精品解析：辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试卷

辽宁省沈阳市第二十中学2023~2024学年高一上学期开学考试试卷 高一年级数学试卷 考试时间: 120 分钟 分数: 150分 第Ⅰ卷 (选择题共58分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 4. 已知且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 5. 已知集合，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 7. 关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且＞1，，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　） A. m=2b+5 B. m=4b+8 C. m=6b+15 D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.) 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是2 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 设集合，，且是的真子集，则实数___________. 13. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________ 14. 设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为__________． 四、解答题(本题共5小题，共77分.) 15. 已知集合，非空集合． （1）当时，求； （2）求使得成立的实数a的取值范围． 16. 在①， ②， ③ 这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围. 已知，_________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 17. 已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同. （1）求实数值； （2）若实数，满足，求的最小值. 18. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：． （1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 19. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省沈阳市第二十中学2023~2024学年高一上学期开学考试试卷 高一年级数学试卷 考试时间: 120 分钟 分数: 150分 第Ⅰ卷 (选择题共58分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：C. 2. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合方程的根进行判断即可. 【详解】由，或， 因此p是q的必要不充分条件， 故选：B 3. 不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果. 【详解】原不等式可化为或或， 解得0≤x≤3， 所以最小整数解是0， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目. 4. 已知且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，因为，可得，解得， 则， 设， 由二次函数的性质，可得在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 即的最小值为. 故选：D. 5. 已知集合，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得集合，得到，结合和选项，即可求解. 【详解】由题意，集合，或， 所以或， 因为，结合选项可得. 故选：D. 6. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】运用图象得到，再由对应关系得到即可 【详解】由图可知， 所以. 故选：D. 7. 关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，可得解之即求. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴可化为，即 ∴， ∴，解得. 故选：C. 8. 函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且＞1，，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　） A. m=2b+5 B. m=4b+8 C. m=6b+15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系及条件＞1，，求出b,得二次函数的最值，即可求解. 【详解】函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，， ∵，， 解得：=﹣2，=2+， ∵， ∴b=﹣； 函数的对称轴为直线x==3 故当1≤x≤3时，函数在x=3时，取得最小值，即m==15+6b， 故选：C． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.) 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是2 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，显然不可能，故B错误； 对于C，由，可得，即，故C正确； 对于D，由，，，可知，所以，故D正确. 故选：CD. 10. 方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将所求方程化为，由分类讨论求出的值，再解原方程即可. 【详解】由题意可知且，则原方程可化为，得， 若方程有一根为0，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意； 若方程有一根为，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意； 若，解得，故原方程为，解得. 故选：ABC. 11. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可. 【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； 对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确； 对D，当时，方程组等价于，即两条直线重合，所以方程组有无穷多解，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 设集合，，且是的真子集，则实数___________. 【答案】或-1 【解析】 【分析】根据集合关系得到方程，求出的值，利用元素互异性排除不合要求的答案. 【详解】因为是的真子集，所以当时，解得：或-1，经检验，均符合要求； 当时，解得：，此时不满足集合元素的互异性，舍去， 综上：或-1 故答案为：或-1 13. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________ 【答案】 【解析】 【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可. 【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根， 所以，，所以， 解得或， 又因为，得，所以. 故答案为：3 14. 设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为__________． 【答案】4. 【解析】 【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论即可求得最大值，注意等号成立的条件. 详解：由已知得 ， 当且仅当，即时等号成立，则 ，， 当时，取最大值． 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四、解答题(本题共5小题，共77分.) 15. 已知集合，非空集合． （1）当时，求； （2）求使得成立的实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求交集即可； （2）根据集合的包含关系列出关于的不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以. 【小问2详解】 因为，非空集合， 所以，解得， 所以的取值范围是. 16. 在①， ②， ③ 这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围. 已知，_________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】 选条件①,实数a的取值范围为. 选条件②,实数a的取值范围为. 选条件③,实数a的取值范围为. 【解析】 【分析】先解出p对应的x的范围即为集合A,把q对应的x的范围即为集合B.根据题意分析只需BA.分别在选条件①②③时，根据BA列不等式组，求出a的取值范围. 【详解】由命题，得到，规定集合.设q对应的x的范围即为集合B. 因为p是q的必要不充分条件，所以BA. 选条件①. 由可解得：. 因为BA，只需解得：， 当时，，有BA； 当时，，有BA； 即实数a的取值范围为. 选条件②， 由可解得：. 因为BA，只需解得：， 当时，，有BA； 当时，，有BA； 即实数a的取值范围为. 选条件③. 由可解得：. 因为BA，只需解得：， 当时，，有BA； 即实数a的取值范围为. 17. 已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同. （1）求实数值； （2）若实数，满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用二次不等式的解集与对应二次方程的根的关系； （2）“1”的巧用. 【详解】（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：. （2），则， 当，即时取等号，即时有最小值. 【点睛】二次函数的零点二次方程的根二次不等式的解集；，构造“1”，巧用“1”. 18. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：． （1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）大于且小于． 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度． （2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出的范围． 【小问1详解】 依题意，由于, 所以 当且仅当，即时，上式等号成立， ∴（千辆/时）． 当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； 【小问2详解】 由条件得, 整理得，即，解得， 所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于． 19. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得； （2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，即命，，所以，所以， 若命题为真命题，即，，所以，解得， 因为命题和命题有且只有一个为假命题， 当命题为假，命题为真时，解得； 当命题为真，命题为假时，所以； 所以； 【小问2详解】 解：若命题和命题都为假命题，则，即； 因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $