第6章幂函数、指数函数和对数函数单元练习-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第6章幂函数、指数函数和对数函数同步练习卷-高一数学上学期苏教版（2019）必修第一册 一、单选题 1．函数的图象关于（    ）对称. A．直线y=x B．原点 C．x 轴 D．y轴 2．已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 3．已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 5．函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 6．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在上单调递增，则的取值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 10．已知点，若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 11．已知指数函数，，（，且，），且，.则下列结论正确的有（    ） A．， B．若，则一定有 C．若，则 D．若，，则的最大值为 三、填空题 12．函数是幂函数，则 ． 13．函数为对数函数，则 ． 14．设函数（且），若，则的值等于 ． 四、解答题 15．设幂函数. (1)求证：该函数在区间上是严格减函数； (2)设，，利用（1）的结论，比较与的大小. 16．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 17．已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 18．已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 19．悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令. (1)判断的奇偶性和单调性，并说明理由； (2)若关于x的方程在上有解，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】求出定义域，并得到，得到答案. 【详解】，令得， 故的定义域为，关于原点对称， 又， 故. 该函数为奇函数，关于原点对称. 故选：B 2．B 【分析】由指数型函数所过的定点求解即可. 【详解】令，解得，则，即过定点. 故选：B 3．C 【分析】 首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式. 【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增， 所以， 即，，得， 解得： 所以不等式的解集为. 故选：C 4．B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 5．A 【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确. 故选：A. 6．D 【分析】先通过求出，然后确定函数单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】为定义在上的奇函数， 因为当时，， 所以，故 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上单调递增， 因为，所以， 由不等式可得，，解得，， 故解集为. 故选：D. 7．D 【分析】由题意首先得周期为4，由此结合对数运算即可进一步求解. 【详解】由是奇函数，∴， 又，∴，所以周期为4． ． 故选：D. 8．C 【分析】根据函数的奇偶性可判断为奇函数，结合高斯函数的定义以及不等式求出的值域，利用的意义进行计算即可． 【详解】在上单调递减， 又故为奇函数， 当时，，，进而 所以，，又，此时 当时，，，故，所以， 所以，，此时 时，． 综上可得的值域是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据的解析式，分析得为奇函数与其值域，从而得解. 9．CD 【分析】结合对数函数及复合函数的单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则，解得． 故选：CD. 10．AC 【分析】A选项，待定系数法求出，根据的单调性得到A正确；B选项，在上单调递减，在上单调递增，B错误；C选项，根据的单调性得到C正确；D选项，在上单调递减，D错误. 【详解】A选项，设，将点代入可得，解得，则， 因为和函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，，A正确； B选项，函数在上单调递减，在上单调递增， 故与的大小不确定，B错误； C选项，因为函数在上单调递增， 所以，C正确； D选项，因为函数在上单调递减， 所以，则，D错误. 故选：AC 11．AC 【分析】利用已知条件求出、的值，可判断A选项；利用对数式与指数式的互化可判断B选项；由指数式与对数式的互化、换底公式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为指数函数，，（，且，）， 则，可得，由可得，则， 所以，，，A对； 对于B选项，由，可得，可得出，即， 当时，则，此时，， 当时，则，则，则.B错； 对于C选项，由，可得， 设，则，所以，，，， 所以，，C对； 对于D选项，， 因为，令，令，其中， 则函数在上为减函数，在上为增函数， 当时，；当时，， 所以，的最大值为，D错. 故选：AC. 12． 【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解 【详解】因为函数是幂函数，所以且， 解得：或（舍） 故答案为：. 13．3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 14．16 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， ， 故答案为：16 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设对于任意、，且，再根据化简证明即可； （2）由题意比较与的大小即可. 【详解】（1）证明：设对于任意、，且，于是. 由，得，故，则. 所以，故该函数在上是严格减函数 （2）比较与的大小即比较与的大小， 由（1）可得在区间上是严格减函数， 且，，则，故，即. 16．(1) (2)． 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． （2）令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可确定的值. （2）先确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，班函数方程转化为代数方程，再求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以恒成立. 所以恒成立恒成立恒成立， 即恒成立，所以. （2）， 设，则 因为在上单调递增，所以， 又，所以即， 所以是上的增函数. 在上只有一解. 问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解. 设. ①若或. 当时，，故符合题意； 当时，，故不符合题意； ②若，或，在只有一解，故符合题意； 若，方程或，在上有两解，故不符合题意； ③若，此时方程在上只有一解. 综上可知：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性求参数，常用的方法有： （1）利用特殊点的函数值的关系求出参数的值，该方法需要验证； （2）直接利用函数奇偶性的概念求参数，该方法不需要验证. 18．(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【详解】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 19．(1)奇函数，在上单调递增，理由见详解； (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性，单调性的定义求解判断； （2）利用函数的奇偶性，单调性化简方程为有解，分离参数，求出函数的值域即可得解. 【详解】（1）为奇函数，是R上的增函数.理由如下： 由题，，， 又，所以为奇函数， 任取，且， ， ，，则， ，，，即， 所以， 所以函数是R上的增函数. （2）由，即， ， 所以， 所以， 所以， 令在上单调递增，则， 在上单调递减， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$