3.2.1函数的单调性与最值（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

3.2.1函数的单调性与最值 题型一 用定义法判断或证明函数的单调性 1．下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 2．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 3．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号，所以当时，，当时，，故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 4．设函数的定义域为，则“，”是“在上为增函数”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接根据单调性的定义说明必要性，然后构造反例说明条件不是充分的，即可得到答案. 【详解】一方面，若在上为增函数，则根据增函数的定义，知对任意实数都有，所以必要性成立； 另一方面，对于定义在上的函数： 由于对任意实数，和或者都是整数，或者都不是整数. 故且，或者且. 无论怎样，都一定有. 但是，，故由， 则不是上的增函数，所以充分性不成立. 故选：B. 5．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】由函数单调递减的性质即可求解. 【详解】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数，所以，所以. 故答案为：(或). 6．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，转化成恒成立问题，再利用单调性求最小值即可. 【详解】不等式对恒成立等价于在恒成立，即， 设，， 则， 因为，所以，，所以在上为递增函数，当取得最小值，所以. 故答案为： 7．已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用单调性定义可判断出的单调性，进而确定最小值点. 【详解】设， 则， ，，， 在上单调递减，. 故答案为：. 8．判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】函数在上是严格减函数，证明见解析 【分析】运用函数单调性定义，按照“任取，假设，作差，变形，定号，结论”步骤证明即可. 【详解】函数在上是严格减函数，证明如下： 任取且，则. 因为，所以且，，所以，所以， 所以在上是严格减函数. 9．证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论 【详解】（1）任取，且， 则 ． ∵，∴，，∴，∴， ∴函数在上是严格减函数． （2）任取， 则． ∵，∴，， ∴，∴， ∴函数在上是严格增函数． 题型二 求函数的单调区间 1．下列说法正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 【答案】B 【分析】 根据单调函数的定义、函数的单调性和单调区间的概率依次判断即可. 【详解】 对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意，没有“任意”二字，故A错误； 对B，该二次函数是一条对称轴为，开口向上的抛物线， 函数在上为增函数，故B正确； 对C，函数在和上分别为增函数，但不能说定义域内单调递增，故C错误； 对D，函数在和上分别为减函数，同时区间不能用 “”符号连接，故D错误. 故选：B 2．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 3．下列说法不正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【分析】根据单调性定义，结合常见函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：根据单调性的定义，A选项中的不具有任意性，故A错误； 对B：，根据二次函数的单调性易知，其在上为增函数，故B正确； 对C：在单调递增，在单调递增，在定义域不是单调增函数，故C错误； 对D：函数在和上单调递减，没有单调增区间，故D错误. 故选：ACD. 4．函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上，所以的单调递增区间为. 故答案为： 5．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【分析】根据图象的变化情况直接求解即可. 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的，所以此函数的增区间是. 故答案为： 6．函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【分析】化简函数，作出函数的大致图象，即可求解. 【详解】由函数，作出函数的大致图象，如图所示， 可得函数的单调递增区间是和. 故答案为：和. 7．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式；(2)指出的单调区间；(3)直接写出的值域． 【答案】(1)；(2)单调增区间为：，；单调减区间为：； (3). 【分析】（1）利用待定系数法结合图象即可求出其解析式； （2）根据图象即可得到其单调区间； （3）根据图象即可得到其值域. 【详解】（1）当时，设解析式为，由图象有，解得， ∴，当时，设解析式为． ∵图象过点，∴，解得，∴， 综上，函数在上的解析式为． （2）由图知单调增区间为：，；单调减区间为：． （3）由图可知，其值域为． 8．已知函数， (1)在所给的坐标系中画出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间和值域； 【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据二次函数和一次函数的图象作出的图象； （2）由图象写出单调区间和值域即可. 【详解】（1）作出的图象如图所示： （2）由图知：的单调减区间为，单调增区间为，值域为. 9．已知函数的解析式. (1)求；(2)若，求的值； (3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）. 【答案】(1)；(2)或； (3)图象见解析，单调递增区间，单调递减区间为，函数的值域 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，列出方程求解即可． （3）直接利用分段函数作图法，作出分段函数的图象，写出单调区间以及函数的值域即可； 【详解】（1）解： 函数的解析式． ，； （2）解：因为且，所以，解得， ，解得（舍去），，解得， 综上或． （3） 解：画出函数的图象如图： 由图可知，函数的单调递增区间，单调递减区间为，函数的值域． 题型三 根据函数的单调性求参数 1．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 2．“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数性质分析可知若函数在上单调递减，等价于，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解. 【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数在上单调递减，等价于， 显然是的真子集，所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 3．函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性判断. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 4．下列说法，正确的是（    ） A．不等式的解集为； B．在区间的值域为； C．的最小值为3； D．若二次函数在区间上为减函数，那么 【答案】CD 【分析】对A：直接求得不等式的解集，即可判断；对B：根据二次函数的单调性，结合函数定义域，即可求得值域；对C：利用基本不等式，求和的最小值，即可求得结果；对D：根据二次函数的单调性，结合对称轴方程，列出不等式，即可求得参数范围. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，其对称轴方程为， 故该二次函数在单调递减，在单调递增； 当时，；当时，；当时，； 故该二次函数在区间的值域应为，B错误； 对C：因为，故， 当且仅当，且时，也即时取得等号，C正确； 对D：二次函数的对称轴为，要在区间上为减函数，则，D正确. 故选：CD. 5．若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先判断出在上的单调性，然后根据条件列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围，则正确选项可知. 【详解】因为当时，函数为单调递增函数， 又函数在上是单调函数，则需满足，解得， 所以实数的范围为，所以满足范围的选项是BC， 故选：BC. 6．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示出二次函数的对称轴，然后列出不等式即可求解. 【详解】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数，所以，解得. 故答案为：. 7．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 8．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】对分类讨论，再结合一次、二次函数的性质列不等式组即可求解. 【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 9．（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【详解】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数，所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即，整理得． ∵，∴，∴．∵，，∴． 10．已知函数的单调递增区间是单调递减区间是． (1)求函数的解析式； (2)若的图象与直线恰有三个公共点，求的取值范围 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题意知,求得得的解析式； （2）求出的极值, 根据的图象与直线恰有三个公共点列出满足的条件. 【详解】（1），依题意有,即,解得, 此时., 由得或,由得, 所以单调递增区间是,单调递减区间是,所以符合题意, 函数的解析式为. （2）由条件可知，函数有极大值，极小值. 因为的图象与直线恰有三个公共点，所以，. 1．证明：函数在上是严格减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】设是区间上的任意给定的两个实数，且， 则． ∵，∴，，， ∴，即，所以， ∴函数在上是严格减函数． 2．已知函数 (1)画出的图象，写出单调递增区间；(2)求的解集. 【答案】(1)图象见解析，单调增区间为和；(2). 【分析】（1）根据分段函数的函数解析式可得函数的图象，由图象可得函数的单调增区间； （2）根据函数的解析式分段解不等式即得. 【详解】（1）因为，可得函数的图象， 由图像可知单调增区间为和； （2）当时，由，解得， 当时，由，解得， 所以的解集为. 3．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解． 【详解】解析：∵， ∴的减区间是． 又∵已知在上是减函数，∴，即．∴所求实数的取值范围是， 故答案为：． 4．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】 （1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式； （2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上， 则可设，，即， 由的图象过点，可得，解得， 所以，即. （2）因为，对称轴， 因为在上是单调函数，所以或，解得或， 即实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1函数的单调性与最值 题型一 用定义法判断或证明函数的单调性 1．下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 2．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 3．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 4．设函数的定义域为，则“，”是“在上为增函数”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 6．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 7．已知，则的最小值为 . 8．判断并证明函数在区间上的单调性. 9．证明： (1)函数在区间上是严格减函数； (2)函数，是严格增函数． 题型二 求函数的单调区间 1．下列说法正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 2．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法不正确的是（    ） A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 4．函数的单调增区间是 ． 5．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 6．函数的单调递增区间为 ． 7．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式；(2)指出的单调区间；(3)直接写出的值域． 8．已知函数， (1)在所给的坐标系中画出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间和值域； 9．已知函数的解析式. (1)求；(2)若，求的值； (3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）. 题型三 根据函数的单调性求参数 1．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法，正确的是（    ） A．不等式的解集为； B．在区间的值域为； C．的最小值为3； D．若二次函数在区间上为减函数，那么 5．若函数在上单调递增，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 6．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 7．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ． 8．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 9．（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 10．已知函数的单调递增区间是单调递减区间是． (1)求函数的解析式； (2)若的图象与直线恰有三个公共点，求的取值范围 1．证明：函数在上是严格减函数． 2．已知函数 (1)画出的图象，写出单调递增区间；(2)求的解集. 3．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ． 4．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$