直线和圆的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

直线和圆的方程专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷 一、单选题 1．直线与圆的位置关系是（    ） A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 2．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：是圆：的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（    ） A．64 B．12 C． D． 6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线与圆相离 B．圆上有2个点到直线的距离等于1 C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点 10．已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（    ） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 11．是边上的点，其中，且.则面积的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知直线 与圆 交于两点，则直线倾斜角之和为 . 13．在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 14．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 四、解答题 15．已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程. 16．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程． 17．已知的三个顶点，，． (1)求边上中线所在直线的方程； (2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 18．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 19．已知圆，两点 (1)若r=8，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的截距式方程； (2)动点满足 ，若P的轨迹与圆C有公共点，求半径r的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D 2．B 【分析】根据圆心在直线上，设出圆心坐标，然后由圆与直线相切列式求解，即可求出圆心和半径，从而得到圆的方程. 【详解】设圆心坐标为，由圆C与直线及都相切可得，解得， 所以圆心，半径，故该圆的方程为． 故选：B． 3．D 【分析】由已知条件，可知直线过圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程求得k. 【详解】由圆C：得，，表示以为圆心、半径等于1的圆． 由题意可得，直线经过圆C的圆心， 故有，得. 故选：D. 4．A 【分析】 ，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值. 【详解】 圆化为标准方程为， 则圆C的圆心为，半径，则， 直线PQ与圆C相切，有， 因为点Q在直线l上，所以，则． 即的最小值是. 故选：A 5．D 【分析】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用求出点的轨迹方程，再根据圆的知识可求出结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设， 因为，所以， 整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上，到直线的距离的最大值为， 因此的面积的最大值为.    故选：D 6．B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      7．D 【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围. 【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为， 则圆的方程， 设，由， 可得，整理得， 则圆与圆有公共点， 则， 即，解之得. 故选：D 8．B 【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可 【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系，如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为r.因为，所以， 所以. 设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知. 又，所以.又， 所以，解得，所以， 所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球. 当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R， 所以点P在侧面内的轨迹为. 因为在中，，，所以， 所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为.    故选：B. 9．ABD 【分析】A、B应用点线距离公式求圆心到直线的距离，结合圆的半径，判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点，写出以为直径的圆，结合已知圆求公共弦的方程为，进而求定点即可判断. 【详解】A：圆：的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．正确； B：圆心到直线的距离， 所以，则圆上有2个点到直线的距离等于1，正确； C：由切线的性质知，为直角三角形，， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，错误； D：设点，，，所以四点，，，共圆， 以为直径，圆心为，半径，圆的方程为， 又圆：，两圆相减得，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以， 所以，整理得， 由，得，所以直线过定点，正确． 故选：ABD    10．AC 【分析】根据、与圆相切，得到直线的方程，可判断A选项；由勾股定理得当最小时最小，可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由可得到，可判断D选项. 【详解】    对于A，圆的圆心为，半径为， 设，在直线上，， 、为圆的切线， 以为直径的圆的方程为， ，两式作差可得直线的方程为， 将代入得：， 满足，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，，当最小时，最小， ，， ，此时，故B错误； 对于C，， 到的距离， ， 当时，，故C正确； 对于D，若，则，即， ， 存在两个点使，故D错误. 故选：AC. 11．AB 【分析】根据条件可得，建立平面直角坐标系，从而可得在一个定圆上运动变化，从而可求的边上的高的范围，故可得面积的取值范围. 【详解】由面积公式可得： ， ， 因为，,所以， 由可得，即. 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，又 则，整理得到：， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的边上的高的取值范围是，故其面积的取值范围是. 所以AB选项满足条件. 故选：AB. 【点睛】本题解题关键是先由已知得到，再通过建系确定出点A的轨迹，从而得解. 12．/ 【分析】结合图象，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线倾斜角为，由求解． 【详解】如图所示：    设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线倾斜角为， 则，得， 因为，所以， 则， 得， 得， 故答案为： 13． 【分析】根据三角形边长和内角的特点，建立直角坐标系，设出圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的一般方程，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】如图建系，，    设的外接圆的方程为， ， 即， ，即 ， 故答案为： 14．或 【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解. 【详解】若直线与相交于两点，且， 则圆心到直线的距离，所以， 解得或． 故答案为：或. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得出斜率再根据点斜式得出直线方程； （2）根据点到直线距离得出圆心及半径，再根据圆的标准方程即可求出圆的方程. 【详解】（1）直线的斜率为 又直线的斜率为1 又直线过点直线的方程为 即 （2）设， 圆经过点，化简得① 又圆与直线相切，，化简得② 联立①②得 圆的半径 故圆的方程为 16．(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标利用圆过两点以及圆心位置即可求得圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程； （2）由直线平行可设直线方程为，再由直线与圆相切可求得直线方程. 【详解】（1）如下图所示： 设圆心，因为圆心C在直线上，所以， 因为A，B是圆上的点，所以， 根据两点间距离公式，有，即， 解之可得，， 所以圆心，半径， 所求圆的标准方程为． （2）直线斜率为，所以所求直线的斜率也为， 设所求直线方程为， 所以圆心C到该直线的距离为，解之得， 所以所求直线方程为：． 17．(1) (2)或 【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解； （2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解. 【详解】（1）由题意中点， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 即边中线所在直线的方程； （2）因为，，所以， ，所以直线的方程为，即， 设点到直线的距离，则由题意， 所以点到直线的距离， 则点所在直线方程为或， 因为，， 所以，线段中点坐标为， 所以线段的中垂线为，即， 所以联立或， 所以点的坐标为：或. 18．(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 19．(1)或. (2). 【分析】（1）根据直线与圆相交弦长，求出弦心距，待定系数法求直线的方程即可； （2）由题求出的轨迹方程为圆，利用两圆有公共点列出不等式求解即可. 【详解】（1）若，则. 直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，设圆心到直线距离为，则，，解得：. 若直线l斜率不存在，则，不合题意； 若直线l斜率存在，设即， ，解得：， 即直线l方程为：. 当时，， 故即直线l截距式方程为：或. （2）由题：，化简得：， 即， 若P的轨迹与圆C有公共点，即圆与有公共点， 所以，解得：， 故半径r的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$