3.2.1函数的单调性与最值课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

环节一 函数的单调性 任务一 感受记忆规律，抽象生成函数单调性的概念 情境引入 【德】艾宾浩斯 人对知识的记忆，是随着时间的增长，逐渐衰减的． 3 情境引入 如果要比较好的保留对知识的记忆，就要及时进行复习，对记忆进行干预并加强． 【德】艾宾浩斯 活动探究 自变量是时间，函数值是记忆的保持量，这是用图像表示的函数． 如果将自变量记为x，函数值记为y，这个函数就可以表示为y=f(x)． 前面你已经学习了函数的概念和表示，那么图中的艾宾浩斯记忆曲线，可以看成一个函数吗？ 问题1 可以 活动探究 追问1 观察这个函数图像，你能描述出它的变化趋势吗？更进一步，能否用数学语言来描述呢？ 整体图像从左向右呈下降趋势； 函数值y随着自变量x的增大而减小． 活动探究 追问2 在之前的数学学习中，你还见过哪些类似这样的变化特征呢？ 函数值随自变量的增大而增大或减小 增减性 (初中) 在R内，y随x的增大而增大． 在和 内， 都是y随着x的增大而减小． y=2x y= 活动探究 追问3 你觉得这种对函数变化趋势的描述有什么不足之处吗？ 比较直观，偏重结果和现象，不够具体和细致． 在R内，y随x的增大而增大． 在和 内， 都是y随着x的增大而减小． y=2x y= 活动探究 问题2 你高中阶段的学习相比于初中阶段，要更为理性和严谨，我们更要透过现象看本质，要用更数学的眼光与看世界，看变化，并且用更数学的语言来描述世界，描述变化．那么在这种要求下，我们如何更加细致的来描述这种图像变化呢？ 曲线是由一系列的点构成的，曲线的变化，本质是点的排布方式的变化，我们可以从点来研究曲线． 活动探究 ， ， ， 类似地： 问题2 你高中阶段的学习相比于初中阶段，要更为理性和严谨，我们更要透过现象看本质，要用更数学的眼光与看世界，看变化，并且用更数学的语言来描述世界，描述变化．那么在这种要求下，我们如何更加细致的来描述这种图像变化呢？ 活动探究 比如若，，能否说明这个函数y就是随着x的增大而减小的呢? 不能，因为2和3这两个数的选取，具有片面性，不足以代表其他值． 要保证在某个范围内函数y随着x的增大而减小，就需要在这个范围内，不论取哪两个自变量，函数值的大小关系都是反过来的才可以． 由y随x增大而减小，任取两个不同的x值，就能根据他们的大小关系，写出函数值的大小关系．那么，这个描述反过来是否成立呢？ 追问1 活动探究 追问2 那我们能不能把某范围内，比如内，所有的自变量与函数值都考察一遍呢？如果不能，那又该怎样定量描述这种变化． “所有”=“全部”=“任意”=“每个” 任取两个 在内，任取两个自变量的值，记为和， y随x的增大而减小 当时，都有 对整体的直观描述 对具体值的量化描述 活动探究 追问3 同样的道理，比如函数y=2x，在定义域内，函数值随着自变量的增大而增大，你能否也用上面的方式定量描述？ 在内，任取两个自变量的值，记为和， y随x的增大而减小 当时，都有 对整体的直观描述 对具体值的量化描述 在内，任取两个自变量的值，记为和， y随x的增大而增大 当时，都有 活动探究 在内，任取两个自变量的值，记为和， y随x的增大而减小 当时，都有 在内，任取两个自变量的值，记为和， y随x的增大而增大 当时，都有 追问4 上述这种描述中，最关键的词是哪个？ “任取” 必须要保证，是在范围内任取的，只有两个x的取值满足任意性了，才能由两个函数值的关系，过渡到整体图像的变化趋势． 活动探究 能否由以上的分析过程，给出一个一般性的定义？ 追问5 一般地，设函数的定义域为A，且： （1）如果对任意，，当时，都有，则称在M上是增函数； （2）如果对任意，，当时，都有，则称在M上是减函数； 活动探究 说明： 函数在M上是增函数，也称在M上“单调递增”，在M上为减函数，也称在M上“单调递减”. 不论递增还是递减，两种情况都称函数在M上具有单调性； 当M为区间时，则称M为函数的单调递增（减）区间． 能否由以上的分析过程，给出一个一般性的定义？ 追问5 活动探究 试着以几个你熟悉的简单函数作为例子，说一说他们的单调性． 问题3 为定义域内的减函数； 在区间和内都是增函数； ，观察其图像，为开口向上且关于x轴对称的抛物线，所以它在内为减函数，在内为增函数． 活动探究 对于函数，能不能说它在定义域内是减函数？ 追问1 在和内都满足单调性的定义，但在定义域内并不满足． 比如图中的两个点，就有，且，不满足减函数的定义． 不可以 函数的单调区间，并不能随意并起来． 活动探究 下图是一个用图像表示的函数，试说一说它的单调性． 追问2 该函数 在上是增函数， 在上是减函数， 在上是增函数， 在上是减函数， 在上是增函数． 单调递增区间：，，， 单调递减区间：，， 该函数的单调区间