精品解析：广西三新学术联盟百校联考2023-2024学年高三5月月考数学试题

2024届广西三新学术联盟百校联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域化简集合A，再利用并集、补集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而，则或， 所以． 故选：D 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则直接计算即可. 【详解】由题得，. 故选：B. 3. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列基本量的计算依次求得，，进一步即可得解. 【详解】由题得，，故， ，故，即，， 所以. 故选：D. 4. 如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点O，连接，，证得平面，三棱锥的体积，计算得到答案； 【详解】由，易得，取的中点O，连接，， 则，，又，，平面， 所以平面， 所以， 故选：C. 5. 设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线方程与题干条件得到与的相关边与角，从而利用直角三角形中余弦函数的定义即可得解. 【详解】因为抛物线，所以，准线方程为， 设为准线与x轴的交点，如图所示， 因为，且，所以，， 因为，所以，， 则在中，，所以， 所以在中，. 故选：C. 6. 从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个 A. 98 B. 56 C. 84 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论当公差为，，……，时，对应的等差数列个数，再根据三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，即可得到答案. 【详解】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况. 当公差为时，数列可以是：，共1种情况. 总的情况是. 又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减， 所以这样的等差数列共有个. 故选：A 【点睛】本题主要考查分类计数原理，同时考查了等差数列的定义，属于简单题. 7. 在中，为的中点，在边上，与相交于点，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中线向量的线性表示，再把这三条向量通过已知的共线关系转换表示，再利用三点共线，就可得系数和为1，即可解出. 【详解】 由为的中点可知：， 又因为，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以，解得， 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角恒等变换结合角的范围求得，进一步由二倍角公式即可求解. 【详解】，， ，，， ，， ， ，，，， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 某校为了解学生对党史知识的掌握情况，从全校随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在内的人数为40.从分数在和的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，设事件“至少1人成绩在内”，事件“3人成绩均在内”.则（ ） A. B. C. A与B是互斥事件，但不是对立事件 D. 估计该校学生党史知识成绩的第80百分位数为82.5分 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由数据a，b，c成等差数列，和各组的频率和为1列方程组可求出，对于B，根据题意求出，再由可求出，对于C，根据互斥事件和对立事件的定义结合题意分析判断，对于D，根据百分位数的定义求解判断. 【详解】对于A，由a，b，c成等差数列，得，又，解得：，所以A正确； 对于B，又，，，所以，所以B正确； 对于C，抽取的5人中，成绩在的有3人，成绩在的有2人，事件“至少1人成绩在内”， 事件“3人成绩均在内”这两个事件既是互斥事件也是对立事件，所以C错误； 对于D，因为，， 则第80百分位数位于内，其值为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由图象可求出函数的周期，从而可求出，对于B，由图象可得，再结合的范围可求出的值，对于C，利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再判断奇偶性，对于D，由，求出的范围，再结合正弦函数的性质判断. 【详解】对于A：由函数的部分图象得，，所以，所以A正确； 对于B：由函数的部分图象得，，因为，且在包含的小区间内单调递增，所以，所以B正确； 对于C：为奇函数，所以C正确； 对于D：，当时，， 当k为偶数时，在区间上既有单调递增部分，又有单调递减部分，所以D错误. 故选：ABC. 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）的分子结构、金刚石等.如图，将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体，已知该正八面体的棱长为2，则（ ） A. B. 该正八面体的体积为 C. 该正八面体外接球的表面积为 D. 若P为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，由题意可知平面，根据线面垂直的性质即可判断；对于B项，根据锥体的体积公式运算求解；对于C项：利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于D项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值. 【详解】如图，连接，交于点O，连接， 对于选项A：由题意可知平面，且平面， 所以，故A正确； 对于选项B：由题得可得：，， 所以该正八面体的体积，故B正确； 对于选项C：设该正八面体外接球的半径为R， 由题知，四边形是正方形，则， 又因为，则点O为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的表面积为，故C错误； 对于选项D：因为与是边长为2的全等正三角形， 将翻折到，使其与共面，得到一个菱形， 连接与相交于点P，此时，，， 则取得最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于D：对于的最小值问题，关键点在于将两条线所在的平面翻折成同一平面，结合平面几何知识分析求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即3，8，13，18，……，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为____． 【答案】21 【解析】 【分析】由已知及等差数列求和公式得出，再根据基本不等式求解最小值即可． 【详解】由题意可知，数列是以3为首项，5为公差的等差数列， 则， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 故答案为：21． 13. 甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是白球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是黑球的概率为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由独立乘法公式即可求解；第二空：由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】由题得，从三个盒子中取出的球都是白球的概率. 又甲、乙、丙中球数之比为， 设甲盒中有个球，乙盒中有个球，丙盒中有个球，三个盒子混合后，共有个球， 黑球的总数量为， 所以将三个盒子混合后任路取一球，是黑球的概率为. 故答案为：，. 14. 已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，点D在上，，. （1）求的值； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理依次求得，从而得解； （2）利用向量的线性运算与数量积的运算法则即可得解. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以 ，所以， 又，则. 【小问2详解】 因为，则， 所以， 又， 所以 ， 则. 16. 在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，. （1）证明：平面； （2）若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 【答案】（1）证明：由题意知，， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）题意先证明平面，得到，根据线面垂直判定定理得证； （2）作，垂直为Q，由（1）得，证得平面，以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，根据与平面所成角正弦值为，解得参数的值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，垂直为Q，由（1）知，平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面 故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，，， 又， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则 设与平面所成角为θ， 则， 解得或， 由题意知，故. 【点睛】 17. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金. （1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求. （2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 【答案】（1） （2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢. 当时，乙以赢，； 当时，乙以赢，； 所以，乙赢得全部奖金的概率为. 于是甲赢得全部奖金的概率. 求导，. 因为，所以，所以在上单调递增， 于是. 故乙赢的概率为，故事件是小概率事件. 【解析】 【分析】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，可知最后一局必然甲赢，可知的可能取值有、、，分别计算出在不同取值下的概率，可得出，进而可得出，由此可气得结果； （2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，可知的可能取值有、，分别计算出在不同取值下的概率，可求得，进而可得出，再利用导数求出的最小值，进而可得出结论. 【小问1详解】 设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢. 由题意知，最多再进行局，甲、乙必然有人赢得全部奖金. 当时，甲以赢，所以； 当时，甲以赢，所以； 当时，甲以赢，所以. 所以，甲赢的概率为. 所以，； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题在求和时，要明确最后一局是谁赢，前几局甲或乙各赢了几局，再结合独立事件的概率乘法公式计算即可. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于x的不等式在区间上有解，求m的取值范围； （3）证明：. 参考数据：. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 令，则，所以， 由（1）可知在上单调递增，故， 即，即， 当时，，即， 即 令，则， 所以， 故当时，. 即 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）将问题转化为在上有解，令，由（1）可知，则将问题转化为在上有解，然后构造函数，利用导数求解即可； （3）令，则，则（1）知，化简得，当时，，从而有，令，则，然后利用裂项相消法可证得结论. 【小问1详解】 的定义域为. ①当时，恒成立，在上单调递减. ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 关于x的不等式在区间上有解， 即在上有解， 即在上有解， 又，由（1）可知时，即， 令，则， 则在上有解， 令，则， 令，得， 所以，当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意. 所以m的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式能成立问题，考查利用导数证明不等式，第（3）问解题的关键是由（1）得，化简变形得，再放缩得，则有，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 19. 已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0． （1）证明是一个双曲线并求其离心率； （2）设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：； （3）设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） 设复数， 则， 两边平方得， 所以是一个焦点在实轴上，顶点为，渐近线为的双曲线． 其离心率. （2） 由（1）的计算得，，，则直线， 设，则， ，， 由得，代入得， 所以，原式得证． （3）是，平行四边形的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）设复数，由化简得到判断，并求离心率； （2）由（1）得到，，，从而直线，设，由和复数的模求解证明； （3）由（1）得到的两条渐近线，，不妨设，得到，．联立和，求得点P，易知直线，求得点到直线的距离，再由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得的两条渐近线，， 由对称性，不妨设，则， 所以，同理得． 联立和：，得， 易知直线，所以点到直线的距离， 由（1），所以， 而，所以， ，故平行四边形的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届广西三新学术联盟百校联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设抛物线的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个 A. 98 B. 56 C. 84 D. 49 7. 在中，为的中点，在边上，与相交于点，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 某校为了解学生对党史知识的掌握情况，从全校随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在内的人数为40.从分数在和的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，设事件“至少1人成绩在内”，事件“3人成绩均在内”.则（ ） A. B. C. A与B是互斥事件，但不是对立事件 D. 估计该校学生党史知识成绩的第80百分位数为82.5分 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在区间上单调递增 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）的分子结构、金刚石等.如图，将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体，已知该正八面体的棱长为2，则（ ） A. B. 该正八面体的体积为 C. 该正八面体外接球的表面积为 D. 若P为棱上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即3，8，13，18，……，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为____． 13. 甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是白球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球，是黑球的概率为_______. 14. 已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，点D在上，，. （1）求的值； （2）若，求的长. 16. 在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，. （1）证明：平面； （2）若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 17. 公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金. （1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求. （2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于x的不等式在区间上有解，求m的取值范围； （3）证明：. 参考数据：. 19. 已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0． （1）证明是一个双曲线并求其离心率； （2）设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：； （3）设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $