精品解析：湖南省郴州市桂阳县第三中学2023-2024学年九年级上学期数学期末考试模拟题 (4)

湖南省郴州市桂阳县2023-2024年九年级上期 数学期末考试模拟题（4） 一、单选题． 1. 下列函数关系式中属于反比例函数的是(        ) A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A. B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x=0 3. 已知，，，是成比例线段，其中，则(        ) A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 177 178 178 179 方差 0.9 1.6 1.1 0.6 哪支仪仗队的身高更为整齐？（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有(　 　) ① ；② ； ③；④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为(        ) A. B. C. D. 二、填空题． 9. 已知，求______． 10. 某工厂生产一种产品，第一季度共生产了364个．其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为_________ 11. 若y与x的函数+3x是二次函数，则m=______． 12. 某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约________人有阅读课外书的习惯． 13. 在中，若，则的度数为__________． 14. 若－3是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________． 15. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE=14，则AB的长为 ________ 16. 小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤． 你认为其中正确的信息是_______ 三、解答题． 17. ． 18. 解方程：x2﹣5x+6＝0 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 20. A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩(单位：分)分别用了两种方式进行了统计，如表和图1： 竞选人 A 　 B 　 C 笔试 　85 　95 　90 口试 　80 　85 （1）请将表和图1中的空缺部分补充完整． （2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2(没有弃权票，每名学生只能推荐一个)，则B在扇形统计图中所占的圆心角是______度． （3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选． 21. 天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 22. 位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图1所示，示意图如图2所示．某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i=1：，底基BC=50m，∠ACB=135°，求馆顶A离地面BC的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73） 23. 如图，在中， ，是高，平分 分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 阅读材料： 对于排好顺序的三个数：，称为数列．计算的值，将这三个算式的最小值称为数列的价值．例如，对于数列，因为，所以数列的价值为． 当改变数列中三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列的价值为，数列的价值等等．对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： （1）求数列的价值； （2）将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，求取得的价值最小时的数列． （3）已知，将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求的值． 25. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 26. 如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求该函数的表达式； （2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC． ①求线段PQ的最大值； ②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省郴州市桂阳县2023-2024年九年级上期 数学期末考试模拟题（4） 一、单选题． 1. 下列函数关系式中属于反比例函数的是(        ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】解：该函数是正比例函数，故本选项错误； 该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确； 该函数是二次函数，故本选项错误； D，该函数是一次函数，故本选项错误. 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0） 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A. B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x=0 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论． 【详解】A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意; B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意; C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意; D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意; 故答案为： D. 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 3. 已知，，，是成比例线段，其中，则(        ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可． 【详解】解：∵线段，，，成比例线段， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例． 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 5. 甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 177 178 178 179 方差 0.9 1.6 1.1 0.6 哪支仪仗队的身高更为整齐？（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】分析：方差小的比较整齐，据此可得． 详解：∵甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小， ∴丁仪仗队的身高更为整齐， 故选D． 点睛：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 7. 如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有(　 　) ① ；② ； ③；④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB,AD∥BC，CD=AB，AD=BC， ∴，故①正确； ∴,即，故②正确； ∴，故③错误； ∴,即，故④正确. 故选:C. 【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大. 8. 如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为(        ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，然后设，则，得到点E的坐标，把点E代入反比例函数的解析式，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， 将点坐标代入， ， ∴反比例函数解析式为， 设正方形的边长，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∴点坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，解一元二次方程，正方形的性质，解题的关键是正确求出反比例函数的解析式． 二、填空题． 9. 已知，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 某工厂生产一种产品，第一季度共生产了364个．其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增长率为x，那么首先可以用x表示二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，然后可得出的方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364． 【详解】解：依题意得二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2， 则方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364． 故答案为100+100（1+x）+100（1+x）2=364． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，要注意增长率问题的规律，然后正确找到数量关系根据题意列出方程． 11. 若y与x的函数+3x是二次函数，则m=______． 【答案】-1 【解析】 【分析】由二次函数的定义可知m2+1=2，m-1≠0，从而可求得m的值． 【详解】∵+3x 是二次函数， ∴m2+1=2且m-1≠0， 解得：m=-1， 故答案为-1． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 12. 某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约________人有阅读课外书的习惯． 【答案】1800． 【解析】 【分析】先求出阅读课外书的习惯的人数所占的百分比，再乘以全校的总人数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 3000×=1800（人）， 答：学校大约1800人有阅读课外书的习惯； 故答案为1800． 考点：用样本估计总体． 13. 在中，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，特殊角的三角函数值，关键是掌握非负数的和是0，这几个数都等于0；并熟记特殊角的三角函数值．非负数的和是0，这几个数都等于0，由此得到，即可求出的度数，由三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， 故答案为：． 14. 若－3是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________． 【答案】7 【解析】 【分析】把代入方程中得到关于字母c的一元一次方程，解此方程解得c的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：把代入方程中得 解得 把代入原方程得 故答案为：7． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为5：7，已知DE=14，则AB的长为 ________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据相似比,列出比例式即可求解. 【详解】解：由题可知, △ABC∽△DEF, 相似比为5：7 ∴DE:AB=7：5, ∵DE=14， ∴AB=10,. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,列出比例式是解题关键. 16. 小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤． 你认为其中正确的信息是_______ 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a<0. ∵对称轴x=−=−，∴b=a<0，∴ab>0.故①正确； ②如图，当x=1时，y<0，即a+b+c<0.故②正确； ③如图，当x=−1时，y=a−b+c>0， ∴2a−2b+2c>0，即3b−2b+2c>0，∴b+2c>0.故③正确； ④如图，当x=−1时，y>0，即a−b+c>0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0. ∵b<0，∴c−b>0，∴(a−b+c)+(c−b)+2c>0，即a−2b+4c>0.故④正确； ⑤如图，对称轴x=−=−，则a=b.故⑤正确． 故答案为①②③④⑤ 点睛：此题考查二次函数的性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 三、解答题． 17. ． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号、计算立方根，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，立方根等知识点，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题的关键． 18. 解方程：x2﹣5x+6＝0 【答案】x1＝2，x2＝3 【解析】 【分析】利用因式分解的方法解出方程即可. 【详解】利用因式分解法求解可得． 解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）； （2）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得． ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 20. A，B，C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩(单位：分)分别用了两种方式进行了统计，如表和图1： 竞选人 A 　 B 　 C 笔试 　85 　95 　90 口试 　80 　85 （1）请将表和图1中的空缺部分补充完整． （2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2(没有弃权票，每名学生只能推荐一个)，则B在扇形统计图中所占的圆心角是______度． （3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）144 （3）A的最后得分是92．5分；B的最后得分是98分；C的最终得分是84分；B当选 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，加权平均数和扇形统计图： （1）根据条形统计图和统计表的数据求解即可； （2）用360度乘以B的人数占比即可； （3）先计算出三人的得票得分，再分别计算出三人的加权平均数，比较即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴B在扇形统计图中所占的圆心角是144度； 【小问3详解】 解：A的投票得分是：（分）， 则A的最后得分是：（分）； B的投票得到是： (分)， 则B的最后得分是：（分）； C的投票得分是： (分)， 则C的最终得分是：（分）． 所以B当选． 21. 天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 【答案】每件童装应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可． 设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，则 ， 即：， 解得：，， 要扩大销售量，减少库存， 舍去． 答：每件童装应降价20元． 22. 位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图1所示，示意图如图2所示．某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i=1：，底基BC=50m，∠ACB=135°，求馆顶A离地面BC的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】馆顶A离地面BC的距离约为68.3m 【解析】 【分析】作出辅助线,证明△ADC为等腰直角三角形，根据斜坡AB的坡度i=1：，列式解题即可. 【详解】如解图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D． ∵∠ACB=135°， ∴△ADC为等腰直角三角形， 设AD=x，则CD=x，BD=50+x， ∵斜坡AB的坡度i=1：， ∴x：（50+x）=1：， 整理得（﹣1）x=50， 解得x=25（+1）≈68.3． 答：馆顶A离地面BC的距离约为68.3 m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用,属于简单题,证明△ADC为等腰直角三角形,列出等式是解题关键. 23. 如图，在中， ，是高，平分 分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 因为是的高， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据同角的余角相等可得，进而可证明； （2）过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入已知数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， . ， ， . ， . 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 阅读材料： 对于排好顺序的三个数：，称为数列．计算的值，将这三个算式的最小值称为数列的价值．例如，对于数列，因为，所以数列的价值为． 当改变数列中三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列的价值为，数列的价值等等．对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： （1）求数列的价值； （2）将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，求取得的价值最小时的数列． （3）已知，将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求的值． 【答案】（1）数列的价值是2；（2）数列为：3，-2，5；或-2，3，5时，数列的价值的最小值为；（3）a的值为1或11或5． 【解析】 【分析】（1）根据定义，代入直接可求； （2）数列共6中排列方式，分别求出每一种情况的价值，即可求解； （3）分和和和四种情况讨论，分别求解并判断即可． 【详解】解：（1）因为， 所以，数列的价值是2； （2）由（1）得数列的价值是2； 因为，故数列的价值是； 因为，故数列3，-2，5的价值是； 因为，故数列3，5，-2的价值是2； 因为，故数列-2，5，3的价值是； 因为，故数列-2，3，5的价值是； 数列为：3，-2，5；或-2，3，5时，数列的价值的最小值为； （3）因为 故当时，因为，所以； 当时，（舍去）或（舍去） 当时，或，当时，，故不符合题意舍去； 当时，或，当时，，故不符合题意舍去； 综上所述a的值为1或11或5． 【点睛】本题考查数字的规律，新定义．理解题意，利用绝对值的性质计算是解题的关键． 25. 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， 如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ； 当且时， ①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【答案】（1）等腰直角三角形，； （2）①两个结论仍然成立，理由： 连接BD，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴结论不变，依然成立 ②3或1． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； （2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值； ②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）由题知°，°， ∴°，且为等边三角形 ∴°， ∴ ∵ ∴° ∴° ∴为等腰直角三角形 连接BD，如图所示 ∵° ∴即 ∵ ∴ ∴ 故答案为：等腰直角三角形， （2）①略； ②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上， 如图所示： 此时点E与点A重合， ∴，得； ②当以CD为对角线时，如图所示： 此时点F为CD中点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上：的值为3或1． 【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键． 26. 如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求该函数的表达式； （2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC． ①求线段PQ的最大值； ②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①当t＝2时，线段PQ的最大值为；②满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）． 【解析】 【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-4），再展开可得到-4a=2，解得a=-，然后写出抛物线解析式； （2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+2，设P（t，﹣ t2+t+2），则M（t，-t+2），用t表示出PM=-t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=﹣t2+t,然后利用二次函数的性质解决问题； ②讨论：当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，则∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形， 则PC=PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣ t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标． 【详解】（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 即y＝ax2﹣3ax﹣4a， 则﹣4a＝2，解得a＝﹣ ， 所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图， BC＝， 当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把C（0，2），B（4，0）得，解得 ， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2， 设P（t，﹣ t2+t+2），则M（t，﹣ t+2）， ∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t， ∵∠NBM＝∠NPQ， ∴△PQM∽△BOC， ∴，即PQ＝， ∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+， ∴当t＝2时，线段PQ的最大值为； ②当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△CBO， 此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称， ∴此时P点坐标为（3，2）； 当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△CBO， ∵∠OBC＝∠NPQ， ∴∠CPQ＝∠MPQ， 而PQ⊥CM， ∴△PCM为等腰三角形， ∴PC＝PM， ∴t2+（﹣ t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2， 解得t＝， 此时P点坐标为（，）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）． 【点睛】此题考查二次函数综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和利用相似三角形的性质进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $