精品解析：辽宁省沈阳市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年辽宁省沈阳市高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，若，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在梯形中，，，则（ ） A. 25 B. 15 C. 10 D. 5 5. 在与中，已知，若对任意这样两个三角形,总有，则（ ） A. B. C. D. 6. 小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ） A. 越小越费力，越大越省力 B. 始终有 C. 当时， D. 当时， 7. 若，且，，，则，，的大小是（ ） A B. C. D. 8. 已知，其中，.其部分图象如下图，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，则（ ） A. 在上投影数量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的正弦值是 D. 11. 设函数（其中，，），若在上具有单调性，且，则（ ） A. B. C. D. 当时， 12. 在中，，，，则（ ） A. 的周长是 B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 边上的高长 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，满足条件的的集合是_______. 14. 将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________. 15 已知，则______. 16. 在中，为边上的任一点，若，，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. （1）求的值； （2）若，求P的坐标. 18. 如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，. （1）设，，用，表示向量； （2）求证：M，N，C三点共线. 19. （1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 20. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若，，求的面积. 21. 已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. （1）求解析式； （2）若函数在上有两个零点，，求值. 22. 已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线. （1）若面积为，且，，求的长； （2）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年辽宁省沈阳市高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用终边相同角的概念公式求解即可. 【详解】解：， 与角终边相同的角是． 故选：B. 2. 已知，，，若，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． 故选：D 3. 在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧度制下的扇形面积公式,结合圆的垂径定理可解. 【详解】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为 ，且弦， 可得，， 扇形的面积为． 故选：B 4. 在梯形中，，，则（ ） A. 25 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，根据向量垂直和模长公式即可求解. 【详解】， 又，， ，，， 则. 故选：A 5. 在与中，已知，若对任意这样两个三角形,总有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知有唯一解，且，结合正弦定理可得曲线和水平直线必须有唯一的交点，结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：有唯一解，且， 由正弦定理，可得， 所以关于A的方程有唯一解， 可知曲线和水平直线必须有唯一的交点， 则或，解得或． 故选：D. 6. 小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ） A. 越小越费力，越大越省力 B. 始终有 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 7. 若，且，，，则，，的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，，，，可看成与，的交点的横坐标，结合函数图象即可求解. 【详解】因为若，且，，， 若，则，，显然不符合题意， 若时，， 所以，，， 由题意可得，，可看成与，的交点的横坐标， 结合函数的图象可知，． 故选：B 8. 已知，其中，.其部分图象如下图，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知先求出函数的一条对称轴，结合对称性求出周期，进而可求，结合特殊点可求，从而可求，把代入即可求解. 【详解】由题意可得，函数图象关于对称， 故，所以，则， 又，，且，所以，所以， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用三角函数的诱导公式分析四个选项得答案． 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C正确；，故D错误． 故选：BC 10. 已知向量，，，则（ ） A. 在上的投影数量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的正弦值是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断. 【详解】因为，，， 所以，， 即，所以， 对于A，在上的投影数量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B错误； 对于C，，所以， 故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD 11. 设函数（其中，，），若在上具有单调性，且，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知结合正弦及余弦函数的单调性，对称性及周期性分别求出，，再由特殊点的三角函数值可求，进而可求，再由余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为在上具有单调性，所以，又，所以， 因为， 所以的图象关于对称，且关于对称， 所以，，所以， 故时，，B错误； 故，因为，即，， 又，所以，C正确； 所以，所以，所以，A正确； 所以，当时，，所以， D错误． 故选：AC 12. 在中，，，，则（ ） A. 的周长是 B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 边上的高长 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意利用余弦定理可得的值，即可判断A；，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，即可判断B；由以及正弦定理形式的面积公式即可判断C；设边上的高为，利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理得， 所以的周长是，故A正确； 设边上的中线为，则，两边平方， 可得，解得，故B错误； 设边上的角平分线为，则， 则由得， 所以，解得，故C正确； 设边上的高为，因为，，，， 所以，解得，故D正确 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知三角形一边及其对角，如已知的一边及其对角，则 （1）求角平分线常用等面积公式即来求解； （2）求（为边上的点且满足）常用向量法先得，再两边平方来求解. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，满足条件的的集合是_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简不等式，再利用正弦函数的性质，求解即可． 【详解】， 则，，解得，， 又，则满足条件的的集合是． 故答案为：. 14. 将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果． 【详解】函数的图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象． 故答案为： 15. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值. 【详解】由，得，即， . 故答案为： 16. 在中，为边上的任一点，若，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】化简已知等式可得，结合余弦定理可得，可求，从而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值. 【详解】设的内角，，的对边分别为，，， 因为，所以， 又由余弦定理可得， 所以，可得， 可得，即，即， 所以由余弦定理，可得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. （1）求的值； （2）若，求P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，即可求解； （2）利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以，得. 即，且由三角函数定义知，，， 故. 【小问2详解】 由题意：， ， 故. 18. 如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，. （1）设，，用，表示向量； （2）求证：M，N，C三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算化简求解即可. （2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 19. （1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解； （2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值. 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 20. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据余弦定理将角化为边，化简后，再根据余弦定理求角； 方法二：根据正弦定理将边化为角，再根据三角函数两角和差公式化简，即可求解； （2）根据余弦定理和锐角三角形的性质，求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 （方法一：）由余弦定理得：， 又由题知：， 所以，化简得， 所以：， 因为，故. （方法二：）由正弦定理得：， 因为 所以：， 因为，故. 【小问2详解】 由余弦定理：， 整理得，解得或. 当时，，最大角B是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角B是锐角，为锐角三角形，符合题意. 所以. 21. 已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. （1）求解析式； （2）若函数在上有两个零点，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式； （2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值. 【小问1详解】 由题对任意，都有，故当时，取得最大值. 因为在是单调函数，且的图象关于点对称， 所以得，所以 又因函数在时取得最大值，所以，， 即，.因为，所以， 所以：. 【小问2详解】 因为，令，则 在内的图象如图所示， 由题函数在有两个零点，， 即与内有两个交点，， 数形结合可得：，，即， 所以. 22. 已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线. （1）若的面积为，且，，求的长； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形的面积公式，判断的形状，再根据几何关系以及余弦定理求； （2）方法一，首先由是直角三角形，设，则，，在和和中，分别利用余弦定理，求解，最后利用基本不等式，即可求解； 方法二，以向量为基底，表示向量，，利用数量积，表示，再利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题可知：， 即，所以， 从而为等边三角形，则，， 因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以 在中，由余弦定理得： ， 所以. 【小问2详解】 （方法一：）由，且为中点，则， 不妨设，则，， 在中，由余弦定理：①， 又因为， 易得：② 由①②解得： ，（当且仅当时取“=”） 故的最小值为. （方法二：）∵ ， 同理：， 由，得， 即 ， 即， ∴， 当且仅当时，取“=” 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$