专题2.7函数小题强化训练（40题）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.7函数小题强化训练 一、单选题 1．已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 7．函数，则（    ） A． B．0 C． D． 8．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 9．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．674 B．675 C．676 D．677 10．定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 15．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 16．已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 17．已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（    ） A． B． C．0 D．1 18．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 20．已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 21．已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 22．已知实数满足：，则下列不等式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 23．函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 24．对于函数：，若使得，我们称为函数的一个不动点.则（    ） A．若有无数多个不动点，则 B．若为二次函数，且无不动点，则无不动点 C．若有唯一不动点，则有唯一不动点 D．若有且仅有两个不动点，，则，都是的不动点 25．已知函数是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 26．若函数，则（    ） A．若，则既是奇函数，也是偶函数 B．若为奇函数，则 C．若，则存在两个不同的零点 D．若的定义域为R，则 27．已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D．0 28．已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 29．已知，则 ． 30．若函数是上的偶函数，则 ． 31．函数，则 . 32．函数的图象过原点，且，若，则 . 33．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的 倍．（结果保留一位小数） 34．已知函数则不等式的解集为 . 35．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 36．已知正实数满足，，则 . 37．若函数为奇函数，则 ． 38．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 39．已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 40．已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7函数小题强化训练 一、单选题 1．已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 2．已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，． 故选：A． 3．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 4．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象如下，由图可知在R上单调递增. 因为， 所以，解得. 故选：D. 5．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 6．已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以的图象关于对称， 令，则， 可得函数的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称， 则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个， 则所以. 故选：C. 7．函数，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，则，所以； 故选：C 8．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．105 C．210 D．225 【答案】C 【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则． 因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，， 所以． 故选：C 9．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（    ） A．674 B．675 C．676 D．677 【答案】B 【详解】，，故． 故选：B 10．定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 所以， 由及得，， 所以，即周期为4， 所以，， 因为， 所以，解得， 所以， 故选：C． 11．已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以是偶函数，， 所以可化为： ，又在区间上单调递减，所以在上递增， 所以，即或， 即或． 故选：． 12．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以； 综上所述：. 故选：C 13．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 14．已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称． 当时，由函数的解析式，两出函数的大致图象如图所示． 当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点； 当时，总有．而函数在区间上单调递增且，， 所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点． 综上，函数在区间上的零点个数为1． 故选：B． 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 15．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 16．已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为为偶函数， 所以，即，所以， 因为为奇函数， 所以， 所以，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 所以， 又，所以， 即. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 17．已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或； 令，为任意实数，有，即； 因为，所以， 当时，；当时，； 所以的值不可能是， 故选：A. 18．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：D. 二、多选题 19．已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 【答案】AD 【详解】由可得：函数的定义域为R，故A正确； 由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误； 由解得，，所以零点为，故C错误； 当时，，取等号条件为，故D正确； 故选：AD. 20．已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 【答案】BC 【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误； 因为，所以，故C正确； 作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号. 故选：BC. 21．已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AD 【详解】由题意知，，所以，即，解得， 故A正确；B错误； ，当且仅当时等号成立，又， 所以，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，又， 所以，故D正确. 故选：AD. 22．已知实数满足：，则下列不等式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：. 故选：ABD. 23．函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BC 【详解】因为，所以为偶函数， 因为， 即，所以为奇函数， 所以为非奇非偶函数，A错误； ，所以为奇函数，B正确； ，所以是奇函数，C正确； 令，，为偶函数，D错误. 故选：BC． 24．对于函数：，若使得，我们称为函数的一个不动点.则（    ） A．若有无数多个不动点，则 B．若为二次函数，且无不动点，则无不动点 C．若有唯一不动点，则有唯一不动点 D．若有且仅有两个不动点，，则，都是的不动点 【答案】BC 【详解】A：显然不正确,如； B：因为二次函数，故或，当时，，当时，，故无不动点； C：若，其中唯一存在，记，则，若，则， 从而也为的不动点，故只能，即为的不动点， 又易知的不动点显然为的不动点，所以有唯一不动点. D：由C不难知且，故D不正确. 故选：BC. 25．已知函数是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】AD 【详解】因为函数是奇函数，所以，函数的图象关于点中心对称； 因为函数是偶函数，所以，则，所以函数的图象关于直线对称． ，A正确； 若函数的图象关于点中心对称，即，即，即函数的图象关于点中心对称，显然不正确，B错误； 因为，所以，即，则的图象关于点中心对称， 又因为，所以，即函数的周期为4， 所以函数的图象也关于点中心对称，则是奇函数，C错误； 由，，得，即，所以，所以函数是偶函数，D正确． 故选：AD． 26．若函数，则（    ） A．若，则既是奇函数，也是偶函数 B．若为奇函数，则 C．若，则存在两个不同的零点 D．若的定义域为R，则 【答案】BCD 【详解】对A：时，，由 可得定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故A错误； 对B：若为奇函数， 则，对函数定义域中任意成立， 所以，而时，函数定义域为，故B正确； 对于C：当时，由可得， 解得或，故C正确； 对于D：若的定义域为R，则对任意成立， 于是， 当时，由知恒成立， 当时，需恒成立，即恒成立，所以， 综上时即对任意不等式组恒成立，故D正确. 故选：BCD 27．已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【详解】,如图所示， 令，则， 若方程有五个不相等的实数根，则有两个零点分别为，， 由图象可知，即，可得，解得， 则实数的取值范围是， 故选：AB． 28．已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，若，且，只能，有， 则，，所以，故A正确； 对于B，举反例：当时， 则，， 此时，故B不正确； 对于C，易知，且．若，且，则有： （ⅰ）当时，有， 则，， 且，所以； （ⅱ）当时，， 且，则． 综上所述：，故C正确； 对于D，若，则．若，且，分类讨论． （ⅰ）当时，有， 从而，， 则； （ⅱ）当时，则，， 因为， 则，从而． 综合所述：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意，且，根据相应的选项特征分类讨论，进而分析判断即可. 三、填空题 29．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】， 则. 故答案为：. 30．若函数是上的偶函数，则 ． 【答案】1 【详解】若函数是上的偶函数， 则有，即，解得， 当时，此时，， 当时，，， 当时，，， 所以函数是上的偶函数，符合题意， 则. 故答案为：1. 31．函数，则 . 【答案】2 【详解】，若， 则或，即或，解得. 故答案为：2. 32．函数的图象过原点，且，若，则 . 【答案】 【详解】由题意，所以，所以的定义域为， 且，且， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 33．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的 倍．（结果保留一位小数） 【答案】2.5/ 【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则 由题意可知，， ， 所以 倍. 所以最大信息传递率C会提升到原来的倍. 故答案为：2.5 34．已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】函数在上单调递增， 又在上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 35．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 36．已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 37．若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 当时，则， 则， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 38．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根； 当时，令，得，该方程至多两个根， 因为函数恰有3个不同的零点， 所以函数在区间和上均有零点， 若函数在区间上有两个零点， 即直线与函数在区间上有两个交点， 当时，； 当时，，此时函数的值域为， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则或， 解得或， 若函数在区间上也有两个零点， 令，解得，， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则且， 解得； 所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得， 当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时, 需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，其中分段函数中一段可以有2个交点也可有1个交点，据此结合总共有3个交点求解，考查分类讨论思想，是难题. 39．已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示． 由，得， 解得或． 由图象易知，直线与的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实数根， 因为方程有7个不同的实数根， 所以直线与的图象有4个交点， 故，解得，故实数的取值范围是． 故答案为： 40．已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得， 设，则，取，得， 取，得；取，得， 所以是偶函数，所以， 因为当时，，两边同时乘以， 得，两边同时除以，得， 即，即，所以在上单调递减. 由，得，由，得， 所以可化为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$