2024年广东省中学生数学夏令营数学测试（一）

2024年广东省中学生数学夏令营 数学测试（一） 一试部分 （2024年8月12日 8:00－9:20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1． 设抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A,B是抛物线上第一象限中的两点，满足AF＝2,BF＝5,AB＝4，则直线AB的斜率为_________． 2． 已知虚数z满足,均为实数，那么Re(z)＝_________． 3． 满足cos(A－B)＝的△ABC的最大角的大小为_________． 4． 非空集合S⊆{x∈Z||x|≤10}，满足|S|＋min(S)max(S)＝0，则满足条件的集合S的个数为_________． 5． 方程(－1)x2＋(－1)x＝＋的所有解之积为_________． 6． 直三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，E,F分别在棱BB1,CC1上，BE＝2，CF＝1，EA上一点M，AF上一点N，则A1N＋MN的最小值为_________． 7． 在△ABC中，O为外心，＝λ＋μ（λ,μ≥0），若λ＋μ＝，λcos2C＋μcos2B＝_________． 8． 在一个5×5的网格中的每个单元格中画一条对角线（两条对角线）并将网格分成50个区域、这些三角区域可以被染成红色和蓝色，使得任何两个相邻的区域具有不同颜色．满足上述条件染法数为_________． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（16分）设函数f(x)＝，其中a为常数．函数f(x)满足：若|x|＜1,恒有| f(x)|＜1，求a的取值范围． 10．（20分）正数数列{an}满足an+1－an＝an(an＋1)(an＋2)，找到最大的正整数C，使得 ＞C 恒成立． 11．（20分）已知双曲线Γ：x2－＝1，的左、右焦点分别为F1,F2，左顶点为A．直线MN过点F2且与Γ的右支交于点M,N，点Q为△F1MN内切圆⊙P与Γ的一个公共点（点P,Q位于x轴的异侧）．证明：∠APQ＝2∠QPF2． 加试部分 （2024年8月12日 9:40－12:30） 一、（本题满分40分） 给定正实数a1,a2,…,an,使得a12＋2a23＋…＋nann+1＜1．证明： 2a1＋3a22＋…＋(n＋1)ann＜3． 二、（本题满分40分） 如图，设ABC是一个直角三角形，∠A＝90°，设K是BC的中点，AKLM是一个中心为C的平行四边形．设T是AC和BM垂直平分线的交点．设ω1是以C为圆心、CA为半径的圆，ω2是以T为圆心、TB为半径的圆．证明：ω1和ω2的交点之一在直线LM上． 三、（本题满分50分） 证明：在任意连续20个正整数中，一定存在整数k，使得对于（20个数中的）每个正整数n，均有 n{n}＞ 其中{x}表示实数x是小数部分． 四、（本题满分50分） 称一个正整数为“挑战性”数，如果它可以表示为2a(2b＋1)，其中a和b是正整数。证明：如果X是一个每个元素都小于2n的“挑战性”数的集合（n是给定的正整数），并且|X|≥(n－1)，则存在两个不相交的集合A,B⊂X，使得|A|＝|B|并且 学科网（北京）股份有限公司 $$