专题2.6零点问题（八大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.6零点问题 题型一 判断零点所在区间 题型五 根据函数零点的范围求参数 题型二 判断函数零点的个数 题型六 比较零点大小 题型三 用二分法求函数零点 题型七 求零点构成的代数式 题型四 根据函数零点个数求参数 题型八 解镶嵌函数的零点问题 知识点1函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 题型一 判断零点所在区间 例1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 例2．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 练习1．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 练习2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 练习3．下列区间中存在方程的根的是（　　） A． B． C． D． 练习4．已知，则在下列区间中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 题型二 判断函数零点的个数 例3．方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 例4．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习1．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 练习3．已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 练习4．已知函数，则函数的零点个数为 . 知识点2二分法的定义 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 题型三 用二分法求函数零点 例5．用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 例6．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 练习1．用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.05）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 练习2．函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 练习3．某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确度为0.1）”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他在取的x的4个值依次是 ． 练习4．已知函数在区间上有且仅有一个零点．试用二分法求出该零点的近似值．（结果精确到0.1） 题型四 根据函数零点个数求参数 例7．（多选）设函数,若函数恰有2个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D．3 例8．若函数有一个零点，则实数b的取值集合是 练习1．函数有唯一零点，则实数k的值为 ． 练习2．已知函数若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 练习3．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 . 练习4．已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 题型五 根据函数零点的范围求参数 例9．已知关于x的方程的两个不相等的实数根都大于2，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 例10．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习1．若二次函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围． 练习2．已知关于的方程的根为负数，求的取值范围． 练习3．已知函数（且）在上最大值和最小值的和为12． (1)求实数a的值； (2)令，若在区间上有零点，求k的取值范围． 练习4．已知函数，R． (1)若为偶函数，求a的值； (2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围． 题型六 比较零点大小 例11．设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 例12．已知，则（    ） A． B． C． D． 练习1．已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 练习2．已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习4．若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型七 求零点构成的代数式 例13．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例14．（多选）已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 练习1．若函数的零点为，函数的零点为，则 ． 练习2．已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 练习3．已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 练习4．（多选）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 解镶嵌函数的零点问题 例15．已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 例16．已知函数则方程的所有根之积为 ． 练习1．已知若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（   ）． A．0 B． C． D．1 练习2．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数则的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 练习4．（多选）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（    ） A．2 B． C．0 D．4 一、单选题 1．已知函数，下列区间中含有零点的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 5．已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数则下列结论正确的有（    ）. A．， B．函数有且仅有2个零点 C．方程有唯一解 D．直线与的图象有3个交点 8．已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 三、填空题 9．函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 10．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 12．设是上的奇函数，，当时，. (1)求的值； (2)求时，的解析式； (3)当时，求方程的所有实根之和.（写出正确答案即可） 13．已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 14．已知函数，，其中且． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6零点问题 题型一 判断零点所在区间 题型五 根据函数零点的范围求参数 题型二 判断函数零点的个数 题型六 比较零点大小 题型三 用二分法求函数零点 题型七 求零点构成的代数式 题型四 根据函数零点个数求参数 题型八 解镶嵌函数的零点问题 知识点1函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 题型一 判断零点所在区间 例1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 例2．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为和是上单调递增函数， 所以是上单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线， 又， 故函数的零点所在的区间为. 故选：A. 练习1．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数定义域为， 且函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在的区间是. 故选：B. 练习2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 练习3．下列区间中存在方程的根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时， 当时，根据零点存在定理可得存在方程的根. 故选：B 练习4．已知，则在下列区间中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在坐标平面中画出与的图象，如图所示： 在区间内，两个函数的图象没有交点，同理在和内也没有交点， 在内，两个函数的图象有一个交点， 故在内有一个零点，在区间、、均无零点， 故选：B. 题型二 判断函数零点的个数 例3．方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 例4．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 练习1．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数的零点个数是. 故选：D 练习2．定义在上的奇函数满足，当时，，则函数的零点的个数为 . 【答案】5 【详解】因为， 所以，可得函数是周期为4的奇函数， 因为，可得的图象关于直线对称， 当时，，又易知，所以时，， 由对称性可先画出函数在区间上的图象， 根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象， 由，得， 分别画出函数和的图象，如图，    由，又，，而， 可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5. 故答案为：5. 练习3．已知函数，则当时，函数的零点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意； 当时，由于，由，可得，解得，合乎题意. 因此，函数的零点个数为. 故选：D. 练习4．已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【详解】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 故答案为：. 知识点2二分法的定义 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 题型三 用二分法求函数零点 例5．用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为， 当时，结束计算，故， 故选：B. 例6．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 练习1．用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.05）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【详解】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 练习2．函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）. 【答案】 【详解】解析因为函数有零点，但不能用二分法求出， 所以函数的图象与x轴相切，所以，所以， 令，解得. 故答案为：，. 练习3．某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确度为0.1）”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他在取的x的4个值依次是 ． 【答案】1.5，1.75，1.875，1.8125. 【详解】令，则方程的解即为函数的零点，函数在上单调递增， ，取的中点，，得区间； 取的中点，，得区间； 取的中点，，得区间； 取的中点，，得区间， 所以在取的x的4个值依次是1.5，1.75，1.875，1.8125. 故答案为：1.5，1.75，1.875，1.8125 练习4．已知函数在区间上有且仅有一个零点．试用二分法求出该零点的近似值．（结果精确到0.1） 【答案】1.6 【详解】因为, 所以, 取区间中点 , 且 , 从而可知零点在 内; 再取区间中点 , 且 ,从而可知零点在内； 同理取区间中点 , 且 0 ，从而可知零点在内； 故此函数的零点是 题型四 根据函数零点个数求参数 例7．（多选）设函数,若函数恰有2个零点，则的值可能为（    ） A． B． C． D．3 【答案】AC 【详解】令，得． 则函数恰有2个零点可转化为函数和有2个交点， 作出的大致图象，如图所示．    由图可知，当时，恰有2个零点． 故选：AC. 例8．若函数有一个零点，则实数b的取值集合是 【答案】 【详解】函数有一个零点，即与的图象有1个交点， 作出与的大致图象如图所示： 由图可知实数b的取值集合是. 故答案为：. 练习1．函数有唯一零点，则实数k的值为 ． 【答案】1或2 【详解】①当，即时， ， 令得， 所以函数有唯一零点， ②当时，函数有唯一零点， 则，解得． 综上，实数的值为1或2． 故答案为：1或2. 练习2．已知函数若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】画出的图象如图所示. 因为方程有四个不同的解， 故的图象与有四个不同的交点，又由图，求得，， 故的取值范围是. 故答案为：. 练习3．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 因为在上有两个零点，所以，解得， 故答案为：. 练习4．已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】或 【详解】解：令得，作出的函数图像如图所示．    由图像可知当或时，只有一解， 此时恰有一个零点． 题型五 根据函数零点的范围求参数 例9．已知关于x的方程的两个不相等的实数根都大于2，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】关于x的方程的两个不相等的实数根都大于2，则二次方程的判别式大于0， 令，则函数图像对称轴在直线的右侧，且， 所以，解得. 故选：C. 例10．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知在上单调递增， 因为在上存在零点， 所以在上存在唯一零点， 所以，即， 解得. 故选：A 练习1．若二次函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上． 因为二次函数在区间上有两个零点， 所以方程在区间内有两个不同的根， 记方程的两根分别为，， 则 解得，所以的取值范围是． 练习2．已知关于的方程的根为负数，求的取值范围． 【答案】 【详解】方程可变形为，则原方程的根为负数等价于的根为负数， 即函数与图象交点的横坐标为负数．如图，    则由图知，只需使，解得． 练习3．已知函数（且）在上最大值和最小值的和为12． (1)求实数a的值； (2)令，若在区间上有零点，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，函数是上的单调函数，由在上最大值和最小值的和为12，得， 而且，解得， 所以实数a的值是3. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，，， 由在区间上有零点，得且，解得， 所以k的取值范围是. 练习4．已知函数，R． (1)若为偶函数，求a的值； (2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由已知得函数为偶函数， 则，即， 化简整理得，即恒成立，故． （2）由得， 即，， 所以的两个零点为，， 因为，，且，所以，且， 解得，且． 故a的取值范围是． 题型六 比较零点大小 例11．设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 例12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 练习1．已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 练习2．已知均大于1，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 画出函数与、、， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 则为与交点横坐标， 根据图象可知. 故选：B． 练习3．已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：B 练习4．若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 题型七 求零点构成的代数式 例13．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 例14．（多选）已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，画出与的图象， 可以看出，A正确； B选项，令得或， 令得， 故，， 且当时，，此时，B错误； C选项，由图可得， 令，解得，故， 且当时，，故， ，C正确； D选项，由图象可知， 故， 则， 因为，所以在上单调递增， 故，所以，D正确. 故选：ACD 练习1．若函数的零点为，函数的零点为，则 ． 【答案】3 【详解】， 由题意得，， 因为在R上单调递增， 故， 因为，所以，. 故答案为：3 练习2．已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【答案】 【详解】画出的大致图象如下图所示， 当时，，对称轴为， 所以. 当时，， 由，得， ， . 故答案为：    【点睛】对于二次函数，它的对称轴为直线，在求解对称问题的过程中尤为重要.对于含有绝对值的对数函数，要注意绝对值的位置，如与的图象有很大的区别. 练习3．已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由解析式可得函数大致图象如下， 由图知：，则， 且，， 所以，又在上递减，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用函数图象确定解的范围为关键. 练习4．（多选）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 题型八 解镶嵌函数的零点问题 例15．已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 如下图， 当时， 函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点， 且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得，或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称， 所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 例16．已知函数则方程的所有根之积为 ． 【答案】/ 【详解】令，由可得， 当时，由，即，则，即方程无解； 当时，由，可得或. （1）当时，当时，由可得， 解得，， 当时，由可得，； （2）当时，当时，由可得， ，方程无解， 当时，由可得，， 因此，方程的所有根之积为. 故答案为：. 练习1．已知若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（   ）． A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】 方程恰有三个不同的实数解，则只能．由或， 因此，．． 故选：C. 练习2．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，作出函数的图象如图： 令，则函数，即，即， 即，由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标； 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，符合题意； 综合以上可知实数的取值范围为， 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论，解决问题. 练习3．已知函数则的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】作出函数的大致图象如图所示， 由解得，由解得或，. 令，得， 得或或， 结合图象可知： 当时，有1个解；当时有2个解； 当时，由于，所以有个解， 故的零点个数为6. 故选：C    练习4．（多选）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（    ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】AC 【详解】设的零点为，则，又， 故，解得，则． ， 因为函数与函数的零点相同， 所以方程无解或与方程的解相同， 所以或，解得， 所以． 故选：AC 一、单选题 1．已知函数，下列区间中含有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上单调递增，在和上单调递增， 所以在和上单调递增， 当时，，所以在上无零点， 因为，，， 所以在区间有零点， 故选：D 2．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 故选：D. 3．已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二分法可知，第一次计算，又， 由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算， 又，所以零点在区间. 故选：B. 4．若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解. 【点睛】若，可得， 此时令可得，只有一个零点，故A不符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故B符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故C符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故D符合； 故选：A 5．已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 若，则，； 若，则，. 所以， 画出其图象如下图所示，当时，. 由图可知，要使函数恰有3个零点，即与的图象有个交点， 则的取值范围是. 故选：C 【点睛】求解含参数的函数的零点问题，可以考虑直接研究法，也可以考虑分离参数法进行求解.本题是利用分离参数法来求解，分离参数后，将问题转化为两个函数图象的交点个数问题来进行研究. 6．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作函数的图像如下， 函数恰有两个零点可转化为与有两个不同的交点， 故. 故选:. 二、多选题 7．已知函数则下列结论正确的有（    ）. A．， B．函数有且仅有2个零点 C．方程有唯一解 D．直线与的图象有3个交点 【答案】ABD 【详解】由题意， A项，在中，作出函数图象如下图所示，    由上图可知，，故正确； B项，在中，当时，， 即与的交点， 作出函数图象如下，    可知函数有且仅有2个零点，B正确； C项，在中， 作出两函数的图象如下图所示，    ∴两函数有4个交点，方程有4解， ∴方程不止有唯一解，故C错误； D项，    由图可知，直线与的图象有3个交点，D正确； 故选：ABD. 8．已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解. 三、填空题 9．函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中作出函数和的图像如图， 结合图像可以看出：当时，两函数的图像只有一个轴左侧的交点， 即函数仅有一个负零点. 故答案为：. 10．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】画出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的解，，，，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，由于在上是减函数，在上是增函数， 又因为，，则，有， ，又，， 在上递增，故取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 11．已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）设，则 因为， 故， 所以，解得， 因此； （2）当时，， 当时，，则， 为偶函数，故， 故， 综上，， 画出函数图象如下：    （3）由图可知，，， 当时，函数没有零点， 当时，函数只有两个零点， 当时，函数有四个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点 12．设是上的奇函数，，当时，. (1)求的值； (2)求时，的解析式； (3)当时，求方程的所有实根之和.（写出正确答案即可） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由， 得， 所以. （2）若，则，则， 是奇函数，，即，， 即当时，， 若，则， ， 即当时，的解析式为. （3）作出函数在时的图像，如下图， 则函数的最小值为， 若，则方程无解， 若，则函数在上的零点为，，则， 若，则函数在上共有4个零点，则它们分别关于和对称，设它们分别为，则，，即. 13．已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若，则，解得， 所以， 由解得，或， 所以与交点的横坐标为或； （2）若，则在区间上没零点，不符合题意， 所以，所以的图象为抛物线， 对称轴为， 所以要使在区间上恰有一个零点，只须， 即，解得. 的取值范围. 14．已知函数，，其中且． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）当时，不等式可化为， 当时，得，解得； 当时，得，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）由题意可得，函数. 令， 因为，所以，则有， 故. 令，则. 因为在上单调递减，在上单调递增. 所以，当时，有最小值， 又，， 所以当时，有最大值. 所以，即. 又，所以或. 即或， 解得的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$