3.1.3简单的分段函数（2大题型提分练）数学湘教版必修第一册

3.1.2表示函数的方法 题型一 求分段函数的解析式或求函数的值 1．已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 2．设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A．B．C．D． 3（多选题）．函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 4．已知函数，则 . 5．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 6．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求的最大值． 7．已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 题型二 分段函数的性质及应用 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 2．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（多选题）．如图所示，函数的图象由两条线段组成，则下列关于函数的说法正确的是（    ）    A． B． C． D．，不等式的解集为 5．设函数，则不等式的解集为 . 6．已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域． 7．（1）已知函数，求使成立的x的取值集合； （2）已知，若，求a的值． 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数,则方程所有的解构成的集合是 ． 4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．    (1)求函数解析式； (2)若时，成立，则当正实数满足时，求的最小值． 5．设，令． (1)求的解析式(2)求的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2表示函数的方法 题型一 求分段函数的解析式或求函数的值 1．已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 2．设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象. 【详解】由题意可知 当时，，且过程中增速变慢， 当时，，且过程中增速变快， 所以的图象可表示为选项B， 故选：B 3（多选题）．函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据函数解析式判断A、D，利用特殊值判断B、C. 【详解】因为， 对于A：，则，所以，则，故A错误； 对于B：当，则，则，故B正确； 对于C：若，，则，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：BD 4．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 5．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则，得，所以， 当时，设函数为，则，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为.故答案为： 6．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求的最大值． 【答案】(1)；；.(2)答案见解析；(3). 【分析】（1）根据分段函数函数值的求法直接计算； （2）根据分段函数的定义可画出函数图象； （3）根据函数图象可得最值. 【详解】（1），； ，；，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分，在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分，图中实线组成的图形就是函数的图象； （3）由函数图象可知，当时，取最大值. 7．已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可， （2）根据的定义，即可结合函数图象求解. 【详解】（1） 图像如图． （2）函数的图像如图． 表达式为 题型二 分段函数的性质及应用 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 【答案】B 【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果. 【详解】由题意可知：，，故. 故选：B 2．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 3．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，，故要使函数的值域为， 需满足，解得，故的取值范围是， 故选：D 4（多选题）．如图所示，函数的图象由两条线段组成，则下列关于函数的说法正确的是（    ）    A． B． C． D．，不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据图象结合函数性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：由图象可知：当且仅当或8时，取到最大值为6， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由函数的图象由两条线段组成可知，函数为分段函数，且过点， 当时，设，代入得，所以，得， 当时，设，代入，得，所以，故， 综上所述：， 且，故C正确； 对于选项D： 若时，的解集为，由函数图象知，则， 但，，故D错误. 故选：BC. 5．设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时，则，解得； 当，即时，则，即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 6．已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域． 【答案】(1)答案见解析；(2)图象见解析；(3). 【分析】（1）分和写出分段函数； （2）画出函数图象； （3）数形结合得到函数值域. 【详解】（1） （2）画出函数图象如下：    （3）由图象可看出，函数值域为. 7．（1）已知函数，求使成立的x的取值集合； （2）已知，若，求a的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用给定的分段函数，分段解一元二次不等式即得. （2）分分段代入求解方程即得. 【详解】（1）依题意，不等式化为或， 由解得；由解得或， 所以使成立的的值组成的集合为. （2）当时，，，由，得，解得； 当时，，，则，解得，无解， 所以. 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可. 【详解】由函数可得，. 故选：B. 2．设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出函数图像，结合换元法，转化为恒成立问题求参即可. 【详解】因为，所以由函数的图象可知其值域为，如图： 的值域为时有两个解；值域为时有三个解；值域为时有唯一解； 令，则，若存在唯一的非零实数满足， 则须时，，与一一对应， 要使也一一对应，则，即()， 任意时，因为，所以不等式等价于，即在恒成立， 因为，所以，又，所以正实数的取值范围为． 故选：A. 3．已知函数,则方程所有的解构成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据题意,先将分类讨论求出解析式.后直接解出来即可. 【详解】,又, 当时,,解得；当时,,解得； 当时,,无解；当时,,解得． 所以方程所有的解构成的集合是或． 故答案为:. 4．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．    (1)求函数解析式； (2)若时，成立，则当正实数满足时，求的最小值． 【答案】(1)；(2)3. 【分析】（1）结合图象，分类讨论求函数的解析式； （2）由（1）及知从而得的最小值1，再化简，从而求最小值． 【详解】（1）如图，当时，， 当时，， 当时，， 综上所述． （2）由（1）及知，，又，故 ，即， ，当且仅当即时，等号成立，故的最小值为3．    5．设，令． (1)求的解析式(2)求的值域． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据函数的解析式分段求解即可； （2）画出图形，利用图像分析即可. 【详解】（1）当时，， 所以，当时， 所以，所以. （2）如图所示： 由图像可知函数的最小值为，最大值为，故函数的值域为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$