精品解析：江苏省灌南高级中学、南京市中山中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题

数学试题部分 （本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分） 1. 设全集则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，，则集合的关系为（ ） A. B. C D. 3. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：，，使得，则为（　　） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 5. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A. B. C. D. 8. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 9. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 如果，那么 C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D. 已知或，，则或 10. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（ ） A. 存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B. 集合是“和谐集” C. 若都是“和谐集”，则 D. 对任意两个不同的“和谐集”，总有 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 的充要条件是 12. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 13. 已知集合或，，若，则实数取值范围_________． 14. 已知全集且，，，且，则值为_____________． 15. 若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________. 16. 已知，且，则的最小值为_________________． 四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分） 17. 设全集，集合，. （1）若，求， （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知集合，， （1）若，求； （2）是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由． 19. 已知集合， （1）若，求； （2）在①；②；中任选一个，补充到横线上，并求解问题． 若_____，求实数a的取值范围． 20. 已知命题p：方程有两个相异实根，命题q：不等式恒成立. （1）命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围. 21. （1）． （2）已知，，计算的值． 22. 我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍. （1）求声压级S关于声压P的函数解析式； （2）已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题部分 （本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分） 1. 设全集则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图中阴影部分所表示的集合是由此能求出结果． 【详解】设全集, 则图中阴影部分所表示的集合是：． 故选：B． 2. 已知集合，，，则集合的关系为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法表示各个集合，结合子集、真子集的定义进行判断即可. 【详解】因为， ， ， 所以， 故选：B 3. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】. 故选：B. 4. 已知命题：，，使得，则为（　　） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解. 【详解】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，， 使得的否定为：，，使得. 故选：C . 5. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 【答案】B 【解析】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】由题意:命题是假命题, 其否定: 为真命题, 即，解得， 故选：B 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式运算公式和指数运算公式判断各选项. 【详解】，A错； ，B错； ，C对； ，D错， 故选：C. 7. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算即可. 【详解】由题意，可得， . 故选：B. 8. 实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 9. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 如果，那么 C. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D. 已知或，，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合新定义判断A、B，应用韦恩图确定判断C，由求集合判断D. 【详解】A：由且，故，错误； B：由且，则，故，正确； C：由韦恩图知：如下图阴影部分， 所以，错误； D：或，则或，正确. 故选：BD 10. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（ ） A. 存在一个集合，它既“和谐集”，又是有限集 B. 集合是“和谐集” C. 若都是“和谐集”，则 D. 对任意两个不同的“和谐集”，总有 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项可举出实例；BC选项可进行推导出为真命题；D可举出反例. 【详解】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项正确； B项中，设， 则，所以集合是“和谐集”，故B项正确； C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项正确； D项中，取都是“和谐集”， 但5不属于，也不属于，所以不实数集，故D项错误． 故选：ABC． 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 C. 是充分不必要条件 D. 的充要条件是 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性. 【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误； 选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确； 选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误； 选项D，必要性：， 所以， 即，所以； 充分性：，则，该选项正确. 故选：BD. 12. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， 由A可知，，，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分） 13. 已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 14. 已知全集且，，，且，则的值为_____________． 【答案】66 【解析】 【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数 【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个. ，， 对，，如有根可设 ； 对，，如有根可设为 . （1）当，不符合； （2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合； （3）当，则，则，则， i.当，不符合； ii.当，，则，不符合； iii.当，则，则， 综上，. 故答案为：66 15. 若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，不等式的解集为空集，显然不成立； 当时，不等式，可得， 要使得不等式的一个充分条件为，则满足， 所以，即 ∴实数a的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知，且，则的最小值为_________________． 【答案】3 【解析】 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 则， 当且仅当时取到等号，所以，， 故的最小值为3. 故答案为：3 四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分） 17. 设全集，集合，. （1）若，求， （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果； （2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时； 当时，， 由数轴法得，解得，故； 综上：，即. 18. 已知集合，， （1）若，求； （2）是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解得答案。 （2）题目转化为且，联立方程，考虑和两种情况，计算，得到，再联立方程得到，考虑两个不等式有解的情况，计算得到答案。 【小问1详解】 当时，，联立方程得，解得或； 故. 【小问2详解】 ，故且， 联立方程得，消去y得，， 由知， 当时，方程有解，故不符合题意； 当时，，即； 联立方程得，消去y得，， ，，即； 若有解，则，即； 若有解，则，即； ，，代入得，且，故且， 故； 综上所述，当，时， 19. 已知集合， （1）若，求； （2）在①；②；中任选一个，补充到横线上，并求解问题． 若_____，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集的定义运算即得； （2）若选①，则，分，讨论即得；若选②，可得，进而可得，即得. 【小问1详解】 当时，集合， 又，或 所以或； 【小问2详解】 选①， 由，得， 当时，，得，此时，符合题意； 当时，得，解得， 综上，实数a的取值范围是； 若选②， 由，得，则， 解得， 实数a的取值范围是． 20. 已知命题p：方程有两个相异实根，命题q：不等式恒成立. （1）命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由判别式大于0即可求解； （2）分p真q假和p假q真两种情况，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 ∵命题p是真命题， ∴有两个相异实根， ∴，解得. ∴实数a的取值范围为 【小问2详解】 ∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题, ∴有p真q假和p假q真两种情况. 当q是真命题时，不等式恒成立， 即有，得， 由（1）可知，当p是真命题时，实数a的取值范围为， 当p真q假时，有，. 当p假q真时，有，得. 所以实数a的取值范围为. 综上：实数a的取值范围为 21. （1）． （2）已知，，计算的值． 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算作答. （2）利用指数式与对数式互化求出n，代入并结合对数运算法则求解作答. 【详解】（1）原式． （2）由得：，而， 所以，. 22. 我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍. （1）求声压级S关于声压P的函数解析式； （2）已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3） 【答案】（1） （2）不会，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入具体数据即可求出参数的值，从而确定解析式 （2）将声压级代入解析式求出声压，根据求出叠加后的声压，代入解析式可求出对应的声压级，与45比较大小，判断是否会干扰学习 【小问1详解】 由题意得： ，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为 【小问2详解】 不会干扰我们正常的学习，理由如下： 将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $