精品解析：江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期4月数学双周练试题

2023-2024学年（下）高一数学4月双周练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 正方体中，E，F分别是的中点，则直线与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 二、多选题：本题共3小题，共17分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是（ ） A. 与平行； B. 与共面； C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； D. 与的交点一定在直线上． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为__________． 13. 中，若，则__________． 14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图在三棱锥中，点，，，分别为相应棱的中点， （1）求证：四边形为平行四边形. （2）若，，求异面直线与所成的夹角. 16. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 17. 在①②③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知________． （1）求角C的值； （2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值． 18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 19. 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记. （1）为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内? （2）若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年（下）高一数学4月双周练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解. 【详解】由已知有，. 故. 故选：C. 2. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 4. 正方体中，E，F分别是的中点，则直线与EF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可得答案. 【详解】正方体中，E，F分别是的中点， 设正方体中棱长为2， 以D为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，， 设直线与EF所成角为θ，， 则==， ∴直线与EF所成角的余弦值是． 故选：B． 5. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算将用、用分别含，的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出，即可求得． 【详解】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线，所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以． 故选：B． 6. 下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 7. 在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围. 【详解】由题设，过作于，如下图示， 则，可得时，三角形有两解. 当，即时，三角形不存在； 当或2时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形； 当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形； 故选：C 8. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共17分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A结合余弦的二倍角公式判断即可. 【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确； 对B，若，则，，，故B错误； 对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确； 对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确. 故选：ACD 10. 已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对B，根据正六边形的对称性判断即可；对C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对D，根据当时，有最小值判断即可. 【详解】对A，由可得， 即，可得， 因此，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误； 对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 11. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是（ ） A. 与平行； B. 与共面； C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； D. 与的交点一定在直线上． 【答案】BD 【解析】 【分析】如图所示．连接，，依题意，可得，，即可得出共面，又，可得与必相交，从而可判断出选项A和B的正误；设交点为，可得点在平面与平面的交线上，又是这两个平面的交线，即可得出点一定在直线上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解． 【详解】如图所示．连接，， 依题意，可得，， 所以， 所以共面，所以选项B正确， 因为， 所以四边形是梯形，与必相交，所以选项A错误， 设与的交点为， 因为点在上，故点在平面上． 同理，点在平面上， 所以点在平面与平面的交线上， 又是这两个平面的交线，所以点一定在直线上，故选项C错误，选项D正确， 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 13. 中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系求解即可. 【详解】中，若，则，则. 故 . 故答案为： 14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，设的外接圆圆心为，化简可得，进而可得当反向共线且时取最大值即可. 【详解】取中点，设的外接圆圆心为，则， . 又，故. ，当且仅当反向共线时取等号. 又，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图在三棱锥中，点，，，分别为相应棱的中点， （1）求证：四边形为平行四边形. （2）若，，求异面直线与所成的夹角. 【答案】（1）证明：因为点，，，分别为相应棱的中点， 所以，，又，所以且， 所以是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由中位线定理证明四边形对边平行且相等，得平行四边形； （2）解得，再由异面直线所成的角可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为点，分别为相应棱的中点，所以，， 所以异面直线与所成的角是或其补角． 又，，而，所以， 所以． 所以异面直线与所成的角为． 【点睛】本题考查空间平行直线的证明，考查求异面直线所成的角，掌握平行公理是解题关键．求异面直线所成的角，一般有三个步骤：一作二证三计算． 16. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出，，再求出即可得解. 【小问1详解】 由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 17. 在①②③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知________． （1）求角C的值； （2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）选①，可由余弦定理得，进而可得； 选②，由面积公式和余弦定理可得，进而可得； 选③，可得，进而可得. （2）设，由，，联立可求得. 【详解】（1）选①，由余弦定理得， 整理得，所以，又，故. 选②，因为，， 故，可得，又，故. 选③，可得， 所以，又，所以，故. （2）在中，因为是的平分线，且，设，所以 ，又，联立以上两式得： ，又，解得. 18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 19. 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记. （1）为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内? （2）若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. 【答案】（1） （2），10km 【解析】 【分析】（1）由，利用三角形面积公式得到求解； （2） 由BC = AD得到，进而得到，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 解：， ， 由题意， ， ， 因为，所以， 解得； 【小问2详解】 由BC = AD可知， ， 故， ， 从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当， 即时取到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $