拓展02 抽象函数问题训练-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

拓展02抽象函数问题训练 题型一 抽象函数求值问题 题型五 一次函数模型问题 题型二 单调性与不等式问题 题型六 幂函数模型问题 题型三 奇偶性问题 题型七 指数函数模型问题 题型四 对称与周期结合问题 题型八 对数函数模型问题 题型一 抽象函数求值问题 例1．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 练习1．若对任意恒成立，，则（    ） A．189 B．190 C．464 D．465 练习2．已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．在区间上单调递减 练习3．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 练习4．若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ． 题型二 单调性与不等式问题 例3．定义在上的函数满足，，，且当时，，则（  ） A． B． C． D． 例4．定义在上的函数满足，，且时，. (1)求； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若，求的取值范围. 练习1．已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数对任意，，满足条件，且当时，，，则不等式的解集为 . 练习3．已知对任意实数都有，且，当时，，若且，的取值范围 . 练习4．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 题型三 奇偶性问题 例5．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 . 例6．若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 练习1．（多选）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 练习2．（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 练习3．已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 练习4．已知函数是定义在上的偶函数，且，则 ． 题型四 对称与周期结合问题 例7．已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例8．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 练习1．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 练习2．已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 练习3．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（    ） A．0 B．50 C．2499 D．2509 练习4．（多选）已知定义在上的函数满足，且，若，则（    ） A． B．的对称中心为 C．是周期函数 D． 题型五 一次函数模型问题 例9．已知定义在上的函数满足对任意实数，都有，设，若，则的值为． A．-2219 B．-2019 C．-1919 D．-1819 例10．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 练习1．已知函数的定义域为，对任意实数都满足：，且；当时，.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 练习3．（多选）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（    ） A． B． C．为R上的减函数 D．为奇函数 练习4．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值； (3)在的条件下解关于的不等式． 题型六 幂函数模型问题 例11．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 例12．已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 练习1．若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．若时，，且，，则 ，不等式的解集为 ． 练习2．已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，. （1）求的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 练习3．已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 练习4．已知函数对于一切正实数，都有且时，，. （1）求证：； （2）求证：在上为单调减函数； （3）若，试求的值． 题型七 指数函数模型问题 例13．已知函数不是常数函数,若对任意实数x,y都有,则 A．是奇函数 B．是偶函数 C．不具有奇偶性 D．无法确定奇偶性 例14．定义域为的函数满足：，且对于任意实数，恒有，当时，. （1）求的值，并证明当时，； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 练习1．（多选）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若对任意的实数，，则是单调增函数 练习2．已知定义在R上的函数，对任意实数x，y满足：，且，若时，恒成立，则满足不等式的实数x的取值范围是 ． 练习3．已知定义在上的函数满足：，，且；当时；若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 练习4．定义在上的函数，当时，且对任意的，有，． （1）求的值；     （2）求证：对任意，都有；     （3）解不等式． 题型八 对数函数模型问题 例15．设是定义在上的单调增函数，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例16．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，. (1)判断并证明函数在上的单调性： (2)若，求不等式的解集. 练习1．（多选）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 练习2．（多选）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 练习3．设函数的定义域是，且对任意的正实数x，y都有恒成立．已知，且时，． （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展02抽象函数问题训练 题型一 抽象函数求值问题 题型五 一次函数模型问题 题型二 单调性与不等式问题 题型六 幂函数模型问题 题型三 奇偶性问题 题型七 指数函数模型问题 题型四 对称与周期结合问题 题型八 对数函数模型问题 题型一 抽象函数求值问题 例1．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设在数列中，，则，， 从而，故是首项和公比都是2的等比数列. 由等比数列的通项公式可得，则， 故. 故选：A 例2．已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 练习1．若对任意恒成立，，则（    ） A．189 B．190 C．464 D．465 【答案】D 【详解】依题意，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：D 练习2．已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．在区间上单调递减 【答案】D 【详解】对于选项A：令，得，故A正确； 对于选项B：令，得， 即，且，所以为偶函数，故B正确； 对于选项C：令，得， 用代入即， 消去得：用代入得， 所以有，即，故C正确； 对于选项D：令，则有， 令，则有， 令，则有， 所以在区间上不是单调递减，故D错误. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法. 练习3．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】因为，取得，即， 又，取得. 由得， 所以函数的一个周期为，故. 故选：B. 练习4．若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ． 【答案】 【详解】函数是定义在上的不恒为零的偶函数，则， 中，令，得， 则，得， 当时，由，得， 即， ∴ ， ∴. 故答案为：. 题型二 单调性与不等式问题 例3．定义在上的函数满足，，，且当时，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 令得：，又， 反复利用可得： ①， 再令，由，可求得， 同理反复利用可得： ②， 由①②可得：有， ，，而， 所以，， 故． 故选：D． 例4．定义在上的函数满足，，且时，. (1)求； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为，令，得到，所以. （2）在上的单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 又时，，且，所以，得到， 所以在上的单调递增. （3）因为， 由（2）知，解得， 又由，得到，所以的取值范围为. 练习1．已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， ，，且，都有， 在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵，且，而， ∴，∴，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：B. 练习2．已知函数对任意，，满足条件，且当时，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】法一：设，则， 当时，，， 则， 即，为增函数， ， 又，，， ，即，解得不等式的解集为. 法二：由，即， 可设函数，由，得，即， 即，满足当时，， 则不等式可化为， 即，解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 练习3．已知对任意实数都有，且，当时，，若且，的取值范围 . 【答案】 【详解】令，则， ，为偶函数. 设，， 因为时，，所以， 所以，故在上是增函数. 因为，又， 所以， 因为，所以，即，又，故. 故答案为：. 练习4．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为对于任意，有， 所以令，得， 所以； （2）设，则. 又因为当时，， 所以，即， 所以在定义域内为增函数. ，即时，原不等式可化为. 又因为在定义域上为增函数， 所以，解得或. 又因为，所以. 所以的取值范围为. 题型三 奇偶性问题 例5．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 . 【答案】 【详解】由为奇函数，为偶函数， 则有，， 故， 即， 即有， 故函数周期为，故， 由，则有，即， 故. 故答案为：. 例6．若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1,， 中取得， 所以，，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故选：C． 练习1．（多选）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选； C中：令，得，所以， 又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选； D中：,所以，所以， 故4是的周期，又，所以，故D选. 故选：BCD. 练习2．（多选）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 【答案】ABC 【详解】令，因为是奇函数， 所以， 即的图象关于点对称． 令，因为是偶函数， 所以， 即的图象关于直线对称． A选项，由，令，可得， 由，令，可得，故A正确． B选项，由，令，可得，故B正确． C选项，由，令，可得，故C正确． D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减， 由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误． 故选:ABC． 练习3．已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 练习4．已知函数是定义在上的偶函数，且，则 ． 【答案】3 【详解】因为，所以，则， 从而，所以是周期为8的周期函数，故． 令，得．又是定义在上的偶函数，所以， 故． 故答案为：3 题型四 对称与周期结合问题 例7．已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数，则③正确. 令，得， 则，从而，故①错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称，则②正确； 易得的周期为4，且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而. 令，得， 即， 则， 故 ，故④正确. 故选：. 例8．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABC 【详解】由可得， 所以，所以的周期为4，故A正确； 由，令， 则，所以， 又，故B正确； 由，可知函数关于对称， 又的周期为4，则， 所以，即函数关于对称， 则的图象关于直线对称，故C正确； 由，且关于对称， 则，所以， 又，且， 则，又， 所以， ，故D错误. 故选：ABC. 练习1．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 【答案】C 【详解】由， 可得，可设 由，即，则可取，即进行验证. 选项A： ，故选项A不正确. 选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确. 选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确. 选项C：,又，故此时为其一条对称轴. 此时选项C正确, 故选：C 练习2．已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】A 【详解】由得， 所以，则为周期为4的周期函数， 因为，，所以，， ，， 所以. 故选：A. 练习3．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（    ） A．0 B．50 C．2499 D．2509 【答案】C 【详解】因为的图象关于点对称，所以， 则，即， 则的图象关于点对称．又的图象关于直线对称， 所以， 故， 故， 所以是以4为周期的函数． 因为，，，， 所以． 故选：C 练习4．（多选）已知定义在上的函数满足，且，若，则（    ） A． B．的对称中心为 C．是周期函数 D． 【答案】ACD 【详解】解：因为， 所以， 所以， 即， 所以是周期为4的周期函数，则C正确； 令，得， 则，从而，故A错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称， 的对称中心为错误，则B错误； 以上求得的周期为4， 且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而， 得， 即， 则， 故 ，故D正确． 故选：ACD 题型五 一次函数模型问题 例9．已知定义在上的函数满足对任意实数，都有，设，若，则的值为． A．-2219 B．-2019 C．-1919 D．-1819 【答案】D 【解析】利用抽象函数关系，判断函数是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意，因为，∴，即， 令，则有 即，即是奇函数， 若，， 则， 则， 两式相加得， 得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数值的计算问题，其中解答中结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 例10．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 练习1．已知函数的定义域为，对任意实数都满足：，且；当时，.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令y＝﹣x得到f（x）+f（﹣x）＝2，令x1＜x2，由条件推出f（x1）＜f（x2），即可判断f（x）的单调性，不等式等价于，利用单调性解出不等式即可. 【详解】令，则，，令，则， 时，，即，，即， 在上是增函数.， 不等式等价于，即， ，在上是增函数，，解得. 故选：B. 【点睛】思路点睛： （1）利用定义法判断抽象函数在上的单调性， （2）不等式等价于，再利用单调性解得的取值范围. 练习2．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可知，故，故A正确； 对于B，由题可知，，故B错误； 对于C，，故，为奇函数，故C正确； 对于D，当时，， ， 是上的减函数，故D正确. 故选：ACD 练习3．（多选）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（    ） A． B． C．为R上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】因为， 则令，可得， 即，解得，故A正确； 令，，可得， 即，解得， 再令，可得， 即，故B正确； 因为，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为R上的增函数，故C错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：利用抽象函数的定义通过赋值法，并结合函数单调性、奇偶性的定义才是解题的关键. 练习4．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值； (3)在的条件下解关于的不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上是减函数，，； (3) 【详解】（1） 令，得，． 再令，得．． 且定义域为，关于原点对称，为奇函数． （2）任取，则．由已知得， 则， ∴，∴在上是减函数． 由于，则，，．由在上是减函数， 得到当时，的最大值为，最小值为； （3）不等式， 即为. 即， 即有， 由于在上是减函数，则， 即为，即有， 令，解得或（） 当时，，此时解集为. 题型六 幂函数模型问题 例11．下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：为单调增函数，，符合题设； B：为单调减函数，不合题设； C：为单调增函数，，不合题设； D：为单调增函数，在，不合题设； 故选：A 例12．已知时，函数，对任意实数都有，且，当时， （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【答案】（1）为偶函数；（2）证明见解析；（3）. 【详解】试题分析：（1）利用赋值法，先求出，令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数.；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可. 试题解析：（1）令，则， ，为偶函数. （2）设，， ∵时，，∴，∴，故在上是增函数. （3）∵,又 ∴ ∵，∴，即，又故. 练习1．若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．若时，，且，，则 ，不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则对任意实数x都成立， 所以是偶函数， ， 因为，所以， 设任意的，则，所以， 所以， 所以在上单调递增， 所以不等式等价于， 又是R上的偶函数，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：设任意的，则，结合时，，证明在上单调递增，是解决本题的关键. 练习2．已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，. （1）求的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并给出证明； （3）若且，求的取值范围. 【答案】（1）1，为偶函数，证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）. 【详解】解：（1）令，； 函数为偶函数. 证明如下： 令，则，， ， 故为偶函数； （2）在上是增函数. 证明如下：设，，， 则， ，，， ， 故在上是增函数. （3）， 又， ，， ，， ，则， 又函数在上是增函数， ，即， 综上知，的取值范围是. 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用函数的性质求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题. 练习3．已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递增，证明见详解 (3)或 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增. 证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此 ， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以在上单调递增. （3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增， 因此，， 故，， 因为，恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令，则，恒成立， 故，解得或. 练习4．已知函数对于一切正实数，都有且时，，. （1）求证：； （2）求证：在上为单调减函数； （3）若，试求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【详解】（1）∵， ∴，则由， 得 若存在则对任意都有，与相矛盾， 所以不存在即. （2）任取，且 则，， ， 即 由此得到是在上为单调减函数． （3）解：令，，则， 即， ∵，， ∴， 即， 则，解得． 【点睛】本题主要考查抽象函数的解析式与单调性，属于难题. .利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. 题型七 指数函数模型问题 例13．已知函数不是常数函数,若对任意实数x,y都有,则 A．是奇函数 B．是偶函数 C．不具有奇偶性 D．无法确定奇偶性 【答案】C 【解析】根据题意令,可得，即可判断函数不是奇函数，令,若为偶函数,可得，，再结合题意可判断函数不是偶函数，从而可得选项. 【详解】解析:由题意知对任意,都有, 令,得, ∵不恒为零,即存在,使得, ∴,∴不是奇函数, 令,得. 若为偶函数,则. ∴,这与题设相矛盾, ∴不是偶函数. 综上可知不具有奇偶性. 故选：C 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，通常采用“赋值法”进行推理证明，此题属于基础题. 例14．定义域为的函数满足：，且对于任意实数，恒有，当时，. （1）求的值，并证明当时，； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【详解】（1）由已知，对于任意实数，恒有， 令，，可得，所以. 因为当时，，所以，故. 令，设，则，， 因为，，所以. （2）设，则，， ， 由（1）知，，所以，即， 所以函数在上为减函数. （3）由得 所以 即， 上式等价于对任意恒成立， 因为，所以 所以对任意恒成立， 设，（时取等）， 所以， 解得或. 【点睛】考查抽象函数的性质，对求特殊值则利用赋值技巧即可，对单调性的证明则只能根据定义取值，作差，变形，定号，下结论取分析，而对于抽象函数的不等式则通常只需要知道函数单调性比较变量的大小解不等式即可，属于中档题. 练习1．（多选）已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若对任意的实数，，则是单调增函数 【答案】BCD 【详解】时，，∴或，A错. 取，，B对. ，由B知：所以，C对. 由可知：当时，，此时，∴， 故对任意的有，所以不存在使，故对，， 当时，，故， ∴在上单调递增，D对. 故选：BCD. 练习2．已知定义在R上的函数，对任意实数x，y满足：，且，若时，恒成立，则满足不等式的实数x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】用单调性的定义，结合已知判断出函数的单调性，利用单调性进行求解即可. 【详解】令，所以有或（舍去） 因此有， ，由可知：，因此有 . 设是任意两个实数，且 ，于是有，因此函数是单调递减函数， 则不等式等价于， 或. 故答案为： 【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了利用函数单调性进行解不等式的问题，考查了推理论证能力和数学运算能力. 练习3．已知定义在上的函数满足：，，且；当时；若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】利用特值法，猜想 ，代入不等式分离参数得，再由对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：利用特值法，猜想 ，代入不等式分离参数得：存在使成立，令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以. 所以 故答案为： 【点睛】本题考查特殊值法的应用，不等式恒成立问题，属于中档题. 练习4．定义在上的函数，当时，且对任意的，有，． （1）求的值；     （2）求证：对任意，都有；     （3）解不等式． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【详解】（1）令，，得，   因为，所以，可得； （2）当时，， 当时，， 当时，，所以，因为， 所以， 综上所述：对任意，都有；   （3）令，得， 任取，且，则，所以， 所以， 所以在上单调递增， 由可得， 可得：，解得：， 所以原不等式的解集为. 题型八 对数函数模型问题 例15．设是定义在上的单调增函数，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，而，即， ∵是定义在上的单调增函数， ∴，则，得. 故选：B. 例16．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，. (1)判断并证明函数在上的单调性： (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)在上为增函数，证明见解析 (2)或 【详解】（1）在上为增函数. 设，则即， ，故，即， 故在上为增函数； （2）由得：， ， 所以， 解得或， 所以不等式的解集为：或. 练习1．（多选）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】因为对正数，都有， 所以， 所以，A错误； 由已知，，， 所以，又， 所以， 所以，B正确， 任取两个实数，且，则 ， 因为，所以， 又当时，，所以， 所以，故， 所以函数在上单调递增， 又不等式可化为 ，， 所以，，（此时已经可以判断C错误） 所以，， 解得，且， 故，C错误； 不等式可化为 ，， 所以，， 当时，，没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误）， 当时，，， 由已知，，， 当时，， 所以， 若，则且， 由已知，， 当时，，又， 所以不存在满足条件， 所以的取值范围是，D错误， 故选：ACD. 练习2．（多选）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是减函数，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，且，所以， 所以， 所以等价于， 又在上是减函数，且，所以 ， 解得， 即不等式的解集为，故D正确, 故选：ABD． 练习3．设函数的定义域是，且对任意的正实数x，y都有恒成立．已知，且时，． （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式． 【答案】（1），；（2）增函数，证明见解析；（3）或 【解析】（1）由题条件知若能求出的值，再由即可得到求得的值； （2）题设中有时，，故可令，由的恒等变形及题设中的恒等式得到，由此问题得证.做此题时要注意做题步骤，先判断再证明； （3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可 【详解】（1）令，则， ， 令，则可得， 再令，得，故； （2）设，则， 即， ，故，即 故在上为增函数； （3）由得， 故得且，解得解集为或. 【点睛】本题考点是抽象函数及其应用，考查抽象函数单调性的证明，对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意在所给区间内比较与0的大小，或的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如 2 学科网（北京）股份有限公司 $$