山东省中考衔接点课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

中考衔接点10　等边三角形的性质与判定 1 中考早知道：在等边三角形的判定中，可以直接或作辅助线后判断是不是等边三角 形；在等边三角形的性质的运用中，常与平行线一起进行角度计算，利用边、角相 等证明三角形全等，结合“三线合一”进行线段计算. 　(2024烟台莱西期末)如图，直线 a ∥ b ，等边△ ABC 的顶点 C 在直线 b 上，若 ∠1＝38°，则∠2的度数为(　C　) 母题1图 A. 142° B. 128° C. 98° D. 92° C 子题1.1(教材P83习题T10改编)如图，△ ABC 是等边三角形，∠ ABC ，∠ ACB 的平 分线交于点 D ，过点 D 作 EF ∥ BC ，分别交 AB ， AC 于点 E ， F . 若△ AEF 的周长为 6，则△ ABC 的周长为 ⁠. 子题1.1图 9　 　(2023滨州中考)已知点 P 是等边△ ABC 的边 BC 上的一点，若∠ APC ＝ 104°，则在以线段 AP ， BP ， CP 为边的三角形中，最小内角的大小为(　B　) A. 14° B. 16° C. 24° D. 26° B 　(教材P80练习T2改编)如图， CD 是等边△ ABC 的中线， DE ⊥ AC ，垂足为 点 E . 若 DE 的长度为3cm，则点 D 到 BC 的距离为 ⁠cm. 母题3图 3　 4. 自我挑战·动点问题　(2023德州德城区模拟)在边长为9的等边三角形 ABC 中，点 Q 是 BC 上一点，点 P 是 AB 上一动点，以每秒1个单位的速度从点 A 向点 B 运动， 设运动时间为 t 秒(0＜ t ＜9). (1)如图1，若 BQ ＝6， PQ ∥ AC ，求 t 的值； 解：(1)∵△ ABC 是等边三角形， PQ ∥ AC ， ∴∠ BQP ＝∠ C ＝60°，∠ BPQ ＝∠ A ＝60°. 又∵∠ B ＝60°，∴△ BPQ 是等边三角形， ∴ BP ＝ BQ ＝6. 由题意可知， AP ＝ t ，则 BP ＝9－ t ， ∴9－ t ＝6，解得 t ＝3. (2)如图2，若点 P 从点 A 向点 B 运动，同时点 Q 以每秒2个单位的速度从点 B 经点 C 向点 A 运动，当 t 为何值时，△ APQ 为等边三角形？ 解：(2)当点 Q 在边 BC 上时，△ APQ 不可能为等边三角形； 当点 Q 在边 AC 上时，如图. 若△ APQ 为等边三角形，则 AP ＝ AQ . 由题意可知， AP ＝ t ， BC ＋ CQ ＝2 t ， ∴ AQ ＝ BC ＋ AC －( BC ＋ CQ )＝9＋9－2 t ＝18－2 t ， ∴ t ＝18－2 t ，解得 t ＝6， ∴当 t ＝6时，△ APQ 为等边三角形. $$中考衔接点11　含30°角的直角三角形的性质 1 中考早知道：对于含30°角的直角三角形性质的考查，主要考查线段长度的计算， 常与三角形外角、等边三角形相结合，在解直角三角形、四边形和圆中应用广泛. 　(2024临沂临沭期末)在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝30°， AB ＝10 cm， 则 AC 的长度为(　C　) A. 10 cm B. 20 cm C. 5 cm D. 15 cm C 子题1.1(2023济宁任城区期末)已知等腰△ ABC 的顶角∠ A ＝30°， AB ＝ AC ＝4，则 △ ABC 的面积为(　B　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 子题1.2(2023烟台模拟)如图，△ ABC 是等边三角形， D 为 BA 的中点， DE ⊥ AC ， 垂足为点 E ， EF ∥ AB ， AE ＝2.下列结论错误的是(　C　) 子题1.2图 A. ∠ ADE ＝30° B. AD ＝4 C. △ ADE 的面积为4 D. △ EFC 的周长为18 C 子题1.3如图，△ ABC 是边长为5的等边三角形，点 D ， E 分别在 BC ， AC 上， DE ∥ AB ，过点 E 作 EF ⊥ DE ，交 BC 的延长线于点 F ，若 BD ＝2，则 DF 的长为 ⁠. 子题1.3图 解析：∵△ ABC 是边长为5的等边三角形，∴∠ A ＝∠ B ＝∠ ACB ＝60°， BC ＝ 5.∵ DE ∥ AB ，∴∠ EDC ＝∠ B ＝60°，∠ DEC ＝∠ A ＝60°，∴△ EDC 是等边三角 形，∴ DE ＝ CD . ∵ BD ＝2，∴ CD ＝ BC － BD ＝5－2＝3，∴ DE ＝ CD ＝3. ∵ DE ⊥ EF ，∴∠ DEF ＝90°，∴∠ F ＝90°－∠ EDC ＝30°，∴ DF ＝2 DE ＝6. 6　 2. 创设应用场景　如图，轮船从 A 港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航 行，此时测得灯塔 M 在北偏东30°的方向上.半小时后，轮船到达 B 处，此时测得灯 塔 M 在北偏东60°的方向上. (1)求轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离； 解：(1)由题意，得∠ CBM ＝60°，∠ BAM ＝30°. ∵∠ CBM ＝∠ BAM ＋∠ BMA ，∴∠ BMA ＝30°， ∴∠ BMA ＝∠ BAM ， ∴ BM ＝ AB ＝28×0.5＝14(海里). 答：轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离为14海里. (2)轮船从 B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达 C 处.求：此时轮船与灯塔 M 的距离是多少？灯塔 M 在轮船的什么方向上？ 解：(2)∵ BC ＝28×0.5＝14(海里)，∴ BM ＝ BC . 又∵∠ CBM ＝60°，∴△ BMC 是等边三角形， ∴ CM ＝ BC ＝14海里，∠ BCM ＝60°， ∴轮船与灯塔 M 的距离是14海里，灯塔 M 在轮船的南偏东60° 方向上. $$中考衔接点12　整式的乘法 1 中考早知道：在进行幂的相关运算及逆运算的考查中，直接考查居多，多以选 择题和填空题为主，零指数幂出现时主要结合实数的运算进行考查.在整式乘 除的运用中，主要考查整式的乘除运算以及化简求值，各种题型均有，在分式 运算中也有涉及. 　(2023济南中考)下列运算正确的是(　D　) A. a2· a4＝ a8 B. a4－ a3＝ a C. ( a2)3＝ a5 D. a4÷ a2＝ a2 子题1.1下列计算结果为 x7的是(　D　) A. x14÷ x2 B. x3＋ x4 C. ( x2)5 D. x3· x4 D D 　(教材P95探究改编)若2 n ×2 m ＝26，则 m ＋ n ＝(　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 子题2.1已知3 x ＝5，3 y ＝10，3 z ＝50，那么下列关于 x ， y ， z 之间满足的等量关系 正确的是(　A　) A. x ＋ y ＝ z B. xy ＝ z C. 2 x ＋ y ＝ z D. 2 xy ＝ z 子题2.2若2 m－1＋2 m－1＋2 m－1＋2 m－1＝4，则 m 的值为 ⁠. D A 1　 　(2024北京东城区期末)若 x －2 y －1＝0，则2 x ÷4 y ×8等于 ⁠. 子题3.1已知 a ＋ b －2＝0，则3 a ×3 b 的值是(　A　) A. 9 B. C. 6 D. －9 16　 A 　(教材P106习题T13改编)若2 x ＝3，2 y ＝5，则 ＝ ⁠. 子题4.1已知3 m ＝5，3 n ＝2，则32 m＋3 n 的值为 ⁠. 15　 200　 　(2023聊城中考)(－2 023)0的值为(　B　) A. 0 B. 1 C. －1 D. － 　(教材P98例4改编)计算2 a3·(－ a )的结果是(　C　) A. 2 a2 B. －2 a3 C. －2 a4 D. －6 a B C 子题6.1若多项式 M 与单项式－ 的乘积为－4 a3 b3＋3 a2 b2－ ，则 M 为(　D　) A. －8 a2 b2＋6 ab －1 B. 2 a2 b2－ ab ＋ C. －2 a2 b2＋ ab ＋ D. 8 a2 b2－6 ab ＋1 D 　(2023青岛中考)计算：8 x3 y ÷(2 x )2＝ ⁠. 子题7.1(2023德州禹城模拟)计算(2 a2)3÷2(－ a2)3的结果是(　B　) A. －3 B. －4 C. 4 D. －1 2 xy 　 B 　下列运算正确的是(　D　) A. (－3 xy )2＝3 x2 y2 B. 3 x2＋4 x2＝7 x4 C. t (3 t2－ t ＋1)＝3 t3－ t2＋1 D. (－ a3)4÷(－ a4)3＝－1 D 　(2023浙江中考)已知 a2＋3 ab ＝5，求( a ＋ b )( a ＋2 b )－2 b2的值. 解：∵ a2＋3 ab ＝5， ∴( a ＋ b )( a ＋2 b )－2 b2 ＝ a2＋2 ab ＋ ab ＋2 b2－2 b2 ＝ a2＋3 ab ＝5. 10. 新运算型阅读理解题　阅读下列材料： 若 a ， b 两数满足 ax ＝ b ，则称 x 为以 a 为底 b 的“对数”，记作( a ， b )＝ x ，如42 ＝16，∴(4，16)＝2. 请根据以上规定，回答下列问题： (1)根据上述规定要求，请完成填空： (3，27)＝ ，(－2，16)＝ ，(－ ， 　－ 　)＝3； (2)计算(3，2)＋(3，4)＝( ， )，并写出计算过程； 3　 4　 － 　 3　 8　 解：设(3，2)＝ m ，(3，4)＝ n ，则3 m ＝2，3 n ＝4， ∴3 m ×3 n ＝3 m＋ n ＝2×4＝8，∴ m ＋ n ＝(3，8)，∴(3，2)＋(3，4)＝(3，8). (3)直接写出结果： ①(5，10)－(5，2)＝ ⁠； ②(10，4)×(2，10)＝ ⁠. 2　 1　 11. (2023河北中考改编)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图 1所示( a ＞1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙)，如图2和图 3，其面积分别为 S1， S2. (1)请用含 a 的式子分别表示 S1， S2；当 a ＝2时，求 S1＋ S2的值； 解：(1)由图可知， S1＝( a ＋2)( a ＋1)＝ a2＋3 a ＋2， S2＝(5 a ＋1)×1＝5 a ＋1. 当 a ＝2时， S1＋ S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23. (2)比较 S1与 S2的大小，并说明理由.(提示： a2±2 ab ＋ b2＝( a ± b )2) 解：(2) S1＞ S2.理由如下： ∵ S1－ S2＝ a2＋3 a ＋2－5 a －1＝ a2－2 a ＋1＝( a －1)2，且 a ＞1， ∴( a －1)2＞0，∴ S1＞ S2. $$中考衔接点13　乘法公式 1 中考早知道：中考常考查运用乘法公式进行整式运算或有理数的简便运算，以及通 过乘法公式变形进行代数式求值，有时会考查乘法公式的几何意义. 　过程性学习·纠错　以下是小明化简代数式( a ＋ b )2－2( a ＋ b )( a － b )＋( a － b )2的过程： 解：原式＝ a2＋ b2－2( a2－ b2)＋ a2－ b2① ＝ a2＋ b2－2 a2－2 b2＋ a2－ b2② ＝－2 b2.③ (1)解答过程中哪几步错误？原因是什么？ 解：(1)解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错；第②步错，去括号出错. (2)写出正确解答过程. 解：(2)原式＝ a2＋2 ab ＋ b2－2( a2－ b2)＋ a2－2 ab ＋ b2 ＝ a2＋2 ab ＋ b2－2 a2＋2 b2＋ a2－2 ab ＋ b2 ＝4 b2. 　(教材P108练习T2改编)计算： (1)2 022×2 024－2 0232； 解：2 022×2 024－2 0232 ＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232 ＝2 0232－1－2 0232 ＝－1. (2)(2 x ＋ y ＋ z )(2 x － y ＋ z ). 解：(2 x ＋ y ＋ z )(2 x － y ＋ z ) ＝[(2 x ＋ z )＋ y ][(2 x ＋ z )－ y ] ＝(2 x ＋ z )2－ y2 ＝4 x2＋4 xz ＋ z2－ y2. 　(教材P112习题T7改编)若 a ＋ b ＝3， a2＋ b2＝7，则 ab ＝ ⁠. 子题3.1若 m ＋ n ＝10， mn ＝5，则 m2＋ n2的值为 ⁠. 1　 90　 　(教材P109思考改编)如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中 与之相对应的是(　A　) A. ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2 B. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2 C. ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2 D. ( ab )2＝ a2 b2 A 5. 规律探究　南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了( a ＋ b ) n ( n 为非 负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”. ( a ＋ b )5＝ a5＋5 a4 b ＋10 a3 b2＋10 a2 b3＋5 ab4＋ b5， … 则( a ＋ b )9展开式中所有项的系数和是(　C　) A. 128 B. 256 C. 512 D. 1 024 C ( a ＋ b )0＝1， ( a ＋ b )1＝ a ＋ b ， ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2， ( a ＋ b )3＝ a3＋3 a2 b ＋3 ab2＋ b3， ( a ＋ b )4＝ a4＋4 a3 b ＋6 a2 b2＋4 ab3＋ b4， 6. 过程性学习　(2023滨州滨城区期末)数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个 数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一 思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法. (1)在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2.请设计一个图形说明( a ＋ b ＋ c )2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 ac ＋2 bc 成立；(画出示 意图，并标上字母) 解：(1)图形如下： (2)如图2，两个直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c 的直角三角形和一个两直角边长 都是 c 的直角三角形拼成一个梯形.试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现 直角三角形的三边长 a ， b ， c 有什么数量关系吗？ 解：(2)梯形的面积可以表示为 ( a ＋ b )2＝ ( a2＋2 ab ＋ b2) ＝ a2＋ ab ＋ b2， 也可以表示为 ab ＋ c2， ∴ ab ＋ c2＝ a2＋ ab ＋ b2，∴ a2＋ b2＝ c2. (3)根据(2)中的结论回答，当 a ＝6， b ＝8时， c2的值为 ⁠. 100　 $$中考衔接点14　因式分解 1 中考早知道：在因式分解中，主要考查因式分解的概念、简单的因式分解以及利用 因式分解进行简便运算和证明等，在分式运算中涉及较多. 　(2023济宁中考)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　C　) A. ( a ＋3)2＝ a2＋6 a ＋9 B. a2－4 a ＋4＝ a ( a －4)＋4 C. 5 ax2－5 ay2＝5 a ( x ＋ y )( x － y ) D. a2－2 a －8＝( a －2)( a ＋4) C 子题1.1下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　B　) A. ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2 B. a2－6 a ＋9＝( a －3)2 C. 2 a －1＝ a (2－ ) D. x2＋6 x ＋8＝ x ( x ＋6)＋8 B 　(2023济南中考)因式分解： m2－16＝ ⁠. 子题2.1(2023淄博中考)分解因式：2 a2－8 b2＝ ⁠. 子题2.2(2023东营中考)因式分解：3 ma2－6 mab ＋3 mb2＝ ⁠. ( m ＋4)( m －4)　 2( a ＋2 b )( a －2 b )　 3 m ( a － b )2　 　(教材P119习题T4改编)利用因式分解计算： (1)8.67×15.3＋15.3×1.33； 解：(1)原式＝15.3×(8.67＋1.33) ＝15.3×10 ＝153. (2)10×912－10×92. 解：(2)原式＝10×(912－92) ＝10×(91＋9)(91－9) ＝10×100×82 ＝82 000. 　(2023宁乡期末)若 a ， b ， c 分别为△ ABC 三边的长，且满足 b ( a － b )－ c ( b － a )＝0，试判断△ ABC 的形状，并说明理由. 解：△ ABC 是等腰三角形.理由如下： ∵ b ( a － b )－ c ( b － a )＝0， ∴ b ( a － b )＋ c ( a － b )＝0，∴( a － b )( b ＋ c )＝0. ∵ a ， b ， c 分别为△ ABC 三边的长，∴ b ＋ c ≠0， ∴ a － b ＝0，∴ a ＝ b ， ∴△ ABC 是等腰三角形. 5. 提供示例支架　仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式 x2－4 x ＋ m 有一个因式是 x ＋3，求另一个因式以及 m 的值. 解：设另一个因式为 x ＋ n ，则 x2－4 x ＋ m ＝( x ＋3)( x ＋ n )， 即 x2－4 x ＋ m ＝ x2＋( n ＋3) x ＋3 n ， ∴解得 ∴另一个因式为 x －7， m 的值为－21. 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式 x2＋3 x － k 有一个因式是 x －5，求另一个因式以及 k 的值. 解：设另一个因式为 x ＋ p ，则 x2＋3 x － k ＝( x ＋ p )( x －5)， 即 x2＋3 x － k ＝ x2＋( p －5) x －5 p ， ∴解得 ∴另一个因式为 x ＋8， k 的值为40. 6. 综合与实践　(2024南昌期末)课本上，我们利用数形结合思想探索了整式乘法的 法则和一些公式.类似地，我们可以探索一些其他的公式. 【以形助数】 借助一个棱长为 a 的大正方体进行以下探索. (1)在其一角截去一个棱长为 b ( b ＜ a )的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的 体积为 ⁠； a3－ b3　 (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①②③，如图2所示，因为 BC ＝ a ， AB ＝ a － b ， CF ＝ b ，所以长方体①的体积为 ab ( a － b )，类似地，长方体②的体积 为 ，长方体③的体积为 ；(结果不需要化简) (3)将表示长方体①②③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果 为 ⁠； (4)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为 ⁠ ⁠； b2( a － b )　 a2( a － b )　 ( a － b )( a2＋ b2＋ ab )　 a3－ b3＝( a － b )( a2＋ ab ＋ b2)　 【以数解形】 (5)对于任意数 a ， b ，运用整式乘法法则证明(4)中得到的等式成立. 证明：∵等式右边＝( a － b )( a2＋ ab ＋ b2)＝ a3＋ a2 b ＋ ab2－ a2 b － ab2－ b3＝ a3－ b3， ∴等式左边＝等式右边， ∴对于任意数 a ， b ， a3－ b3＝( a － b )( a2＋ ab ＋ b2)成立. $$中考衔接点15　分式的概念及基本性质 1 中考早知道：主要考查分式有无意义的条件、分式值为0时字母的取值；利用分式 的基本性质进行变形或判断变形后分式值的变化情况，是分式约分和通分的基础. 　(教材P128例1改编)如果分式 的值为0，那么 x 的值为(　B　) A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 1或0 子题1.1分式 的值为0，则 x ＝ ⁠. 子题1.2若分式 有意义，则 x 的取值范围是 ⁠. B －2　 x ≠3　 　(2023青岛胶州模拟)下列等式成立的是(　D　) A. ＝ ( a ≠0) B. ＝ C. ＝ ( a ≠0) D. ＝ ( a ≠0) D 子题2.1若 x ， y 的值均扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是(　B　) A. B. C. D. B 子题2.2把分式 中的 a ， b 都扩大3倍，则分式的值(　D　) A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍 解析：把分式 中的 a ， b 都扩大3倍，则 ＝ ＝ ，即分式的 值扩大9倍. D 　(2023泰安肥城模拟)下列分式是最简分式的是(　B　) A. B. C. D. 　(2023济南章丘模拟)若 x ， a 都是整数，且 a ＋3＝ ，则整数 a 的个数 是 . B 6　 5. 规律探究　(2023济宁中考)已知一列均不为1的数 a1， a2， a3，…， an 满足如下 关系： a2＝ ， a3＝ ， a4＝ ，…， an＋1＝ ，若 a1＝2，则 a2 023的值 是(　A　) A. － B. C. －3 D. 2 解析：由题意，得 a1＝2， a2＝ ＝ ＝－3， a3＝ ＝ ＝－ ， a4＝ ＝ ＝ ， a5＝ ＝ ＝2，……，∴ an 的值按照2，－3，－ ， ，4 次一个循环周期的规律出现.∵2 023÷4＝505……3，∴ a2 023的值是－ . A $$中考衔接点16　分式的运算 1 中考早知道：在分式的运算中，常考查分式的加、减、乘、除、乘方以及混合运 算，或逆用相关运算求相关代数式，各种题型均有，有时利用相关运算解决实际问 题；在综合考查运算能力求值时，有多种情况：直接代入指定字母的值、整体代入 求值、根据情况选择适合分式的字母值等. 　计算( a － )÷( － b )的结果是(　A　) A. － B. C. － D. 子题1.1(2023淄博博山区一模)试卷上一个正确的式子( ＋ )÷★＝ 被小 颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为(　A　) A. B. C. D. A A 子题1.2(2024潍坊期末)对于代数式 m ， n ，定义运算“ⓧ”： m ⓧ n ＝ ，例 如：4ⓧ2＝ .若( x －1)ⓧ( x ＋2)＝ ＋ ，则 A ＋2 B ＝ ⁠. 解析：由题意，得( x －1)ⓧ( x ＋2)＝ ＝ . ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ .∵ ＝ ， ∴解得∴ A ＋2 B ＝－1＋2×3＝5. 5　 子题1.3(2023德州中考)化简：( － )÷ . 解：原式＝ · ＝ · ＝ . 　(2023济南市中区期末)若 m － n ＝2，则代数式 · 的值是(　D　) A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 子题2.1若 a2－2 a －15＝0，则代数式( a － )· 的值是 ⁠. D 15　 子题2.2(2023菏泽中考)先化简，再求值：( ＋ )÷ ，其中 x ， y 满足2 x ＋ y －3＝0. 解：( ＋ )÷ ＝ · ＝ · ＝2(2 x ＋ y ). ∵2 x ＋ y －3＝0，∴2 x ＋ y ＝3，∴原式＝2×3＝6. 　(教材P159复习题T11改编)先化简，再求值：( －1)÷ ，其中 x ＝ －4. 解：( －1)÷ ＝ · ＝ · ＝ . 当 x ＝－4时，原式＝ ＝－1. 　(2023威海中考)先化简( a － )÷ ，再从－3＜ a ＜3的范围内选择一 个合适的数代入求值. 解：( a － )÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ . 要使分式有意义，则 a ≠0且 a －1≠0且 a ＋1≠0，∴ a 不能为0，1，－1. ∵－3＜ a ＜3，∴可以取 a ＝2，当 a ＝2时，原式＝ ＝ .(答案不唯一) 子题4.1(2023烟台中考)先化简，再求值： ÷( a ＋2＋ )，其中 a 是使不等 式 ≤1成立的正整数. 解： ÷( a ＋2＋ )＝ ÷ ＝ · ＝ · ＝ . 由 ≤1，解得 a ≤3，∴ a 的正整数解为1，2，3. ∵ a －2≠0， a －3≠0， a ＋3≠0，∴ a ≠2，3，－3，∴ a ＝1. 当 a ＝1时，原式＝ ＝－ . 5. 学科融合　(2024厦门海沧区期末)在数学上，对于两个正数 p 和 q 有三种平均 数，算术平均数 A 、几何平均数 G 、调和平均数 H ，其中 A ＝ ， G ＝ .调 和平均数中的“调和”二字来自于音乐.毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根 琴弦的长度 p ， H ， q 满足 － ＝ － ，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹 拨，它们将会分别发出很调和的乐声.我们称 p ， H ， q 为一组调和数，而把 H 称为 p 和 q 的调和平均数.若 A ＝3， G ＝2，则 H 的值为 ⁠. 　 $$中考衔接点17　科学记数法 1 中考早知道：科学记数法一般结合真实问题情境或相关时事，会用科学记数法表示 较小的数.考查时题型多为选择题和填空题. 　科技前沿　(2023日照中考)芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质 量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管.目前，某品牌手机自主 研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 014米.将数据0.000 000 014 用科学记数法表示为(　A　) A. 1.4×10－8 B. 14×10－7 C. 0.14×10－6 D. 1.4×10－9 A 子题1.1我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于0.000 000 3.将0.000 000 3用科学记数法可以表示为(　A　) A. 3×10－7 B. 0.3×10－6 C. 3×10－6 D. 3×107 A 子题1.2(2023济宁曲阜一模)实验测得某种病毒的直径是120纳米(1纳米＝10－9米)， 120纳米用科学记数法可表示为(　B　) A. 12×10－6米 B. 1.2×10－7米 C. 1.2×10－8米 D. 120×10－9米 B 　(2023枣庄薛城区期末)已知一个水分子的直径约为3.85×10－9米，某花粉的 直径约为5×10－4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的 (　C　) A. 0.77×10－5倍 B. 77×10－4倍 C. 7.7×10－6倍 D. 7.7×10－5倍 C 　(2024济宁邹城模拟)将－0.000 031 6用科学记数法表示为 ⁠. －3.16×10－5　 子题3.1如图，有4个小圆，自左向右分别标记为①②③④，在每个小圆中分别填写 一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的 . (1)若第④个小圆中填写的数是3 240，请用科学记数法表示第①个小圆中所填 写的数； 解：(1)第①个小圆中所填写的数为3 240×10×10×10＝3 240 000＝3.24×106. (2)若第①个小圆中填写的数是 ，请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数. 解：(2)第④个小圆中所填写的数为 × × × ＝0.000 002＝2×10－6. $$中考衔接点18　分式方程 1 中考早知道：在解分式方程中，一般考查直接解分式方程、判断解分式方程步骤的 正确性或根据分式方程解的情况判断字母值或取值范围；分式方程的实际应用中， 多考查根据实际问题抽象出分式方程，利用分式方程解决实际问题，有时涉及不等 式(组)与函数的实际应用. 　(2023淄博中考)已知 x ＝1是方程 － ＝3的解，那么实数 m 的值为 (　B　) A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 B 子题1.1(2023聊城中考)若关于 x 的分式方程 ＋1＝ 的解为非负数，则 m 的取 值范围是(　A　) A. m ≤1且 m ≠－1 B. m ≥－1且 m ≠1 C. m ＜1且 m ≠－1 D. m ＞－1且 m ≠1 解析：方程两边同乘( x －1)，得 x ＋ x －1＝－ m ，解得 x ＝ .∵原分式方程的 解为非负数，∴ ≥0，且 ≠1，解得 m ≤1且 m ≠－1. A 　新情境　(2023淄博中考)为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护 和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开 展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1 200棵所用的时间相同，两个年级 平均每小时共植树350棵.求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小 时植树 x 棵，则下面所列方程中正确的是(　D　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ D 子题2.1五育并举　(2023东营中考)为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育， 东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花 费6 000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉，第二批 面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面 粉采购量为 x 千克，依题意所列方程正确的是(　A　) A. － ＝0.4 B. － ＝0.4 C. － ＝0.4 D. － ＝0.4 A 子题2.2观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267 万吨，当月增速为6.6％(计算方法： ×100％≈6.6％).2022年3月当月增速为 －14.0％，设2021年3月原油进口量为 x 万吨，下列算法正确的是(　D　) D A. ×100％＝－14.0％ B. ×100％＝－14.0％ C. ×100％＝－14.0％ D. ×100％＝－14.0％ 　新定义　对于实数 a ， b ，定义一种新运算“⊗”为 a ⊗ b ＝ ，这里等式 右边是实数运算.例如：1⊗3＝ ＝－ ，则方程 x ⊗(－2)＝ －1的解是(　B　) A. x ＝4 B. x ＝5 C. x ＝6 D. x ＝7 子题3.1(2023济南历下区一模)代数式 与代数式 的值相等，则 x ＝ ⁠. B 7　 子题3.2定义一种新运算： nxn－1d x ＝ an － bn ，例如 2 x d x ＝ k2－ m2. 若 (－ x－2)d x ＝－1，则 k ＝ ⁠. 子题3.3若 x ＜2，且 ＋｜ x －2｜＋ x －1＝0，则 x ＝ ⁠. －2　 1　 　(2023泰安中考)为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售 的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价 付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售 价付款，需用3 600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3 600 元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生 有多少人？ 解：设这个学校九年级学生有 x 人. 根据题意，得 ×50＝ ×60，解得 x ＝300. 经检验， x ＝300是原方程的解，且符合题意. 答：这个学校九年级学生有300人. 子题4.1(2023济宁中考)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买 A ， B 两种型号的充电桩.已知 A 型充电桩比 B 型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购 买 A 型充电桩与用20万元购买 B 型充电桩的数量相等. (1) A ， B 两种型号充电桩的单价各是多少？ 解：(1)设 A 型充电桩的单价为 x 万元，则 B 型充电桩的单价为( x ＋0.3)万元. 根据题意，得 ＝ ，解得 x ＝0.9. 经检验， x ＝0.9是原方程的解，且符合题意，∴ x ＋0.3＝1.2. 答： A 型充电桩的单价为0.9万元， B 型充电桩的单价为1.2万元. (2)该停车场计划共购买25个 A ， B 型充电桩，购买总费用不超过26万元，且 B 型充 电桩的购买数量不少于 A 型充电桩购买数量的 .问：共有哪几种购买方案？哪种方 案所需购买总费用最少？ 解：(2)设购买 A 型充电桩 m 个，则购买 B 型充电桩(25－ m )个. 根据题意，得解得 ≤ m ≤ . ∵ m 为整数，∴ m ＝14，15，16， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买14个 A 型充电桩，11个 B 型充电桩； 方案二：购买15个 A 型充电桩，10个 B 型充电桩； 方案三：购买16个 A 型充电桩，9个 B 型充电桩. ∵ A 型充电桩的单价低于 B 型充电桩的单价， ∴方案三所需购买总费用最少，最少费用为16×0.9＋9×1.2＝25.2(万元). 5. 创设情境　(2023宁夏中考)“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济 是就业岗位的重要来源.某经营者购进了 A 型和 B 型两种玩具，已知用520元购进 A 型玩具的数量比用175元购进 B 型玩具的数量多30个，且 A 型玩具单价是 B 型玩具 单价的1.6倍. (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲： ＝ ＋30，解得 x ＝5，经检验 x ＝5是原方程的解. 乙： ＝1.6× ，解得 x ＝65，经检验 x ＝65是原方程的解. 则甲所列方程中的 x 表示 ，乙所列方程中的 x 表示 ⁠ ⁠. B 型玩具的单价　 A 型玩具 的数量　 (2)该经营者准备用1 350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可 购进 A 型玩具多少个？ 解：设可购进 A 型玩具 a 个，则购进 B 型玩具(200－ a )个. 根据题意，得1.6×5 a ＋5(200－ a )≤1 350，解得 a ≤116 ， ∴整数 a 的最大值是116. 答：最多可购进 A 型玩具116个. $$中考衔接点1　与三角形有关的线段 1 中考早知道：利用三角形的三边关系及推论解决线段问题；利用三角形的高、中线 解决面积问题；运用三角形的角平分线求角度. 　开放性设问　(2024聊城期末)已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三 角形的第三边长可以是 (写出一个即可). 子题1.1已知一个三角形的周长为36 cm，一条边是另一条边长度的2倍，则最小边m 的取值范围是(　C　) A. 4＜ m ＜8 B. 5＜ m ＜8 C. 6＜ m ＜9 D. 7＜ m ＜9 4　 C 子题1.2(教材P8习题T7改编)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰 三角形的周长是(　D　) A. 8 cm B. 13 cm C. 8 cm或13 cm D. 11 cm或13 cm D 子题1.3(2024滨州期末)已知△ ABC 三边长分别为 a ， b ， c ，则｜ a ＋ b － c ｜－｜ a － b － c ｜＝ ⁠. 解析：∵△ ABC 三边长分别为 a ， b ， c ，∴ a ＋ b － c ＞0， a － b － c ＜0，∴｜ a ＋ b － c ｜－｜ a － b － c ｜＝ a ＋ b － c ＋( a － b － c )＝ a ＋ b － c ＋ a － b － c ＝2 a －2 c . 2 a －2 c 　 　(2024济宁鱼台期中)如图， AE ⊥ BC ， BF ⊥ AC ， CD ⊥ AB ，则△ ABC 中 AC 边上的高是(　C　) 母题2图 A. AE B. CD C. BF D. AF C 　如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝8 cm， AC ＝6 cm， AE 是△ ABC 的 中线，动点 P 从点 A 出发，以2 cm/s的速度沿 A → C 运动，最终到达点 C 并停止运 动，当点 P 运动的时间为 s时，△ APE 的面积等于10 cm2. 母题3图 　 解析：设当点 P 运动的时间为 t s时，△ APE 的面积等于10 cm2.由题意，得 AP ＝2 t cm. ∵ BC ＝8 cm， AE 是△ ABC 的中线，∴ CE ＝ BE ＝4 cm.∵∠ C ＝90°，∴ S△ APE ＝ AP · CE ，即 ×2 t ×4＝10，解得 t ＝ ，∴当点 P 运动的时间为 s时，△ APE 的面积等于10 cm2. 子题3.1在△ ABC 中， BC ＝8， AB ＝1. (1)若 AC 是整数，求 AC 的长； 解：(1)由题意，得 BC － AB ＜ AC ＜ BC ＋ AB ，∴7＜ AC ＜9. ∵ AC 是整数，∴ AC ＝8. (2)已知 BD 是△ ABC 的中线，若△ ABD 的周长为17，求△ BCD 的周长. 解：(2)∵ BD 是△ ABC 的中线，∴ AD ＝ CD . ∵ AB ＝1， AB ＋ AD ＋ BD ＝17，∴ AD ＋ BD ＝16， ∴△ BCD 的周长＝ BC ＋ BD ＋ CD ＝ BC ＋ BD ＋ AD ＝8＋16＝24. 4. 创设学习情境　(2023日照东港区模拟)老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍 首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5 cm，9 cm，10.5 cm，并且 只能对10.5 cm的小木棍进行裁切(裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数)，则同 学们最多能拼出不同的三角形的个数为(　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C $$中考衔接点2　与三角形有关的角 1 中考早知道：利用三角形内角和定理直接求角度，结合平行线、角平分线等求角 度，以三角尺为背景求角度；解决折叠问题；利用三角形外角的性质求角度. 　(2023聊城中考)如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝ 25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为(　B　) 母题1图 A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 子题1.1如图，在△ ABC 中，若 DE ∥ BC ， FG ∥ AC ，∠ BDE ＝120°，∠ DFG ＝ 115°，则∠ C ＝ ⁠. 子题1.1图 55°　 子题1.2如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， EF ∥ AD ，交 BC 于点 E ，交 AB 于点 F ，交 CA 的延长线于点 G ，∠ B ＝30°，∠ C ＝70°，则∠ G 的度数 为 ⁠. 子题1.2图 40°　 　一副直角三角板如图所示摆放，∠ A ＝30°，∠ E ＝45°，∠ C ＝∠ FDE ＝ 90°，顶点 D 在 AC 边上，且 EF ∥ AB ，则∠ CDF 的度数是(　B　) 母题2图 A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° B 　如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ ABC 外的 A '处， 折痕为 DE . 如果∠ A ＝α，∠ CEA '＝β，∠ BDA '＝γ，那么下列式子中正确的是 (　A　) 母题3图 A. γ＝2α＋β B. γ＝α＋2β C. γ＝α＋β D. γ＝180°－α－β A 　(2024临沂兰山区模拟)如图，在△ ABC 中， BO ， CO 分别平分∠ ABC ， ∠ ACB ，交于点 O ， CE 为外角∠ ACD 的平分线，交 BO 的延长线于点 E ，记∠ BAC ＝∠1，∠ BEC ＝∠2，则以下结论正确的有 ⁠. 母题4图 ①③　 ①∠1＝2∠2；②∠ BOC ＝3∠2；③∠ BOC ＝90°＋∠2；④∠ BOC ＝90°＋∠1. 解析：∵ CE 为外角∠ ACD 的平分线， BE 平分∠ ABC ，∴∠ DCE ＝ ∠ ACD ， ∠ DBE ＝ ∠ ABC . 又∵∠ DCE 是△ BCE 的外角，∴∠2＝∠ DCE －∠ DBE ＝ (∠ ACD －∠ ABC )＝ ∠1，即∠1＝2∠2，故①正确；∵ BO ， CO 分别平分 ∠ ABC ，∠ ACB ，∴∠ OBC ＝ ∠ ABC ，∠ OCB ＝ ∠ ACB ，∴∠ BOC ＝180°－ (∠ OBC ＋∠ OCB )＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°－ (180°－∠1)＝90°＋ ∠1，故④错误；∵ OC 平分∠ ACB ， CE 平分∠ ACD ，∴∠ ACO ＝ ∠ ACB ， ∠ ACE ＝ ACD ，∴∠ OCE ＝ (∠ ACB ＋∠ ACD )＝ ×180°＝90°.∵∠ BOC 是 △ COE 的外角，∴∠ BOC ＝∠ OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故②错误，③正确.综上所 述，结论正确的有①③. 母题4图 子题4.1如图，在△ ABC 中，点 D 是 AC 延长线上的一点，过点 D 作 DE ∥ BC ， DG 平分∠ ADE ， BG 平分∠ ABC ， DG 与 BG 交于点 G ，若∠ A ＝40°，则∠ G 的度数 为 ⁠. 子题4.1图 20°　 解析：∵∠ ACM 是△ ABC 的外角，∴∠ ACM ＝∠ A ＋∠ ABC . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ ACM ，∠ GDE ＝∠ GFM . ∵ DG 平分∠ ADE ， BG 平分∠ ABC ，∴∠ GBF ＝ ∠ ABC ，∠ GDE ＝ ∠ ADE ＝ ∠ ACM ＝ (∠ A ＋∠ ABC )，∴∠ GFM ＝∠ GDE ＝ (∠ A ＋∠ ABC ).又∵∠ GFM 是△ GBF 的外角， ∴∠ GFM ＝∠ G ＋∠ GBF ，即 (∠ A ＋∠ ABC )＝∠ G ＋ ∠ ABC ， ∴∠ G ＝ ∠ A ＝ ×40°＝20°. 子题4.1图 5. 真实问题情境　(2023衢州中考)如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便 测出 cobb 角∠ O 的大小，需将∠ O 转化为与它相等的角，则图中与∠ O 相等的角 是(　B　) A. ∠ BEA B. ∠ DEB C. ∠ ECA D. ∠ ADO B 6. 数学文化　(2023株洲中考)《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)， 一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做 欘…”即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣(其中，1矩＝90°). 问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图，若 ∠ A ＝1矩，∠ B ＝1欘，则∠ C ＝ 度. 22.5　 解析：∵1宣＝ 矩，1欘＝1 宣，1矩＝90°，∠ A ＝1矩，∠ B ＝1欘，∴∠ A ＝ 90°，∠ B ＝1 × ×90°＝67.5°，∴∠ C ＝180°－∠ A －∠ B ＝180°－90°－67.5°＝ 22.5°. $$中考衔接点3　多边形及其内角和 1 中考早知道：求指定边数多边形的内角和，根据内角和求多边形边数；利用外角求 正多边形边数；几个多边形结合求角度. 　(2023济宁中考)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形. 五　 子题1.1图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度. 在图2的六角尺示意图中， x 的值为(　C　) A. 135 B. 120 C. 112.5 D. 112 C 　(教材P24练习T2改编)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为 3∶1，则这个正多边形是(　C　) A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 C 　(2024济南期末)如图，正方形 AMNP 的边 AM 在正五边形 ABCDE 的边 AB 上，则∠ PAE ＝ ⁠. 母题3图 18°　 子题3.1如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的 公共顶点为 O ，且正六边形的边 AB 与正五边形的边 DE 在同一条直线上，则∠ COF 的度数为 ⁠. 子题3.1图 解析：由题意，得∠ EOF ＝108°，∠ BOC ＝120°，∠ OEB ＝72°，∠ OBE ＝ 60°，∴∠ BOE ＝180°－72°－60°＝48°，∴∠ COF ＝360°－108°－48°－120°＝84°. 84°　 4. 创设情境　用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1所示)，然后轻轻拉 紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE . 图中∠ BAC ＝ 度. 36　 5. 多维设问　在四边形 ABCD 中，∠ A ＝80°，∠ D ＝140°. (1)如图①，若∠ B ＝∠ C ，求∠ B 的度数； 解：(1)∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝360°，∠ A ＝80°，∠ D ＝140°， ∴∠ B ＋∠ C ＝360°－∠ A －∠ D ＝360°－80°－140°＝140°. ∵∠ B ＝∠ C ，∴∠ B ＝70°. (2)如图②，若∠ DCB 的平分线交 AB 于点 E ，且 EC ∥ AD ，求∠ B 的度数； 解：(2)∵ EC ∥ AD ，∠ A ＝80°，∠ D ＝140°， ∴∠ AEC ＝180°－∠ A ＝100°，∠ DCE ＝180°－∠ D ＝40°. ∵ CE 平分∠ DCB ，∴∠ ECB ＝∠ DCE ＝40°. ∵∠ AEC ＝∠ B ＋∠ ECB ， ∴∠ B ＝∠ AEC －∠ ECB ＝100°－40°＝60°. (3)如图③，若∠ ABC 和∠ DCB 的平分线交于点 E ，求∠ BEC 的度数. 解：(3)∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ DCB ＋∠ D ＝360°，∠ A ＝80°，∠ D ＝140°， ∴∠ ABC ＋∠ DCB ＝360°－∠ A －∠ D ＝360°－80°－140°＝140°. ∵ BE ， CE 分别平分∠ ABC 和∠ DCB ， ∴∠ EBC ＋∠ ECB ＝ (∠ ABC ＋∠ DCB )＝ ×140°＝70°， ∴∠ BEC ＝180°－(∠ EBC ＋∠ ECB )＝180°－70°＝110°. $$中考衔接点4　全等三角形的性质 1 中考早知道：利用全等三角形的性质计算角度、线段长度以及证明角度或线段之间 的关系，解决实际生活中的测量问题，常与折叠、等腰三角形、四边形、圆以及平 面直角坐标系相结合. 　(教材P33习题T5改编)如图，若△ ABC ≌△ ADE ，则下列结论中一定成立的 是(　B　) 母题1图 A. AC ＝ DE B. ∠ BAD ＝∠ CAE C. AB ＝ AE D. ∠ ABC ＝∠ AED B 子题1.1如图，△ ABD ≌△ ACE ，若 AB ＝6， AE ＝4，则 CD 的长度为(　D　) 子题1.1图 A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 D 子题1.2(2023德州临邑模拟)如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E ， AD ， BE 交于点 F ，△ ADC ≌△ BDF ，若 BD ＝4， CD ＝2，则△ ABC 的面积为 (　C　) 子题1.2图 A. 24 B. 18 C. 12 D. 8 C 子题1.3如图，△ ABC ≌△ ADE ，若∠ B ＋∠ C ＝110°，则∠ DAE ＝ 度. 子题1.3图 70　 　(2024临沂兰山区期末)如图，在△ ABC 中，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 的坐 标为(0，4)，点 C 的坐标为(4，3)，点 D 在第一象限(不与点 C 重合)，且△ ABD 与 △ ABC 全等，则点 D 的坐标是 ⁠. 母题2图 (4，2)　 解析：∵点 D 在第一象限(不与点 C 重合)，且△ ABD 与△ ABC 全等，∴△ BAD ≌△ ABC ，∴ AD ＝ BC ， BD ＝ AC ，如图，∴ D (4，2). 子题2.1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (－3，0)， B (3，0)， C (3，2)，如果 △ ABC 与△ ABD 全等，那么点 D 的坐标可以是 (写出一个 即可). 子题2.1图 (3，－2)(答案不唯一)　 　如图，在△ ABC 中，直线 m 经过点 A ， BD ⊥直线 m ， CE ⊥直线 m ，垂足 分别为点 D ， E . 若△ ABD ≌△ CAE ，则△ ABC 的形状为 ⁠. 母题3图 等腰直角三角形　 $$中考衔接点5　三角形全等的判定 1 中考早知道：对于三角形全等的判定，要结合已知图形和所提供的条件，补充两个 三角形全等所需要的条件，然后利用三角形全等证明角度、线段关系或进行角度、 线段计算. 　(教材P45习题T12改编)如图， D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E ， DE ＝ FE ， FC ∥ AB ，若 AB ＝4， CF ＝3，则 BD 的长是(　B　) 母题1图 A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 B 子题1.1(2023济南莱芜区模拟)如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是△ ABC 外一 点，连接 AD ， BD ， CD ，且 BD 交 AC 于点 O ，在 BD 上取一点 E ，使得 AE ＝ AD ，∠ EAD ＝∠ BAC ，若∠ ABC ＝62°，则∠ BDC 的度数为(　A　) 子题1.1图 A. 56° B. 60° C. 62° D. 64° A 子题1.2如图，△ ABC 中， D 是 AB 上的一点， DF 交 AC 于点 E ， AE ＝ CE ， CF ∥ AB ，若四边形 DBCF 的面积是6 cm2，则△ ABC 的面积为 cm2. 子题1.2图 6　 　(2024泰安期末)如图，在△ OAB 和△ OCD 中， OA ＝ OB ， OC ＝ OD ， OA ＞ OC ，∠ AOB ＝∠ COD ＝40°，连接 AC ， BD 交于点 M ，连接 OM . 下列结论： ① AC ＝ BD ；②∠ AMB ＝40°；③ OM 平分∠ BOC ；④ MO 平分∠ BMC . 其中正确 的个数为(　B　) 母题2图 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 B 解析：∵∠ AOB ＝∠ COD ＝40°，∴∠ AOB ＋∠ AOD ＝∠ COD ＋∠ AOD ，即 ∠ BOD ＝∠ AOC . 在△ AOC 和△ BOD 中，∴△ AOC ≌△ BOD (SAS)，∴∠ OAC ＝∠ OBD ，∠ OCA ＝∠ ODB ， AC ＝ BD ，①正确；由三角形 的外角性质，得∠ AMB ＋∠ OAC ＝∠ AOB ＋∠ OBD ，∴∠ AMB ＝∠ AOB ＝ 40°，②正确；作 OG ⊥ MC 于点 G ， OH ⊥ MB 于点 H ，如图，则∠ OGC ＝∠ OHD ＝90°.在△ OCG 和△ ODH 中， ∴△ OCG ≌△ ODH (AAS)，∴ OG ＝ OH ，∴ MO 平分∠ BMC ，④正确； ∵∠ AOB ＝∠ COD ，∴当∠ DOM ＝∠ AOM 时， OM 才平分∠ BOC . 假设∠ DOM ＝∠ AOM ，∴∠ COM ＝∠ BOM . ∵ MO 平分∠ BMC ，∴∠ CMO ＝∠ BMO . 在△ COM 和△ BOM 中，∴△ COM ≌△ BOM (ASA)，∴ OC ＝ OB . ∵ OA ＝ OB ，∴ OA ＝ OC ，与 OA ＞ OC 矛盾，③错误. 　开放性设问　(2024滨州无棣期末)如图，点 E ， F 在 BC 上， BE ＝ CF ，∠ A ＝∠ D . 请添加一个条件 ，使△ ABF ≌△ DCE . 母题3图 ∠ B ＝∠ C (答案不唯一)　 子题3.1如图，四边形 ABCD 中，∠ BAC ＝∠ DAC ，请补充一个条件 ⁠ ，使△ ABC ≌△ ADC . 子题3.1图 AD ＝ AB (答案不唯一)　 　(2023聊城中考节选)如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，且 BE ＝ CD ，∠ B ＝∠ AED ＝∠ C . 求证：∠ EAD ＝∠ EDA . 证明：∵∠ B ＝∠ AED ＝∠ C ，∠ AEC ＝∠ B ＋∠ BAE ＝∠ AED ＋∠ CED ， ∴∠ BAE ＝∠ CED . 在△ ABE 和△ ECD 中， ∴△ ABE ≌△ ECD (AAS)， ∴ AE ＝ ED ， ∴∠ EAD ＝∠ EDA . 5. 数学文化　(2024厦门集美区期末)几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊 数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； 第5题图 ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度.请用你学过的一个数学定理解释 通过以上步骤能测得河流宽度的道理： ⁠. ASA　 6. (2024淄博高青期末)添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， BD 是高， E 是△ ABC 外一点， BE ＝ BA ，∠ E ＝∠ C ，若 DE ＝ BD ， AD ＝16， BD ＝20，求△ BDE 的面积.同学们可以先思考一下……小颖 思考后认为可以这样添加辅助线：在 BD 上截取 BF ＝ DE (如图2).同学们，根据小 颖的提示，聪明的你可以求得△ BDE 的面积为 ⁠. 64　 第6题图 第6题图 解析：由题意，得∠ ABD ＝90°－∠ BAD ，∠ C ＝90°－∠ BAD ，∴∠ ABD ＝∠ C . ∵∠ E ＝∠ C ，∴∠ ABD ＝∠ E . 在△ ABF 与△ BED 中，∴△ ABF ≌△ BED (SAS)，∴ S△ ABF ＝ S△ BED . ∵ BF ＝ DE ＝ ×20＝8，∴ DF ＝ BD － BF ＝20－8＝12，∴ S△ AFD ＝ AD · DF ＝ ×16×12＝96.∵ S△ ABD ＝ BD · AD ＝ ×20×16＝160， S△ ABF ＝ S△ ABD － S△ AFD ，∴ S△ BDE ＝ S△ ABF ＝160－96＝64. 7. 综合与实践　(2022潍坊中考节选)【情境再现】 甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的 垂足 O 处.将甲绕点 O 顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按 图②作出示意图，并连接 AG ， BH ，如图③所示， AB 交 HO 于点 E ， AC 交 OG 于 点 F ，通过证明△ OBE ≌△ OAF ，可得 OE ＝ OF . 请你证明： AG ＝ BH . 　　 　　 解：【情境再现】证明：由题意，得△ OBE ≌△ OAF ， ∴ BE ＝ AF ， OE ＝ OF ，∠ BEO ＝∠ AFO ， ∴∠ BEH ＝∠ AFG . ∵ OH ＝ OG ， ∴ OH － OE ＝ OG － OF ，即 EH ＝ GF . 在△ BHE 和△ AGF 中， ∴△ BHE ≌△ AGF (SAS)， ∴ AG ＝ BH . 【迁移应用】 延长 GA 分别交 HO ， HB 所在直线于点 P ， D ，如图④，猜想并证明 DG 与 BH 的 位置关系. 证明：由【情境再现】知，△ BHE ≌△ AGF ， ∴∠ BHE ＝∠ AGF . ∵∠ HOG ＝90°，∴∠ AGF ＋∠ GPO ＝90°， ∴∠ BHE ＋∠ GPO ＝90°. ∵∠ GPO ＝∠ HPD ， ∴∠ BHE ＋∠ HPD ＝90°， ∴∠ HDP ＝90°，∴ DG ⊥ BH . 【迁移应用】猜想： DG ⊥ BH . $$中考衔接点6　角的平分线的性质 1 中考早知道：利用角平分线的性质解决点到直线的距离问题，主要考查的是判断线 段的关系或计算长度，常与角平分线的尺规作图、面积问题、最值问题相结合，在 三角形全等、四边形以及圆中有较多应用. 　(2024菏泽定陶区期末)如图， OC 为∠ AOB 的平分线， CM ⊥ OB ， OC ＝ 5， OM ＝4， CM ＝3，则点 C 到射线 OA 的距离为 ⁠. 母题1图 3　 子题1.1如图， OF 平分∠ AOB ， FM ⊥ OA 于点 M ，且 FM ＝3， N 是射线 OB 上的 一点，则 FN 的长度不可能是(　A　) 子题1.1图 A. 2 B. C. 4.5 D. 10 A 子题1.2如图，△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ C ＝90°， AD 平分∠ CAB 交 BC 于点 D ， DE ⊥ AB 于点 E ，且 AC ＝6 cm，则 DE ＋ BD 等于 ⁠. 子题1.2图 6 cm　 　三条公路将 A ， B ， C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个 区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市 场应建的位置是三条 的交点. 母题2 角平分线　 　在正方形网格中，∠ AOB 的位置如图所示，到∠ AOB 两边距离相等的点应 是(　A　) 母题3图 A. M 点 B. N 点 C. P 点 D. Q 点 A 　(2024烟台莱阳期末)如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，以点 A 为圆心，适 当长为半径作弧，分别交 AB ， AC 于点 D ， E ，再分别以点 D ， E 为圆心，以大于 DE 的长度为半径作弧，两弧交于点 F ，作射线 AF 交 BC 于点 G ，若 AB ＝12， CG ＝3，则△ ABG 的面积是(　B　) 母题4图 A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 B 5. 提供概念支架　定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”. 如图1，四边形 ABCD 中， AD ＝ CD ，∠ A ＋∠ C ＝180°，则四边形 ABCD 叫做 “等补四边形”. 【概念理解】 (1)等补四边形 ABCD 中，若∠ B ∶∠ C ∶∠ D ＝2∶3∶4，则∠ A ＝ °； 90　 【探究发现】 (2)如图2，在等补四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，连接 AC ，通过观察与测量发现： CA 平分∠ BCD ，请尝试证明这个发现. 证明：如图2，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 的延长线于点 F ，则∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°. ∵四边形 ABCD 是等补四边形，∴∠ B ＋∠ ADC ＝180°. 又∵∠ ADC ＋∠ ADF ＝180°，∴∠ B ＝∠ ADF . ∵ AB ＝ AD ，∴△ ABE ≌△ ADF (AAS)，∴ AE ＝ AF ， ∴ CA 是∠ BCF 的平分线，即 CA 平分∠ BCD . $$中考衔接点7　轴对称 1 中考早知道：轴对称图形的识别以及对称轴的判断，有时与中心对称相结合；轴对 称图形常以折叠形式出现，多与三角形、四边形和圆相结合进行角度或线段长的计 算，或位置关系判断；求关于坐标轴对称的点的坐标，根据坐标特征判断字母取 值，在平面直角坐标系内进行轴对称作图，有时与平移、旋转相结合；找最短，先 判断满足距离(周长等)最短时点的位置，然后计算最短距离(周长等)，一般不单独 考查，而是与其他图形或函数、勾股定理相结合. 　(2023德州中考)下列选项中，直线 l 是四边形的对称轴的是(　C　) A B C D C 子题1.1真实问题情境　山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开 幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题.在下列给出的运动图片 中，是轴对称图形的是(　D　) D 　(2023临沂中考)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花 园中栽种了8棵桂花，如图所示.若 A ， B 两处桂花的位置关于小路对称，在分别以 两条小路为 x ， y 轴的平面直角坐标系内，若点 A 的坐标为(－6，2)，则点 B 的坐标 为(　A　) 母题2图 A. (6，2) B. (－6，－2) C. (2，6) D. (2，－6) A 　(2023聊城中考)如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 各点坐标分别为 A (－2，1)， B (－1，3)， C (－4，4).先作△ ABC 关于 x 轴成轴对称的△ A1 B1 C1，再把△ A1 B1 C1平移后得到△ A2 B2 C2.若 B2(2，1)，则点 A2的坐标为(　B　) 母题3图 A. (1，5) B. (1，3) C. (5，3) D. (5，5) B 　(2023菏泽郓城期末)如图，四边形 ABCD 沿直线 l 对折后互相重合，如果 AD ∥ BC ，有下列结论：① AB ∥ CD ；② AB ＝ CD ；③ AB ⊥ BC ；④ AO ＝ OC . 其 中正确的结论是 ⁠. 母题4图 ①②④　 　如图，直线 m 是正五边形 ABCDE 的对称轴，且直线 m 过点 A ，则∠1的度 数为 ⁠. 母题5图 72°　 $$中考衔接点8　线段的垂直平分线的性质 1 中考早知道：运用线段的垂直平分线的性质进行线段关系推导，进而证明全等或结 合等腰三角形的相关性质进行证明或计算，与“整体思想”结合较多，来解决等距 问题. 　(教材P65习题T6改编)如图，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ， 交 BC 于点 E ，连接 AE . 若 BC ＝6， AC ＝5，则△ ACE 的周长为(　B　) 母题1图 A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 B 子题1.1如图，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，若△ BCD 的周长为5， BC ＝2，则边 AB 长的取值范围是 ⁠. 子题1.1图 1＜ AB ＜5　 　(2024德州禹城期末)如图， P 为△ ABC 内一点，过点 P 的线段 MN 分别交 AB ， BC 于点 M ， N ，且 M ， N 分别在 PA ， PC 的中垂线上.若∠ ABC ＝80°，则∠ APC 的度数为(　C　) 母题2图 A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° C 解析：∵∠ ABC ＝80°，∴∠ BMN ＋∠ BNM ＝180°－80°＝100°.∵ M ， N 分别在 PA ， PC 的中垂线上，∴ MP ＝ MA ， NP ＝ NC ，∴∠ MPA ＝∠ MAP ，∠ NPC ＝∠ NCP ，∴∠ MPA ＋∠ NPC ＝ (∠ BMN ＋∠ BNM )＝50°，∴∠ APC ＝180° －50°＝130°. 　如图，△ ABC 的顶点均在格点上， A (3，4)， B (1，0)， C (7，0)，利用网 格线在图中找一点 P ，使得 PA ＝ PB ＝ PC ，则点 P 的坐标为 ⁠. 母题3图 (4，1)　 　(2023潍坊模拟)如图，点 P 是∠ AOB 的平分线 OM 上任意一点， PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F ，连接 EF . 求证： OP 垂直平分 EF . 证明：∵ PE ⊥ OA ， PF ⊥ OB ， ∴∠ PEO ＝∠ PFO ＝90°. ∵ OM 平分∠ AOB ，∴∠ EOP ＝∠ FOP . 在△ PEO 和△ PFO 中， ∴△ PEO ≌△ PFO (AAS)， ∴ PE ＝ PF ， OE ＝ OF ， ∴点 O ， P 均在 EF 的垂直平分线上， ∴ OP 垂直平分 EF . $$中考衔接点9　等腰三角形的性质与判定 1 中考早知道：等腰三角形的性质及判定的应用，常与平行线相结合，利用“等边对 等角”进行角度计算，利用“三线合一”进行角度或线段关系的推导，相关知识单 独考查时难度中等，有时需要分类讨论，与四边形、圆也有较多结合. 　(2022淄博中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 AB ∥ CD ，道路 AB 与 AE 的夹角∠ BAE ＝50°.城市规划部门想新修一条道路 CE ，要求 CF ＝ EF ， 则∠ E 的度数为(　B　) 母题1图 A. 23° B. 25° C. 27° D. 30° B 子题1.1如图，在△ ABC 中，以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，分别交 AC ， AB 于 D ， E 两点，并连接 BD ， DE . 若∠ A ＝30°， AB ＝ AC ，则∠ BDE 的度数为 (　A　) 子题1.1图 A. 67.5° B. 52.5° C. 45° D. 75° A 解析：∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝30°，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ ×(180°－30°)＝75°.∵以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，∴ BC ＝ BD ＝ BE ，∴∠ BDC ＝∠ ACB ＝75°，∴∠ CBD ＝180°－75°－75°＝30°，∴∠ DBE ＝75°－30°＝45°，∴∠ BDE ＝∠ BED ＝ ×(180°－45°)＝67.5°. 子题1.2如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B ＝70°，以点 C 为圆心， CA 长为半径作 弧，交直线 BC 于点 P ，连接 AP ，则∠ BAP 的度数是 ⁠. 子题1.2图 15°或75°　 　(2024烟台期末)四边形 ABCD 的边长如图所示，对角线 AC 的长度随四边形 形状的改变而变化.当△ ABC 为等腰三角形时，对角线 AC 的长为(　B　) 母题2图 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：∵△ ABC 为等腰三角形，∴ AC ＝ BC 或 AC ＝ AB . 当 AC ＝ BC ＝4时， AD ＋ CD ＝ AC ＝4，此时不满足三角形三边关系；当 AC ＝ AB ＝3时， AB ＋ AC ＝6 ＞ BC ，且 AD ＋ CD ＝4＞ AC ，满足三角形三边关系.综上所述， AC ＝3. B 　(教材P82习题T4改编)如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB ＝ AC ， 立柱 AD ⊥ BC ，且顶角∠ BAC ＝120°，则∠ C 的大小为 ⁠. 母题3图 30°　 　(2023烟台中考节选)如图，点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC ， BC 为等腰 三角形的底边，在 AB 的同侧作等腰△ ACD 和等腰△ BCE ，且∠ A ＝∠ CBE . 在线段 EC 上取一点 F ，使 EF ＝ AD ，连接 BF ， DE . 求证： DE ＝ BF . 证明：∵△ ACD 和△ BCE 是等腰三角形，且 AC ， BC 为底边， ∴ AD ＝ CD ， CE ＝ BE ，∠ A ＝∠ DCA ，∠ BCE ＝∠ CBE . ∵∠ A ＝∠ CBE ，∴∠ DCA ＝∠ CBE ，∴ CD ∥ BE ， ∴∠ ECD ＝∠ BEF . ∵ EF ＝ AD ，∴ EF ＝ CD . 在△ ECD 和△ BEF 中， ∴△ ECD ≌△ BEF (SAS)，∴ DE ＝ BF . 子题4.1(2024聊城期末)在△ ABC 中， AD 是高， AE ， BF 是角平分线， AE 交 BF 于 点 O ，∠ BAC ＝80°，∠ C ＝70°. (1)求∠ BOE 的大小； 解：(1)∵∠ BAC ＝80°，∠ C ＝70°， ∴∠ ABC ＝180°－∠ BAC －∠ C ＝180°－80°－70°＝30°. ∵ AE ， BF 分别是∠ BAC 和∠ ABC 的平分线， ∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°，∠ ABF ＝ ∠ ABC ＝15°， ∴∠ BOE ＝∠ ABF ＋∠ BAE ＝15°＋40°＝55°. (2)求证： DE ＝ DC . 解：(2)证明：∵∠ AEC ＝∠ ABC ＋∠ BAE ＝30°＋40°＝70°， ∴∠ AEC ＝∠ C ，∴ AE ＝ AC . ∵ AD ⊥ EC ，∴ DE ＝ DC . 5. 传统文化·蝶几图　《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图 (“ ”为“蜨”，同“蝶”)，它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两 只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只(图①中的“樣” 和“隻”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计图，其中△ ABD 和△ CBD 为“大三 斜”组件(“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位 于点 P 处，点 P 与点 A 关于直线 DQ 对称，连接 CP ， DP . 若∠ ADQ ＝24°，则 ∠ DCP ＝ ⁠°. 21　 $$