解决规律型问题的方法． 1．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式．先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到平移后对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移2个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 2．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换，熟练掌握并利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减进行分析是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即． 故选：C． 3．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点 A．①② B．①③ C．①③④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图像有个交点，故④正确． 【详解】解：∵由图象可知二次函数与轴的交点为和， ∴二次函数的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； ∵由图象可知二次函数与轴的交点为， ∴二次函数与轴的交点为， ∴，故②错误； ∵由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在轴的右侧， ∴，， 又∵， ∴，故③正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示： ∴此时，直线与函数图像有个交点，故④正确， 综上：正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 4．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 5．将函数的图像先绕原点旋转180°，再向上平移2个单位，向右平移2个单位，则所得函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像的对称性以及的函数图像的特征，确定将函数的图像先绕原点旋转180°后所对应的函数解析式为，然后按照二次函数图像平移的规律“上加下减、左加右减”，即可求得平移后的解析式． 【详解】解：将函数的图像先绕原点旋转180°， 图像旋转后所对应的函数解析式为， 再将其向上平移2个单位，向右平移2个单位， 平移后的解析式为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握二次函数图像的变换规律是解题关键． 6．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转180°，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则原抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线y＝x2+5x+6的顶点坐标，再求得向下平移3个单位长度后的顶点，最后求出绕原点旋转180°的抛物线解析式顶点即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴顶点为 ∴向下平移3个单位长度顶点为， ∵绕原点旋转180°后，二次项系数变为原来相反数，顶点不变， ∴得到原抛物线的方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键． 7．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： (1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______； (2)阴影部分的面积______； (3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______； 【答案】(1)， (2)2 (3)向上， 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， ∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 故答案为：，； （2）解：阴影部分的面积是：． 故答案为：2； （3）解：∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为，开口方向向上． 故答案为：向上，． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． 8．如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)若该抛物线过点； ①求该抛物线的表达式，并求出此时两点的坐标； ②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为点的对应点为，求平移后顶点坐标和线段的长； (2)点关于的对称轴的对称点的坐标为______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①，；②，2 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （1）①将代入，求出n的值即可确定函数解析式；②根据平移的性质可得向上平移2个单位长度后为，即可得出结果； （2）先求M点坐标，再求抛物线的对称轴为直线，则M点关于对称轴的对称点为． 【详解】（1）解：①将点坐标代入，则， 则， 抛物线与轴交于两点， 将代入，即， 解得，； ； ②∵向上平移2个单位长度后为， 平移后顶点坐标为，线段的长为2； （2）解：当时， ， ∴， 抛物线与轴交于点， ∵， 抛物线对称轴为直线， ， 点关于的对称轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 9．定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解题意，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）将配成顶点式为，可知抛物线的顶点坐标为，再根据“相关抛物线”定义即可求解； （2）由（1）可知，由此得抛物线的表达式为，联立抛物线和抛物线，求得抛物线和抛物线与x轴的交点为和，再根据当直线经过点时，当直线与抛物线有一个交点时，求得临界值，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线与抛物线为“相关抛物线”， ∴抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ，， ∴， （2）由（1）可知， ∵抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的表达式为， 联立抛物线和抛物线得：，解得：， ∴抛物线和抛物线与x轴的交点为和， 若直线 与图形M的边界有4个公共点，则直线需在如图所示的两条虚线之间． 当直线经过点时， ，解得：， 当直线与抛物线有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 方程化简为 ， 则， ， 综上，当直线 与图形 M 的边界有 4个公共点时，a的取值范围为 ． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式； (2)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据点P与点C的位置，结合图象分类讨论即可； （3）求出线段的三等分点的坐标，用待定系数法可得抛物线平移后的解析式，从而可得平移前后两函数顶点之间的距离，即可得出答案； 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）在中， 令，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，， ∴或， 当时， 图象G的最大值为9，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象G的最大值与最小值的差为4： 当时， 图象G的最大值为9，最小值为5，图象G的最大值与最小值的差为4： 当时， 图象G的最大值为，最小值为5， ∴， 解得（舍去）； 当时， 图象G的最大值为5，最小值为， ∴， 解得或（舍去） 综上所述：或时，图象G的最大值与最小值的差为4： （3）∵，， ∴将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得，， ∴线段的两个三等分点坐标为，， 设平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 而抛物线的顶点为， ∴平移前，后抛物线的顶点之间的距离为， ∴抛物线平移的最短路程为； 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、两点之间的距离等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论时解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$