广东省京师荟成学校、燕岭学校二校2025届高三上学期8月联合模拟考试数学试卷

2025届第一次联合模拟考试 数学 参加学校：京师荟成学校 燕岭学校 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2.若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 3.南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（ ） A. B. C. D. 4.在中，，则（ ） A. B. C. D. 5.已知函数在处取得最值，且在上恰有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 6.已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 7.对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A.或 B.或 C.或 D. 8.已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知定义域为的函数满足：①，；②的图象关于直线对称； ③对任意的实数，，且，都有，则（ ） A.是偶函数 B. C.的图象关于对称 D. 10.下列命题中正确的是（ ） A.函数的周期是 B.函数的图像关于直线对称 C.函数在上是减函数 D.函数的最大值为 11.某圆锥的底面半径为，母线长为，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A.圆锥的侧面展开图的圆心角为 B.圆锥的体积为 C.过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为 D.圆锥轴截面的面积为 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，，，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为__________. 13.已知的展开式中，的系数为，则__________. 14.已知，若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 （1）根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ （3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本. 参考公式：回归直线方程，其中 16.（本小题15分） 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形. （1）在图中画出这个多边形不必说出画法和理由； （2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中； （3）若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 17.（本小题15分） 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，､平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，､和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设､､猜中的概率分别为，，，且､､是否猜中互不影响. （1）求恰好获得元的概率； （2）设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望. 18.（本小题17分） 设是定义域为的函数，如果对任意的，，均成立，则称是“平缓函数”. （1）若，试判断是否为“平缓函数”并说明理由； （2）已知的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由. （3）若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的，，均有. 19.（本小题17分） 已知，其中常数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求证：. 2025届第一次联合模拟考试 参考答案 参加学校：京师荟成学校燕岭学校 1.【答案】D 【解】依题意，，故， 故. 2.【答案】C 【解】解因为是偶函数知，所以， 所以的图象关于直线对称，又的图象关于中心对称， 所以，① 由，可得，② 由①②可得：， 所以，所以， 故函数的周期为4， 则， 则， 则. 3.【答案】B 【解】由题意可知：的差的数列为：， 这个数列的差组成的数列为：是等差数列， 所以前7项分别为，则该数列的第8项为：. 4.【答案】D 【解】，则. 5.【答案】B 【解】由题意可知，，解得， 当时，由，得， 由题意，得，解得， 所以不存在； 当时，由，得， 由题意，得，解得， 所以. 6.【答案】B 【解】，则. 7.【答案】A 【解】构造， 当时，，不符合， 当时，是增函数， 因为对任意的实数，不等式恒成立，即恒成 立， 所以恒成立，解得或，因为，所以. 当时，是减函数，因为对任意的实数恒成立， 恒成立， 解得或，因为，所以. 综上所述或. 8.【答案】D 【解】对于，即，故A错误； 对于B，由得， 所以，即，故B错误； 对于C，由指数函数与幂函数的单调性可知，，故C错误； 对于D，由对数函数的单调性可知，，故D正确. 9.【答案】ACD 【解】由函数的图象关干直线对称，得的图象关于直线 对称.则是偶函数，故A正确； 对任意的实数，且，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以，故B错误； 因为，所以，则，所以是周期为4的周期函数，又，故.结合是偶函数，可得，所以函数的图象关于点对称，故0.又的周期为4，所以的图象关于点称，.故CD正确. 10.【答案】AD 【解】函数的周期是，故正确； 函数，由，可得为函数的对称轴，故B错误； 函数，由， ，可得，故函数在上是增函数，故C错误； 函数 ，故其最大值为.故D正确. 11.【答案】ACD 【解】对A选项，侧面展开图中，扇形的半径为4，弧长为，由弧长公式有圆心角为A选项正确； 对B选项，圆锥的高为圆锥的体积为B选项错误； 对C选项，：在轴截面中，顶角的余弦值为顶角为钝角， 当两条母线垂直时，截面的面积最大，最大值为C选项正确； 对D选项，，轴截面为腰为4，底为6的等腰三角形，其面积为选D项正确. 12.【答案】 【解】由题意可得： ， 故，即， 由于是函数的两个零点， 所以为函数的最小正周期， ，解得：， 故有：， 当时，， 可知， 即， 所以最小值与最大值之和为. 13.【答案】2 【解】， 所以它的展开式中，的系数为：，解得. 14.[答案] 【解】因为， ， 当且仅当，即时取""， 所以的最小值为. 15.解：（1）因为， 所以，则， 于是关于的回归直线方程为； （2）当时，，则，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的； （3）令销售利润为，则， 因为， 当且仅当，即时，取最大值. 所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大. 16.解：（1）设中点为，连接，则由正方体性质可得，且，故四边形为平行四边形，则. 又中点为中点为，故，则，故这个多边形为四边形. （2）在正方形中，直线与直线相交， 设，连接，设，连接， 由为的中点，得为的中点，， 所以平面即为平面， 因为为的中点，所以为的中点， 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 因为正方体的棱长为4， 所以 ， 另一部分几何体的体积， 两部分的体积. （3）取的中点的中点，连接， 显然，所以平面C平面， 所以平面， 又为的中点，所以且，又且， 所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面C平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 又点是侧面内的动点，且， 所以在线段上，又， 即为等腰三角形，所以当为的中点时最小， 因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为， 令，则为的中点，连接，则，所以平面， 所以球心在上，设球心为，连接，设外接球的半径为， 则， 又， 所以，解得，则， 所以外接球的表面积. 17.解：（1）若恰好获得四元红包，则结果为末猜中，末猜中，猜中， 故恰好获得4元的概率； （2）的可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 0 4 6 12 数学期望为. 18.解：（1）不是，理由如下： 令，因为， 则， 不满足对任意的均成立，故不是"平缓函数". （2）命题为真命题，理由如下： 因为， 不妨令，因为是"平缓函数"， 则， 所以， 故命题为真命题； （3）证明：因为是以1为周期的周期函数， 不妨设， 当时，因为函数是“平缓函数”， 则； 当时，不妨设，则， 因为是以1为周期的周期函数，则， 因为函数是“平缓函数”， 所以 所以对任意的，均有， 因为是以1为周期的周期函数， 所以对任意的，均有. 19.解：函数的定义域为， （1）当时，在单调递增且 当时，，所以在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）先证明：当恒成立时，有成立 若，则显然成立； 若，由得，令，则， 令，由得在上单调递增， 又，所以在上为负，递减，在上为正，递增， ，从而. 因而函数若有两个零点，则，所以， 由得，则， 在上单调递增，， 在上单调递增：，则 ，由得， 则，综上. 学科网（北京）股份有限公司 $$