专题02 几何体的表面积、体积、轴截面、球内切外接问题（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

专题02几何体的表面积、体积、轴截面、球内切外接问题 1.求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 2.求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 3.截面问题 在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状. 4.几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 5.几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 题型一：柱、锥、台体的表面积 一、填空题 1．（高二上·上海杨浦·期末）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的侧面积大小为 .(结果保留) 【答案】 【分析】由题设知：圆锥的轴截面为等边三角形，进而求圆锥的底面周长，由扇形面积公式求圆锥的侧面积大小. 【详解】由题设，圆锥的轴截面为等边三角形，又圆锥的母线长为2， ∴底面半径为1，则底面周长为， ∴圆锥的侧面积大小为. 故答案为：. 2．（22-23高二上·上海长宁·期中）如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是 . 【答案】 【分析】由几何体模型，分别计算侧面积、各部分上底面积，求和即可得解. 【详解】根据所给几何体，分别求得每层的侧面积，再加上下底面积，减去覆盖部分的面积，可知表面积为： 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积. 【详解】由题意得为等边三角形，且边长为40，如图所示， 所以弧的长度为， 曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为10的矩形， 所以曲侧面三棱柱的侧面积为. 故答案为： 二、解答题 4．已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积． 【答案】侧面积是32，表面积是48 【分析】由正四棱锥的高，斜高，边心距组成的直角三角形，依据题意可以求出高与斜高，即可求得正四棱锥的侧面积和表面积． 【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 底面边心距为，它们组成一个直角三角形； ， ， 所以正四棱锥的侧面积， 底面正方形面积为， 则正四棱锥的表面积为， 即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 5．如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，求出，进而求出正四棱锥的侧面积，进而求解； （2）连接交于，则，结合线面平面的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为， 取的中点，连接， 由题意可得， 由题意可得， 所以正四棱锥的表面积为； （2）连接交于，由题意可得为的中点， 连接为的中点，在中，得， 平面，平面， 所以平面． 6．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．    (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积求出其高，进而即可求出圆柱的表面积； （2）由题意可得，从而得到异面直线与所成角为，再求出，，再利用余弦定理计算夹角即可求解． 【详解】（1）设圆柱的高为， 由是底面圆的直径，且，， 则,则圆柱的底面半径为， 又圆柱的体积为，解得， 所以圆柱的表面积为． （2）连接，， 由题意可得， 则异面直线与所成角为直线与所成角，即， 又结合（1）可得,， 在中，有， 在中，有， 所以， 故异面直线与所成角的大小为．    7．（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    【答案】． 【分析】由题意知道健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 【详解】健身哑铃表面积为两个大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积减去小圆柱的上下底面积. 则该健身哑铃的表面积为. 8．（23-24高二上·上海·期中）如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    (1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； (2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积） 【答案】(1)存在点位于的中点处时，点F在平面上理由见解析. (2)新棱柱的表面积为或 【分析】（1）运用经过两条平行线有且只有一个平面证明即可. （2）重新组合后有三种情况，分别计算三种情况下的表面积即可. 【详解】（1）存在点位于的中点处时，点F在平面上. 理由如下：当点位于的中点时，连接、，如图所示，    因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又是的中点，为的中点，所以， 所以， 所以点、、、四点共面，即点F在平面上. （2）①如图所示，    由题意知，，，则， 所以此三棱柱的表面积为（）. ②如图所示，    所以此三棱柱的表面积为（）. ③如图所示，    所以此三棱柱的表面积为（）. 综述：新棱柱的表面积为或. 题型二：柱、锥、台体的体积 一、单选题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为a，长为定值的线段在棱上移动（），若P是上的定点，Q是上的动点，则四面体的体积是（    ） A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 【答案】D 【分析】作出图形，由几何知识可证为定值，点到平面的距离也为定值，从而求解. 【详解】连接，如图，则由题意知到为点到的距离，又因为为定值，故为定值， 又因为，所以，又因为平面，平面，所以平面， 又由是棱上动点，故点到平面的距离也为定值，即四面体的底面积和高均为定值， 故四面体的体积为定值，故D正确. 故选：D.    二、填空题 2．（23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 . 【答案】/1:7 【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的圆锥底面半径、母线，结合三角形相似即可求出小圆锥和圆台的体积之比. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 由题意，，，故， 作圆锥轴截面如下图： 所以，，，所以圆锥体积为， 因为用与底面的距离为的平面截圆锥，故，且， 所以小圆锥体积， 所以圆台的体积， 故小圆锥和圆台的体积之比为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，切线方程为，Ω的水平截面为圆环，外半径为，内半径为，故截面面积，利用祖暅原理，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥．Ω与圆锥的体积相等，直接用圆锥的体积公式求V． 【详解】设切线方程为x＝ky+1，代入y＝x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得， 故切线方程为，且切点坐标为 过点（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面为圆环，当y＝t时，代入得截面圆环外半径， 当y＝t时，代入y＝x2得截面圆环内半径，截面圆环面积为． 为了截出面积为的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥PO， 圆锥及其轴截面如下图：其中,， 在距离底面为t的处作底面的平行截面，设此时截面半径为r0，，即，解得， 此截面的面积为，与截面圆环面积相同， 圆锥体积为，所以的体积为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为 ．    【答案】/ 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】作出图形，，，,平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要解决三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来即可求解. 【详解】 由题意，，,平面与平面所成的角为， 作，平面，则该二面角的平面角为， 由题意得：， 因为，， 所以，， ， ， ， 当时，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解. 6．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，， 且到平面的距离为， ，， ，， ， 又， ，， ，，， . 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值. 三、解答题 7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）如图，在正四棱锥中，为底面的中心． (1)若，，求正四棱锥的体积； (2)若，为的中点， 求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，再利用体积公式计算即可得； （2）连接，结合正四棱锥的性质与线面垂直的判定定理可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【详解】（1）正四棱锥满足平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故，则； （2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是即为直线与平面所成角， 设，则，， 又线面角的范围是，故，即直线与平面所成角的大小为. 8．（24-25高二上·上海·单元测试）在棱长为1的正方体中，E、G分别为棱和的中点． (1)求异面直线AE与DG所成的角； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答. （2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答. 【详解】（1）在正方体中，棱长为1，连接，如图， 因为，分别为棱和的中点， 则， 因此四边形是平行四边形， 则，即是异面直线与所成的角或其补角， 在中，， 而正方体的体对角线， 由余弦定理得：， 又因为异面直线与所成的角为锐角， 所以异面直线与所成的角为. （2）在正方体中，平面， 即为三棱锥的高， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 9．（22-23高二上·上海静安·期中）设台体上、下底面积分别为和，上下底面的距离为.求证： 【答案】证明见解析 【分析】设顶点P到平面的距离为，根据相似得出，即可根据计算化简证明. 【详解】如图所示：棱台可以看作由棱锥截成， 设顶点P到平面的距离为， 根据平行四边形ABCD与相似可得：， 则， 则， ， ， ， ， 故棱台的体积. 10．（23-24高二上·上海·阶段练习）从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． (1)求圆锥筒的容积； (2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积； （2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可. 【详解】（1）设圆锥筒的半径为，容积为， ∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为， ∴，解得， ∴， ∴. ∴圆锥筒的容积为. （2）设内接圆柱高为，由圆锥内接圆柱的轴截面图， 得， 所以内接圆柱侧面积 ， 所以当时内接圆柱侧面积最大，最大值为. 【点睛】本题考查圆锥与扇形展开图的关系、体积以及内接圆柱侧面积最值的计算，考查计算求解能力，属于中档题. 11．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，为圆O的直径，，和是圆柱的母线，且圆柱的侧面积为； (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据侧面积求解出，然后求解出，再利用三棱锥体积公式求解出结果； （2）先确定与所成角即为或其补角，然后根据余弦定理求解出，则结果可求. 【详解】（1）连接，如下图， 因为圆柱的侧面积为， 所以，所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）连接，如下图， 因为几何体为圆柱，所以， 所以与所成角即为或其补角， 又因为，， 所以， 故与所成角的大小为. 12．（23-24高二上·上海·期末）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的体积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 【答案】(1) (2)异面直线所成角的正切值为，该亭子满足建筑要求. 【分析】（1）用圆锥体积公式和圆柱体积公式直接代入求解. （2）圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，然后直接求解. 用的正切值转化出然后判断是否满足建筑要求. 【详解】（1） （2）观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，所以， 因为 所以该亭子满足建筑要求. 13．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 14．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面； （3）设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 题型三：柱、锥、台体的截面 一、单选题 1．（高二上·上海杨浦·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出圆柱底面半径r与母线l的关系即可求解圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则该圆柱轴截面矩形的一组邻边长分别为2r，l， 依题意，，解得， 由圆柱侧面积公式得：， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：A 2．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解. 【详解】 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为，所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 故选:B. 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 二、填空题 4．（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 【答案】 【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解. 【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是， 所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为， 所以圆柱的底面的面积为. 故答案为：. 5．（高二上·上海浦东新·期末）把一个母线长为10cm的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为1∶4，则圆台的母线长是 cm． 【答案】5 【分析】根据圆台的上、下底面积的比可得半径比，利用比例可得答案. 【详解】作出圆锥的轴截面如图，因为圆台的上、下底面积的比为1∶4，所以上、下底面圆的半径之比为1∶2，所以； 利用平行线截线段成比例，则， 因为圆锥的母线长为10cm，即，所以， 所以圆台的母线长是. 故答案为：5. 6．（22-23高二上·上海普陀·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 【答案】 【分析】由展开图的圆心角和半径可求出圆锥底面圆的周长和半径，从而求出圆锥的高，即可求得轴截面的面积. 【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆， 所以扇形弧长，即圆锥底面圆的周长为， 则圆锥底面圆半径， 圆锥直观图如图所示： 易知：，，则， 所以轴截面的面积. 故答案为： 7．（高二上·上海金山·阶段练习）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 ． 【答案】2 【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可. 【详解】解：由题知，过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形(直角边为母线）时，截面面积最大， 所以，最大截面面积为． 故答案为： 8．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的轴截面是一个顶角为,腰长为2的等腰三角形，则经过该圆锥任意两条母线的平面截圆锥所得截面面积最大值是 . 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知圆锥的母线为 设圆锥任意两条母线的夹角为， 则经过该圆锥任意两条母线的平面截圆锥所得截面面积为， 由于，故当时，面积最大为2， 故答案为：2 9．（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）如图，圆锥的底面直径和高均是1，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】 设，用x的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】 圆锥轴截面如图所示， 设圆柱的底面半径为r，，由可知，，即， 所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 故答案为： 10．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥．如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比为 ．    【答案】 【分析】根据三角形相似比与面积比之间的关系即可得到答案. 【详解】由题意知，所以， 所以， 故答案为：. 11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 计算出圆锥的底面半径，设圆锥轴截面的顶角为，结合余弦定理可知为钝角，则两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得， 由余弦定理可得，则为钝角， 故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先计算出圆锥的高，然后分析轴截面三角形顶角的大小，结合三角形面积公式求解出截面面积的最大值. 【详解】圆锥的高为， 因为，且为锐角， 所以，所以， 不妨设任意两条母线的夹角为， 则截面面积， 当且仅当时取等号，此时两条母线的夹角为， 所以， 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 14．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，利用线面平行的判定定理证得平面即为平面，从而得截面四边形为菱形，然后根据菱形面积公式求解即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F， 因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又，，所以，所以四边形为菱形， 因为，， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海嘉定·期中）已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】做出截面三角形，根据三角形面积公式，当截面面积最大时，为等腰直角三角形，结合线面角的定义，确定为所求，解出即可. 【详解】设圆锥的母线长为，过顶点的截面顶角为， 由题可知截面为等腰三角形， 所以截面的面积， 所以当时，， 如图所示， 为面积最大截面，且为等腰直角三角形， 为边上的高，所以， 又圆锥轴截面顶角为， 所以， 由线面角定义知，为所求， 在中，， 故，所以圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 故答案为： 16．（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 17．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在底面半径为3，母线长为5的圆锥中内接一个高为的圆柱．用表示圆柱的侧面积 ．    【答案】， 【分析】先求出圆锥的高，再由内接关系有（分别为圆柱、圆锥底面半径），最后利用圆柱侧面积求法求结果. 【详解】由题设，圆锥的高，由该圆锥中内接一个高为的圆柱， 设圆柱的底面半径为，则，故， 所以圆柱的侧面积且. 故答案为：， 18．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【详解】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 三、解答题 19．（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【答案】(1)详见解析 (2)或； (3) 【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明； （2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值； （3）首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值. 【详解】（1）如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以； （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 题型四：多面体与球体内切外接问题 1．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】C 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 则三棱柱为直三棱柱， 又∵，则可将直三棱柱补成长方体， ∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 故球O的直径为 ∴球O的半径为. 故选：C.    2．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 只要该四面体外接球在正方体内部即可满足题意，该四面体的棱长的最大时外接球是正方体的内切球，由此计算即可． 【详解】设正四面体棱长为，外接球球心是，外接球半径为，如图，是底面三角形的外心，则，， 由得，解得， 该四面体可以在正方体内任意转动，由四面体外接球最大是正方体的内切球， 所以最大时，，， 故选：B． 3．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 【答案】 【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 【答案】 【分析】作出图形，利用和得到关于的方程组，求出的值，再由题意，判断两球相交形成的图形为圆面，利用余弦定理求出，求得圆面的半径，即得交线长. 【详解】 如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接, 则必过的中心，， 则又，联立解得. 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 如图，在中，，故， 所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为． 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    【答案】 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 6．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）圆柱体积减去球的体积即可； （2）分别拿出垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切知识，得出，再求出每个小圆占整个空间的圆心角，进而得解. 【详解】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 几何体的表面积、体积、轴截面、球内切外接问题 1.求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 2.求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 3.截面问题 在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状. 4.几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 5.几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 题型一：柱、锥、台体的表面积 一、填空题 1．（高二上·上海杨浦·期末）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的侧面积大小为 .(结果保留) 2．（22-23高二上·上海长宁·期中）如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是 . 3．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 二、解答题 4．已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积． 5．如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 6．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．    (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm，高为2cm，连杆圆柱的底面半径为2cm，高为12cm．求该健身哑铃的表面积．    8．（23-24高二上·上海·期中）如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    (1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； (2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积） 题型二：柱、锥、台体的体积 一、单选题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为a，长为定值的线段在棱上移动（），若P是上的定点，Q是上的动点，则四面体的体积是（    ） A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量 C．没有最值的一个变量 D．是一个常量 二、填空题 2．（23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 . 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为 ． 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为 ．    5．（23-24高二上·上海·期末）三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由公共端点且不共面的三条射线以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为 . 6．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    三、解答题 7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）如图，在正四棱锥中，为底面的中心． (1)若，，求正四棱锥的体积； (2)若，为的中点， 求直线与平面所成角的大小． 8．（24-25高二上·上海·单元测试）在棱长为1的正方体中，E、G分别为棱和的中点． (1)求异面直线AE与DG所成的角； (2)求三棱锥的体积． 9．（22-23高二上·上海静安·期中）设台体上、下底面积分别为和，上下底面的距离为.求证： 10．（23-24高二上·上海·阶段练习）从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． (1)求圆锥筒的容积； (2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值． 11．（23-24高二上·上海长宁·期末）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，为圆O的直径，，和是圆柱的母线，且圆柱的侧面积为； (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 12．（23-24高二上·上海·期末）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体的体积； (2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 13．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 14．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 题型三：柱、锥、台体的截面 一、单选题 1．（高二上·上海杨浦·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海浦东新·期中）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是 . 5．（高二上·上海浦东新·期末）把一个母线长为10cm的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为1∶4，则圆台的母线长是 cm． 6．（22-23高二上·上海普陀·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 7．（高二上·上海金山·阶段练习）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 ． 8．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的轴截面是一个顶角为,腰长为2的等腰三角形，则经过该圆锥任意两条母线的平面截圆锥所得截面面积最大值是 . 9．（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）如图，圆锥的底面直径和高均是1，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 . 10．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥．如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比为 ．    11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 13．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    14．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 15．（23-24高二上·上海嘉定·期中）已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ． 16．（22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 17．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在底面半径为3，母线长为5的圆锥中内接一个高为的圆柱．用表示圆柱的侧面积 ．    18．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    三、解答题 19．（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 题型四：多面体与球体内切外接问题 1．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）在棱长为12的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 5．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    6．（24-25高二上·上海·单元测试）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$