精品解析：广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期适应性考试数学模拟试题

2023-2024学年深圳市初三适应性考试模拟试卷 数学试卷 注意事项： 1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2.本卷考试时间100分钟，满分100分．考试范围：九年级上册 3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．作答物理综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4.考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程，常数项为，则值等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 目前电影《红船》票房已突破60亿元．第一天票房约3亿元，三天后票房累计总收入达9.5亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为(　　) A. B. C. D. 5. 如图，已知：在梯形中， ，、的延长线相交于点E，、相交于点O，连接并延长交于点M，交于点N．则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，有一高度为8m的灯塔AB，在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长（ ） A. 变长了0.8m B. 变长了1.2m C. 变短了0.8m D. 变短了1.2m 8. 如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG,其中正确的结论只有(　　) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 10. 如图，在正方形中，AB=6,E为AD的中点，为对角线上的一个动点，则最小值的是（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题(15分) 11. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．若AB=8，AD=6，AF=4，则AE的长为__________________． 12. 在一个四宫格火锅里有三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．一种是红汤锅底，服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是_____． 13. 如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（）的值为_____. 14. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______． 15. 如图，长方形中，，，为的中点．动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当__________时，的面积等于． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字、、、． （1）从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是______； （2）从木盒内连续摸出两个小球组成一个两位数（摸出后不放回），将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，请用树状图或列表法求出这个两位数是3的倍数的概率． 18. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件：①D是边的中点；②是的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 19. 随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架． （1）求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率； （2）该公司还生产型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架型无人机的成本是300元．若生产两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产型无人机多少架？ 20. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）． （1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式． （2）t为何值时，QP∥AC？ （3）t为何值时，直线QR经过点P？ （4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围． 21. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年深圳市初三适应性考试模拟试卷 数学试卷 注意事项： 1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2.本卷考试时间100分钟，满分100分．考试范围：九年级上册 3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．作答物理综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4.考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故符合题意； B．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 2. 关于的一元二次方程，常数项为，则值等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】在一元二次方程的一般形式是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，由此列关系式计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且，特别要注意，这是在做题过程中容易忽视的知识点，还考查的解一元二次方程． 3. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图判断出此几何体为圆锥，再根据勾股定理求出圆锥的母线长，最后根据扇形面积公式求出这个几何体的侧面积即可． 【详解】解：通过图形知，这个几何体是圆锥，圆锥的底面直径为，高为，由勾股定理得圆锥的母线为 ， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图和圆锥的侧面积，勾股定理，熟练掌握扇形面积计算公式，是解题的关键． 4. 目前电影《红船》票房已突破60亿元．第一天票房约3亿元，三天后票房累计总收入达9.5亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由第一天的票房及第二、三天票房收入的增长率，可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合三天后票房累计总收入达9.5亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一天票房约3亿元，且第二天，第三天票房收入按相同的增长率x增长， ∴第二天票房约亿元，第三天票房约亿元． 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，已知：在梯形中， ，、的延长线相交于点E，、相交于点O，连接并延长交于点M，交于点N．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，由可得到， ，．以及，，．再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出，由与等底同高，故有，同理：，即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ，． ∴，，． ∴． ∴． ∵， ∴，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵与等底同高， ∴， 同理：； 又， ． ∴． 故选∶A． 6. 如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，设点A坐标为：，且 ∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点 ∴点B坐标为： ∵过点A作AC⊥x轴于点C ∴点C坐标为： ∴ 如图，过点做交延长线于点 根据题意得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解． 7. 如图，有一高度为8m的灯塔AB，在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长（ ） A. 变长了0.8m B. 变长了1.2m C. 变短了0.8m D. 变短了1.2m 【答案】A 【解析】 【分析】根据由CH∥AB∥DG可得△HCE∽△ABE、△GDF∽△ABF，所以，将数值代入求解可得CE、DF的值，可得答案． 【详解】解：如图 由CH∥AB∥DG可得△HCE∽△ABE、△GDF∽△ABF， ∴，即 解得：CE=1.2,DF=2 ∴DF-CE=2-1.2=0.8 故选A 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 8. 如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先证是的中位线，推出，，再证，根据对应边成比例可得，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 9. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=OE；③OF=CG,其中正确的结论只有(　　) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得AE=EG=OE；根据直角三角形性质得OF=BE=CG. 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC， ∵BE平分∠ABO， ∴∠OBE=∠ABO=22.5°， ∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°， 在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠CEB=∠CBE， ∴CE=CB； 故①正确； ∵OA=OB，AE=BG， ∴OE=OG， ∵∠AOB=90°， ∴△OEG是等腰直角三角形， ∴EG=OE， ∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG， ∴△ECG≌△BCG， ∴BG=EG， ∴AE=EG=OE； 故②正确； ∵∠AOB=90°，EF=BF， ∵BE=CG， ∴OF=BE=CG． 故③正确． 故正确的结论有①②③． 故选A． 【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 10. 如图，在正方形中，AB=6,E为AD的中点，为对角线上的一个动点，则最小值的是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接CP， 由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP， ∴AP＝CP， ∴AP+PE＝CP+PE， ∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝6，∠ADC＝90°， ∵E是AD的中点， ∴ED＝3， 由勾股定理，得CE＝＝； 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键． 二、填空题(15分) 11. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．若AB=8，AD=6，AF=4，则AE的长为__________________． 【答案】6 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， CD=AB=8，∠B+∠C=180° ∴∠ADF=∠DEC ∵∠AFE=∠B，∠B+∠C=∠AFE+∠AFD=180° ∴∠AFD=∠C 在△AFD和△DCE中，∠ADF=∠DEC ∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC ∴，即 解得：DE=12 ∵AD∥BC，AE⊥BC ∴AE⊥AD ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=6 考点：（1）三角形相似的应用；（2）直角三角形的勾股定理． 12. 在一个四宫格火锅里有三种锅底，一种是清汤锅底，一种是麻辣锅底．一种是红汤锅底，服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，估计倒入红汤锅底的宫格数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的意义估算，即可求解． 【详解】解：∵一个四宫格火锅里有三种锅底，清汤占2格，红汤锅底占1格， 服务员将100粒丸子随机投入四个宫格中，就餐的小伙伴数了数，结果有49粒是清汤味的，即清汤锅底约占， ∴红汤锅底占，则估计倒入红汤锅底的宫格数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，频率估计概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 13. 如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（）的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由AAS证明△AEH≌△BFE，则BE=AH，根据相似比为，令EH=，AB=，设AE=，AH=，在直角三角形AEH中，利用勾股定理，即可求出的值，即可得到答案. 【详解】解：在正方形EFGH与正方形ABCD中， ∠A=∠B=90°，EF=EH，∠FEH=90°， ∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠AHE=∠BEF， ∴△AEH≌△BFE（AAS）， ∴BE=AH， ∵， 令EH=，AB=， 在直角三角形AEH中，设AE=，AH=AB-AE=， 由勾股定理，得， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE和BE的长度. 14. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解． 【详解】解：， ． ∴∠BEA=∠AFD， 又∵∠AFD＋∠EAG=90°， ∴∠BEA＋∠EAG=90°， ∴∠BGF=90°． H为BF的中点，又为直角三角形， ． ∵DF=2， ∴CF=5-2=3． ∵为直角三角形． ∴BF===． ． 【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半． 15. 如图，长方形中，，，为的中点．动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当__________时，的面积等于． 【答案】或5 【解析】 【分析】分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可． 【详解】解：如图1所示，当点在上时， ∵，故时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ，， 如图2所示，当在上时， ∵即， ∵是的中点， ∴， ，， ， ， ， ， 如图3所示，当点在上时， 即时， ，， (舍去) 综上所述当或5时，的面积等于20. 故答案为：或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接利用因式分解法对一元二次方程进行求解即可； （2）根据题意直接利用配方法对一元二次方程进行求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， 或， ，； （2）， ， ， 配方，得， ， 开方，得， 解得：． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解题的关键. 17. 木盒内有四个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字、、、． （1）从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是______； （2）从木盒内连续摸出两个小球组成一个两位数（摸出后不放回），将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，请用树状图或列表法求出这个两位数是3的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：数字、、、，偶数是，，共个， 从木盒内随机摸取一个小球，球上标注的数字是偶数的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表法如下， 1 2 3 4 1 12 13 14 2 21 23 24 3 31 32 34 4 41 42 43 共有种等可能结果，其中是的倍数，有种， ∴这个两位数是的倍数的概率． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，列表法法求概率．掌握求概率的方法是解题的关键，要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件：①D是边的中点；②是的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】（1） 解：选择条件②： 是的角平分线， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ∴平行四边形是菱形； 选择条件③： ， ∴四边形是平行四边形， ∵点E与点F关于直线对称， ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再由条件②证，或由条件③证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 19. 随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架． （1）求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率； （2）该公司还生产型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架型无人机的成本是300元．若生产两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产型无人机多少架？ 【答案】（1）150% （2）25架 【解析】 【分析】（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，根据“2月份生产数量4月份生产数量”，列出方程求解即可； （2）设型架，则A型架，根据“预算投入生产的成本不高于22500元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为， （不合题意，舍去） 该公司生产型无人机每月产量的平均增长率为150%． 【小问2详解】 解：设型架，则A型架， ， 最多能生产型无人机25架． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解． 20. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）． （1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式． （2）t为何值时，QP∥AC？ （3）t为何值时，直线QR经过点P？ （4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围． 【答案】（1）S△BCQ=﹣t+（0≤t≤8）；（2）时，QP∥AC； （3）当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P； （4）且t≠0.5时正方形PQMN在Rt△ABC内部． 【解析】 【分析】（1）过C作CD垂直于AB于D点，由AB及AQ的长，利用AB﹣AQ表示出QB的长，直角三角形ABC的面积有两种求法，两直角边乘积的一半，或斜边乘以斜边上的高的一半，两种求法表示的面积相等可得出CD的长，三角形BQC以QB为底边，CD为高，利用三角形的面积公式即可求出； （2）当PQ∥AC时，利用两直线平行得到两对同位角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值； （3）分三种情况讨论即可：①当Q、P均在AB上时，可得出AP=6t，AQ=2+2t，令AP=AQ列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；②当P在BC上时，如图所示，由一对直角相等及一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形BPQ与三角形ABC相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；③当P在AC上不存在QR经过点P，综上，得到所有满足题意的t的值； （4）抓住两种临界情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+2t﹣6t=2﹣4t，由△APN∽△ACB得，求出此时的t值；当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得，进而求出此时的t值，综上两种情况，可得出以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部时t的取值范围． 【详解】解：（1）过C作CD⊥AB于D点，如图所示： ∵AB=10，AQ=2+2t， ∴QB=AB﹣AQ=10﹣（2+2t）=8﹣2t， 在Rt△ABC中，AB=10，AC=8， 根据勾股定理得：BC=6， ∵AC×BCAB×CD，即×6×8=×10×CD， ∴CD=， 则S△BCQ=QBCD=（8﹣2t）=﹣t+（0≤t≤4）； （2）当PQ∥AC时，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A， ∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8﹣2t，BP=6t﹣10， ∴，即， 整理得：6（8﹣2t）=10（6t﹣10）， 解得：， 则时，QP∥AC； （3）①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t， 可得：AP=AQ，即6t=2+2t， 解得：t=0.5s； ②当P在BC上时，P与R重合，如图所示： ∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B， ∴△BPQ∽△BAC， ∴，又BP=6t﹣10，AB=10，BQ=8﹣2t，BC=6， ∴，即6（6t﹣10）=10（8﹣2t）， 解得：t=2.5s； ③当P在AC上不存在QR经过点P， 综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P； （4）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图所示： ∵AP=6t，AQ=2+2t， ∴PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t， ∵四边形PQMN是正方形， ∴PN=PQ=2﹣4t， ∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A， ∴△APN∽△ACB， ∴，即， 解得：， 当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，如图所示： 由题意得：BP=10﹣6t，PN=PQ=4t﹣2， ∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B， ∴△BPN∽△BCA， ∴，即， 整理得：8（10﹣6t）=6（4t﹣2）， 解得：， ∵t=0.5时点P与点Q重合， ∴且t≠0.5时正方形PQMN在Rt△ABC内部． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，根据题意，分类讨论，画出图形是关键. 21. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】（1）； （2） （1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度， 故（1）中的两个结论仍然成立； （3）​或 【解析】 【分析】（1）先依据和均为等腰直角三角形的条件，得到、、，通过同减公共角得出，即可证明，得出，同时由相似三角形对应角相等得到，结合对顶角相等与三角形内角和定理，推导出直线与所夹的锐角等于等腰直角三角形的底角； （2）无论绕点旋转到任意位置，等腰直角三角形的边长比例关系始终保持不变，且通过同减公共角依旧能推导出，因此的相似关系不会随旋转角度发生改变，依旧能由相似三角形的性质得到，同时沿用对应角相等、对顶角相等与三角形内角和定理，证得与所夹的锐角为，因此（1）中的两个结论仍然成立； （3）先根据等腰直角三角形的边长与勾股定理算出的长度为，再结合所在直线垂直于的条件，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，在中用勾股定理算出的长度为，同时结合旋转的位置特性分两种情况计算的长度，第一种是垂足在线段上时，，第二种是垂足在线段的延长线上时，，最后直接套用前面已证的的结论，分别算出两种情况对应的长即可． 【小问1详解】 解：①如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ②∵， ∴，即， 又∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：已知​，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 分两种情况讨论： 情况一：，垂足在线段上，如图： ∵，为等腰直角三角形， ∴为等腰斜边的中线， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 由（2）的结论​，得：​； 情况二：，垂足在线段的延长线上，如图： 同理可得：，， ∴， 由（2）的结论，得：； 综上，的长为​或． 【点睛】旋转类几何题，优先抓旋转不变性：旋转前后对应边长度、对应角大小不变，这是找全等或相似的核心；共顶点的两个等腰直角三角形，优先考虑“手拉手模型”，快速锁定全等或相似关系；递进式大题，后面的小问优先套用前面已经证明的通用结论，无需重复推导，简化计算；无图的拓展计算，务必注意旋转的多位置情况，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $